5.3 实系数一元二次方程的解法 课件-2024-2025学年高二上学期高教版(2021)中职数学拓展模块一（上册）

第五章 复数 5.3 实系数一元二次 方程的解法 中职高教（2021）数学拓展模块上册（修订版） 01 新课导入 03 巩固练习 02 新课讲解 04 拓展延伸 目录 新课导入 第一部分 PART 01 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here 方程 x²+1=0 在实数集R内无解.在复数集C中,因为i²=(-i)²=-1,所以方程有两个虚数解x1,2=±1. 一般地,对于实系数一元二次方程ax²+bx+c=0,当Δ=b²-4ac≥0时，方程有实数解；当Δ=b²-4ac<0时，方程有虚数解.如何表示Δ<0时方程的解呢？ 新课导入 新课讲解 第二部分 PART 02 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here 新课讲解 例1 解 例题讲解 例2 解 例题讲解 例 解 例题讲解 新课讲解 巩固练习 第三部分 PART 03 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here 课堂练习 拓展延伸 第四部分 PART 04 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here 课堂小结 课后作业 1.书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾; 3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容. 在PPT软件中双击 图标打开配套讲稿 第五章 复数 5.3 实系数一元二次 方程的解法 中职高教（2021）数学拓展模块上册（修订版） 授课 题目 5.3 实系数一元二次方程的解 法 选用教材 高等教育出版社《数学》 （拓展模块一上册） 授课 时长 1 课时 授课类型 新授课 教学提示 本课首先指出在数系得以扩充后，解决了负数开平方的问题，抛出问题“当  < 0时，如何求解一元二次方程 ax2＋bx＋c=0？”引发思考，然后引导学生经历求根公式的推导过程，深入体会基于方程有解的需要促使数系的扩充．数系的扩充解决了一元二次方程在实数范围内无解这一问题，从而全面认识不同情况 下实系数一元二次方程的解法，更深刻理解数系扩充的意义． 教学目标 知道实系数一元二次方程在复数集中解的情况；会在复数范围内求解实系 数一元二次方程；知道实系数一元二次方程有虚根时根与系数的关系；培养和提升数学运算和逻辑推理等核心素养. 教学 重点 在复数范围内求解实系数一元二次方程． 教学 难点 实系数一元二次方程有虚根时根与系数的关系． 教学 环节 教学内容 教师 活动 学生 活动 设计 意图 方程 x²+1=0 在实数集 R 内无解.在复数集 C 中，因为 i²=(-i)²=-1，所以方程有两个虚数解 x1,2=±1. 一般地，对于实系数一元二次方程 ax²+bx+c=0，当 Δ=b²-4ac≥0 时，方程有实数解；当Δ=b²-4ac<0 时，方程有虚数解.如何表示Δ<0 时方程的解呢？ 提出 思考 抛出 情境导入 问题 引发 分析 问题引发 思考 思考 回答 当Δ=b²-4ac<0 时，方程 ax²+bx+c=0 可化为 x2  b x   c .配方可得 a a 因此，当Δ=b²-4ac<0 时，实系数一元二次方程 ax²+bx+c=0 在复数集中的两个根可表示为 显然，x1、x2 都是虚根，并且他们是一对共轭复数.容易验证，x1、x2 还满足 x  x   b ; x x  c . 1 2 a 1 2 a 也就是说，韦达定理在复数集 C 中仍然成立. 讲解 理解 引导 学生 经历 讲解 思考 求根 说明 领会 公式 的推 导过 程， 新知 体会 探索 基于 方程 有解 的需 要促 使数 系的 扩充 典型例题 例 1 在复数集 C 中，求解方程 x²-3x+4=0. 解 因为 b²-4ac=9-16=7＜0，所以 讲解强调 解决交流 例 1 直接应用 b b2  4ac 3 7 x1   + i= + i 2a 2a 2 2 b b2  4ac 3 7 x2    i=  i 2a 2a 2 2 例 2 已知实系数一元二次方程 x²+mx+n=0 的一个根是 1+2i，求它的另一个根和 m 、n 的值. 解 因为实系数一元二次方程 x²+mx+n=0 的一个根是虚数 1+2i，所以判别式Δ<0.于是，方程有两个互为共轭复数的根，从而方程的另一个根是 1-2i. 由根与系数的关系可得 x  x   m ，x x  n 1 2 1 1 2 1 即 m=-(x1+x2)=-[(1+2i)+](1-2i)] =-2, n=x1x2 = (1+2i) (1-2i) = 5. 例 3 在复数集中解方程 x4-16=0. 解 原方程可化为(x²+4) (x²-4)=0，因此 x²+4=0 或 x²-4=0. 由 x²+4=0 得 x1=2i，x2=-2i；由 x²-4=0 得 x3=2i，x4=-2. 所以原方程的根为 x1=2i，x2=-2i，x3=2i，x4=-2. 温馨提示 在复数集 C 中，实系数一元二次方程 ax²+bx+c=0 的求根公式为 b b2  4ac 当Δ=b²-4ac≥0 时， x1,2    ； 2a 2a b b2  4ac 当Δ=b²-4ac<0 时， x1,2    i . 2a 2a 指导 主动 公式 学习 求解 讲解 解决 例 2 强调 交流 另一 种方 指导 主动 法是 学习 求解 将一 个根 代入 方程 整理 后求 解 例 3 注意 强调 解题 步骤 练习 5.3 1. 在复数集中解方程 x2=-9. 2. 在复数集中解方程 x2+4x+5=0. 3. 已知实系数一元二次方程 x²+bx+c=0 的一个根是 3-4i，求另一个根和 b、c 的值. 提问 思考 掌握 巩固练习 巡视 求解 学生情况 查漏 指导 交流 补缺 归纳总结 引导提问 回忆反思 培养学生总结学习过程 能力 布置作业 1. 书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》； 2. 查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾; 3. 拓展作业：阅读教材扩展延伸内容. 说明 记录 继续 探究延伸 学习 $$