5.1 实数指数幂 课件-2024-2025学年高一下学期高教版(2021)中职数学基础模块（下册）

第五章 指数函数与对数函数 5.1.2 实数指数幂 中职高教（2021）数学基础模块下册（修订版） 目录 01 新课导入 03 课堂小结 02 新课讲解 04 课后作业 新课导入 第一部分 PART 01 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here 在实数范围内，我们学习了有理数指数幂的运算,可以证明,当幂的指数为无理数时,无理数指数幂aα(a＞0,α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算法则同样适用于无理数指数幂. 这样我们就将幂指数推广到了全体实数. 指数幂是怎样从正整数指数幂推广到实数指数幂的？ 新课导入 新课讲解 第二部分 PART 02 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here 可以证明,当a>0,b>0且α,β∈R时,有理数指数幂有以下运算法则： 新课讲解 将底化为指数幂的形式，再将两重指数相乘 典例1 计算下列各式的值． 解 例题讲解 典例1 计算下列各式的值． 解 将底化为相同的数，再利用运算法则进行运算 例题讲解 温馨提示 幂的运算的常规方法 (1)化负指数幂为正指数幂或化分母为负指数； (2)化根式为分数指数幂； (3)化小数为分数． 例题讲解 典例2 化简下列各式(a>0,b>0). 例题讲解 典例2 计算下列各式：. 例题讲解 科学计算器的用法 例题讲解 典例3 利用计算器求下列各式的值(精确到0.01). 例题讲解 典例3 利用计算器求下列各式的值(精确到0.01). 例题讲解 典例3 利用计算器求下列各式的值(精确到0.01). 例题讲解 【巩固1】 A　 巩固练习 【巩固2】 巩固练习 【巩固3】利用计算器求下列各式的值(精确到0.01). 巩固练习 【巩固3】利用计算器求下列各式的值(精确到0.01). 巩固练习 课堂小结 第三部分 PART 03 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here 课堂小结 课后作业 第四部分 PART 04 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here 巩固作业： P7练习5.1.2 ； P8习题5.1的3,4. 课后作业 在PPT软件中双击 图标打开配套讲稿 第五章 指数函数与对数函数 5.1.2 实数指数幂 中职高教（2021）数学基础模块下册（修订版） (1)25＝(52) ＝53＝125. (1)25；　(2)()－；　(3)××. (2)()－＝[()2]－＝()－3＝. (3) ××＝3×3×3＝3 (1)25；　(2)()－；　(3)××. (1)(2)0.5＋0.1－2＋(2)－＋；(2)(a－2b－3)(－4a－1b)÷(12a－4b－2c) [解析]　(1)原式＝()＋＋()－＋ ＝＋100＋＋＝103. (2)原式＝－a－2－1－(－4)b－3＋1－(－2)c－1＝－ac－1＝－. Lavf58.29.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 化简()－的结果是 (　　) A．　　　　　　　　 B． C．3 D．5 计算(2a－3b－)·(－3a－1b)÷(4a－4b－)的结果为(　　) A．－b2 B．b2 C．－b D．b [解析]　原式 ＝(－6·a－3－1b－＋1)÷(4a－4b－) ＝－a－4＋4·b＋＝－b2. 授课 题目 授课 时长 高等教育出版社《数学》 （基础模块下册） 5.1 实数指数幂 2课时 选用教材 授课类型 新授课 本课通过复习学生学过的正整数指数幂，了解指数从正整数到有理数再到 实数的拓展过程，体会到指数的推广过程，并学习进行简单的实数指数幂的运算 的一般方法. 教学 提示 通过学习 n 次根式的概念和分数指数幂的定义，能运用实数指数幂的运算 法则正确进行实数指数幂的运算以及根式与分数指数幂之间的转化，会利用计 算器求根式和分数指数幂的值，逐步提升数学运算和逻辑推理等核心素养. 教学 目标 教学 重点 教学 难点 教学 环节 实数指数幂的运算法则. 分数指数幂概念. 教师 学生 设计 教学内容 活动 活动 意图 5.1.1 有理数指数幂 放射性元素在衰变过程中,其放射性核的数目衰变到 原来的一半所需的时间称为放射性元素的半衰期. 现实 工作中常常利用放射性元素的半衰期的特性进行科学测 算.某种元素同一个样本内有 N个原子,半衰期是 10天,10 引导 回忆 以实 学生 联系 思考 子创 实际 设情 进行 分析 境， 际例 1 1 天之后还有 N个原子没有衰变,20 天之后,还有 N个 2 4 思考 引发 学生 思考 拓宽 学生 知识 面. 情境 导入 1 1 × × 原子没有衰变,没有衰变的原子数就可以用 N表 2 2 示,以此类推,设衰变次数为n次,那么没有衰边的原子数如 何表示？ 根据衰变规律,容易推出,没有衰变的原子数为 启发 引导 1 1 1 1 × × ⋅⋅× × N. 2 222 n个 我们已学习过, n个相同因子 a的连乘积记作 an,称为 讲解 理解 归纳 a的 n次幂,其中 a称为幂的底数,简称底,n称为幂的指数. 即 概念 突出 并强 调规 范表 述.  ∗ a n=a⋅a⋅a⋅ ⋅a，（n∈N）  n个  规定当a 0时， 探索 新知 n 1  1 a0 1 , a−n = = ．   an  a 说明 记忆 一般地,如果数 b的 n次方等于 a,即 b ∈ n=a(n N*,n>1) , n 次 根式 为指 数概 那么称数 b为 a的 n次方根. 当 n 为偶数时,正实数 a 的 n 次方根有两个,分别用 n a 和 a表示,其中 a称为 a的 n次算术根,负实数 a的 偶数次方根没有意义． n n 1 当 n 为奇数时,实数 a 的 n 次方根只有一个,用 n a表 念的 示． 推广 0的 n次方根为 0. 所做 形如 n a(n∈N*,n>1)的式子称为 a的 n次根式,其中 n 称为根指数,a称为被开方数． 如果指数是最简分数，我们规定: 的必 讲解 思考 要准 备 m m n 当指数为正分数 (m,n∈N*,n>1)时,an = n am . m n 对指 当指数为负分数− （ m,n∈N * ,n>1）且a≠ 0时, 数情 m a n = − 1 m an 1 况进 = . n am 说明 理解 行分 类讨 论 1 n m 当 n为偶数时,a的取值应使 a 或 有意义. n am 这样,就把整数指数幂推广到了有理数指数幂. 可以证明,当a>0,b>0且p,q∈Q时,有理数指数幂有以 下运算法则： (1) ap·aq =ap+q; ( ) (2) ap q = pq a ; ( ) p p p (3) ab = a ⋅b . 例 1将下列各分数指数幂写成根式的形式. 提问 思考 巩固 2 3 − 分数 (1)a5 ；(2)a 2(a>0) . 指数 2 解 (1)a5  5 3 a2 ； 引导 分析 幂与 − 1 根式 (2)a 2 = . 互相 a3 讲解 解决 转化 例 2将下列各根式写成分数指数幂的形式. 的基 1 4 3 (1) 8 ; (2) (a≠0). 本表 5 a3 强调 交流 达， 3 4 3 = 8 84 ； 解 (1) 提升 数学 运算 核心 素养 例题 辨析 3 1 − (2) = a 5. 5 a3 幂运算可以用科学型计算器来完成，操作步骤为普通 计算状态→输入底→按 xy→输入指数→按 = 显示计算 结果． 提问 思考 结合 例 3 利用计算器求下列各式的值(保留到小数点后第 3 位). 计算 工具 3 3  1 展示 操作 提升 (1) 45 ；(2) 6 4 ；(3) ． 51.374 数学 运算 核心 解 (1)的操作步骤为：按 C→4→x ∕ ， y→(→3→ →5→)→= 2 显示计算结果 2.2973…， 素养 3 所以45  2.297； (2) 操作步骤为：按 6→xy→(→－→3→÷→4→)→=, 显示计算结果 0.2608…， 3  所以6 4  0.261； 4 1  (3)将 化为1.37 5 ,再指数运算,操作步骤为： 51.374 按 1→.→3→7→xy→(→ →4→ →5→) →=, － ÷ 显示计算结果 0.7773…， 1 所以  0.777 . 51.374 温馨提示 0的正分数指数幂等于 0,0的负分数指数幂没有意义. 练习 5.1.1 1．将下列各分数指数幂写成根式的形式(其中 a>0). 提问 思考 通过 1 练习 3 3 2 1 8 − − 6 (1) 54 ；(2) ；(3)a 7；(4) (−a) 3 ．   及时 掌握 巡视 动手 学生 求解 的知 识掌 2．将下列各根式写成分数指数幂的形式. 巩固 练习 7 2 1 4 5 (1)410；(2) ；(3) 5.6 ；(4) ． 5 a4 指导 交流 握情 况， 3．利用计算器求下列各式的值(保留到小数点后第 3 位). 3 2 查漏 1 − (1)34 ；(2)6 5 ；(3) ． 补缺 5 3 2.5 5.1.2 实数指数幂 讲解 理解 有原 在实数范围内，我们学习了有理数指数幂的运算,可 以证明,当幂的指数为无理数时,无理数指数幂 aα(a＞0,α 是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算法则同 样适用于无理数指数幂. 这样我们就将幂指数推广到了全体实数. 可以证明,当 a＞0,b＞0且 α,β∈R 时，实数指数幂有 以下运算法则： 有知 识出 说明 记忆 发对 幂指 数进 行推 广， 易于 学生 接受 新知 探索 α β α β (1) a ⋅a =a + ； ( )β (2) aα =a ; αβ ( ) α α ⋅ α (3) ab =a b . 3 例 4 计算下列各式的值. 提问 思考 巩固 基本 1 4 2 3 5 12   1   3   2   5  3   ; (2)      引导 分析 运算 (1) 解 (1) (2) 4 ；(3) 0.0643 .             3 5 16 5 法 讲解 解决 则， 1 4   1 1 1 4   ( 4)   1  1    4   提升 (2 )4 2 2 ；     16 2 强调 交流 数学 运算 核心 素养 2 3 5 2 1 5   3 4         5 3 3 3 5 3   12  3  4  12                 =               5 3 5   5 5 2 1 5 12       3 3 3 4    = 3                 5     5 5 2 1 5     5  0 5 3 3  3 4 12      1；           2 2 2 3    (3) 0.0643= 0.4 3 =0. 4 3 =0. 42=0. 16. 3 例 5 化简下列各式(a>0,b>0) . 提问 思考 底为 字母 1 1 1 1   3 −3 2 ÷ 3 a2 ÷ 4 b3 ; (1) (a3 b3)(a3 b3) ; (2) a b 引导 分析 的情 况要 例题 辨析 (2a3b2)3 (5a2b)2 (3) . 讲解 解决 将分 母及 分析 先把根式化成分数指数幂,然后再进行化简与计算． 强调 交流 根式 都写 成分 数指 数 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 2 2 (a b )(a b )=(a )2 (b )2=a b 解 (1) 2 2 =a3 b3 ； 1 2 2 3 幂， 按照 运算 顺序 进行 运算 是有 理数 指数 幂运 算特 别需 要注 意的 3 −3 2 ( −3 2 ) −1 3 2 = a3, 4 b3 = b4， (2)由于 a b = a b 3 =a b3， a 2 2 3 所以 a b −3 2 ÷ 3 3 a2 ÷ 4 b3  a b3 1 a3  b4 2 3 2 3 3 4    a 1b a  b 2 2 3 4  a13b3  5 1    a 3b 12； (2a3b2)3 23 a3 3 b2 3     (3) = (5a2b)2 52 a2 2 b2    8 25 8 =        a3 3 2 2 b2 3 2 = a5b4. 25 4 例 6 利用计算器求下列各式的值(保留到小数点后第 3 位). 3 2  3 (1) 0.32.1; (2) 3.14 ； (3) 5 ；(4) 4 . 解 (1)操作步骤为：按 0→.→3→x 屏幕计算结果 0.0797…， 所以 0.32.1≈0.080； . , y→2→ →1→= 引领 操作 结合 计算 工具 (2)操作步骤为: 展示 计算 提升 ÷ 按 3→.→1→xy→(→3→ →4→)→=, 数学 运算 核心 素养 显示计算结果 2.3362…， 3 所以 3.14 ≈2.336 ； (3)操作步骤为：按 5→xy→√￣→2→=, 显示计算结果：9.7385…， 所以5 2 ≈9.739； (4)操作步骤为：按 4→xy→(→-→√￣→3→)→=， 显示计算结果：0.0906…， 所以4 3 ≈0.091. 练习 5.1.2 1.用分数指数幂表示下列各式 (a>0) . 提问 思考 通过 a (1)a2 a； (2) 练习 . 5 a3 及时 2.计算下列各式的值. 巡视 动手 掌握 求解 学生 巩固 练习 (1) (3 25 125) 4 5; (2) 3 3 4  4 27. 3 的知 3.化简下列各式(a>0,b>0) . 识掌 1 2 1 2 1 1 5 − − 握情 况， 0 3 2 (1)a3a 3a2a ; (2) (a3b2) (3a 2b3) . 4.利用计算器计算下列幂的值（保留到小数点后第 3位）. 指导 交流 查漏 补缺 −3 7 (1) 3.13 ；(2) 3.2 . 引导 回忆 培养 学生 归纳 总结 提问 反思 总结 学习 过程 能力 说明 记录 继续 探究 1.书面作业：完成课后习题和学习与训练； 2.查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回顾; 3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容. 布置 作业 延伸 5 学习 6 $$