2025年九年级中考数学复习专题六 圆课件

题组❶ 垂径定理 题组❷ 圆周角定理 题组❸ 圆内接四边形的性质 考点❶ 垂径定理 考点❷ 圆周角定理 考点❸ 圆内接四边形的性质 模拟考题讲练 真题考向解读 圆——圆的基本性质 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 考点❶ 垂径定理 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 第7题 真题考向解读 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 16 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ ✔ ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 考点❷ 圆周角定理 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 第7题 第8题 第9题 第10题 第11题 第12题 第13题 第14题 第15题 第16题 第17题 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 55 75 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 90° 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 90 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 52.5° 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 4 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ①②③ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 考点❸ 圆内接四边形的性质 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 第1题 第2题 题组❶ 垂径定理 第3题 模拟考题讲练 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 1.3 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 1.3 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 题组❷ 圆周角定理 第4题 第5题 第6题 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 题组❸ 圆内接四边形的性质 第8题 第7题 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 考向1　利用垂径定理进行计算 1．[2024湖南长沙]如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则⊙O的半径长为(　　) A．4 B．4 eq \r(2) C．5 D．5 eq \r(2) \a\vs4\al(（第1题图）) INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\一本中考题数学word\\ZK457.TIF" \* MERGEFORMATINET 　　 eq \a\vs4\al(（第2题图）) 2．[2023湖北宜昌]如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D.若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 3．[2024黑龙江牡丹江]如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，CD＝6，BE＝1，则弦AC的长为________． 3 eq \r(10) 解析：由垂径定理，得CE＝ED＝ eq \f(1,2) CD＝3.设⊙O的半径为r，则OE＝OB－BE＝r－1.在Rt△OED中，由勾股定理，得OE2＋ED2＝OD2，即(r－1)2＋32＝r2，解得r＝5，则AE＝OA＋OE＝9.在Rt△AEC中，由勾股定理，得AC＝ eq \r(CE2＋AE2) ＝ eq \r(32＋92) ＝3 eq \r(10) . 4．[2024江西]如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE⊥AB，将 eq \a\vs4\al(DBE) 　Ｋ 沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为________． 2或2－ eq \r(3) 或2＋ eq \r(3) 解析：∵AB为直径，DE为弦， ∴DE≤AB.∴当DE的长为正整数时，DE＝1或2. 分三种情况： (1)当DE＝2，即DE为直径时， ∵DE⊥AB，∴将 eq \a\vs4\al(DBE) 　Ｋ 沿DE翻折交直线AB于点F，此时点F与点A重合，故FB＝2. (2)当DE＝1，且点C在线段OB之间时，如图1，连接OD，此时OD＝ eq \f(1,2) AB＝1， ∵DE⊥AB，∴DC＝ eq \f(1,2) DE＝ eq \f(1,2) ，∴OC＝ eq \r(OD2－DC2) ＝ eq \f(\r(3),2) ，∴BC＝OB－OC＝ eq \f(2－\r(3),2) ，∴FB＝2BC＝2－ eq \r(3) . 图 2 (3)当DE＝1，且点C在线段OA之间时，如图2，连接OD，同理可得，BC＝ eq \f(2＋\r(3),2) ，∴FB＝2BC＝2＋ eq \r(3) . 综上所述，线段FB的长为2或2－ eq \r(3) 或2＋ eq \r(3) . 5．[2023湖南永州]如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10 cm，水的最深处到水面AB的距离为4 cm，则水面AB的宽度为________cm. 考向2　利用垂径定理进行证明 6．(多选题)[2024山东潍坊]如图，⊙O是△ABC的外接圆，AO∥BC，连接CO并延长交⊙O于点D.分别以点A，C为圆心，以大于 eq \f(1,2) AC的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点M.直线OM交BC于点E，连接AE.下列结论一定正确的是(　　) A． eq \x\to(AB) ＝ eq \x\to(AD) B．AB＝OE C．∠AOD＝∠BAC D．四边形AOCE为菱形 7．[2024内蒙古包头]如图，AB是⊙O的直径，BC，BD是⊙O的两条弦，点C与点D在AB的两侧，E是OB上一点(OE＞BE)，连接OC，CE，且∠BOC＝2∠BCE. (1)如图1，若BE＝1，CE＝ eq \r(5) ，求⊙O的半径； (2)如图2，若BD＝2OE，求证：BD∥OC.(请用两种证法解答) INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\一本中考题数学word\\ZK462.TIF" \* MERGEFORMATINET 图 1　　 图 2 (1)解：如图1，过点O作OH⊥BC于点H. ∵OC＝OB，OH⊥BC，∴∠COH＝∠BOH，CH＝BH. ∵∠BOC＝2∠BCE，∴∠BOH＝∠BCE. ∵∠BOH＋∠OBH＝90°，∴∠BCE＋∠OBH＝90°， ∴∠CEB＝90°.在Rt△CEB中，由勾股定理，得BC＝ eq \r(CE2＋BE2) ＝ eq \r(5＋1) ＝ eq \r(6) ， ∴CH＝BH＝ eq \f(1,2) BC＝ eq \f(\r(6),2) . ∵cos ∠OBH＝ eq \f(BH,OB) ＝ eq \f(BE,BC) ，即 eq \f(\f(\r(6),2),OB) ＝ eq \f(1,\r(6)) ，∴OB＝3，∴⊙O的半径为3. 图 2 (2)证明：方法一：如图2，过点O作OK⊥BD于点K，则BK＝DK. ∵BD＝2OE，∴OE＝BK. 又∵∠CEO＝∠OKB＝90°，OC＝OB， ∴Rt△OEC≌Rt△BKO(HL)，∴∠COE＝∠OBK，∴BD∥OC. 方法二：如图2，过点O作OK⊥BD于点K，则BK＝DK. ∵BD＝2OE，∴OE＝BK. 又∵cos ∠COE＝ eq \f(OE,OC) ，cos ∠OBK＝ eq \f(BK,OB) ，OC＝OB， ∴cos ∠COE＝cos ∠OBK， ∴∠COE＝∠OBK，∴BD∥OC. 考向1　利用圆周角定理进行计算 1．[2024四川宜宾]如图，AB是⊙O的直径，若∠CDB＝60°，则∠ABC的度数等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° \a\vs4\al(（第1题图）) INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\一本中考题数学word\\ZK464.TIF" \* MERGEFORMATINET 　　 eq \a\vs4\al(（第2题图）) 2．[2024内蒙古赤峰]如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC＝42°，则∠OED的度数是(　　) A．61° B．63° C．65° D．67° 3．[2024山东泰安]如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD，若∠AOD＝50°，则∠A的度数为(　　) A．65° B．55° C．50° D．75° \a\vs4\al(（第3题图）) INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\一本中考题数学word\\ZK467.TIF" \* MERGEFORMATINET 　　 eq \a\vs4\al(（第4题图）) 4．[2024重庆]如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，连接BD，CD.若∠D＝28°，则∠OAB的度数为(　　) A．28° B．34° C．56° D．62° 5．[2024四川宜宾]如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，则 eq \f(AB＋AC,AD) 的值为(　　) A． eq \r(2) B． eq \r(3) C．2 eq \r(2) D．2 eq \r(3) 解析：如图，连接BD，CD. ∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°. ∵AD平分∠BAC交⊙O于D，∴∠BAD＝∠CAD＝45°， ∴ eq \x\to(BD) ＝ eq \x\to(DC) ，∴BD＝CD. 在四边形ABDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，∴∠ACD＋∠ABD＝180°. 将△ADC绕点D逆时针旋转90°后得到△A′DB，则∠A′BD＝∠ACD，∴∠A′BD＋∠ABD＝180°，∴A，B，A′三点共线，∴AB＋AC＝AB＋A′B＝AA′. 由旋转可知，∠A′DA＝90°，A′D＝AD，∴△A′DA是等腰直角三角形， ∴sin A′＝sin 45°＝ eq \f(AD,AA′) ＝ eq \f(\r(2),2) ，∴ eq \f(AA′,AD) ＝ eq \f(AB＋AC,AD) ＝ eq \r(2) . 6．[2023四川凉山]如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，BC＝2 eq \r(3) ，则OC＝(　　) A．1 B．2 C．2 eq \r(3) D．4 \a\vs4\al(（第6题图）) 一本中考题数学word\\ZK465.TIF" \* MERGEFORMATINET eq \a\vs4\al(（第7题图）) 7．[2023浙江杭州]如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝(　　) A．23° B．24° C．25° D．26° 8．[2023吉林]如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点(点P不与点B重合)，连接CP.若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是(　　) A．70° B．105° C．125° D．155° 解析：连接BC(图略). ∵∠BAC＝70°，∴∠BOC＝2∠BAC＝140°. ∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝ eq \f(1,2) ×(180°－140°)＝20°. ∵点P为OB上任意一点(点P不与点B重合)，∴0°<∠OCP<20°. ∵∠BPC＝∠BOC＋∠OCP＝140°＋∠OCP，∴140°<∠BPC<160°. 9．[2024北京]如图，⊙O的直径AB平分弦CD(不是直径).若∠D＝35°，则∠C＝_____________°. \a\vs4\al(（第9题图）) INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\一本中考题数学word\\ZK472.TIF" \* MERGEFORMATINET 　　 eq \a\vs4\al(（第10题图）) 10．[2024四川南充]如图，AB是⊙O的直径，位于AB两侧的点C，D均在⊙O上，∠BOC＝30°，则∠ADC＝_____________度． 11．[2024陕西]如图，BC是⊙O的弦，连接OB，OC，∠A是 eq \x\to(BC) 所对的圆周角，则∠A与∠OBC的和的度数是________． 解析：∵∠A是 eq \x\to(BC) 所对的圆周角，∠BOC是 eq \x\to(BC) 所对的圆心角，∴∠BOC＝2∠A. ∵∠BOC＋∠OBC＋∠OCB＝180°， ∴2∠A＋∠OBC＋∠OCB＝180°. ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB. ∴2∠A＋2∠OBC＝180°，∴∠A＋∠OBC＝90°. 12．[2024江苏连云港]如图，AB是圆的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1，∠4的一边分别经过点A，B，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________°. 解析：∵AB是圆的直径， ∴AB所对的弧是半圆，所对圆心角的度数是180°. ∵∠1，∠2，∠3，∠4所对弧的和是半圆， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝ eq \f(1,2) ×180°＝90°. 13．[2023山东烟台]如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为___________． 解析：设量角器的圆心是O，连接BO，OD(图略). ∵∠BOD＝130°－25°＝105°，∴∠BAD＝ eq \f(1,2) ∠BOD＝52.5°. 14．[2023湖南郴州]如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器________台． 解析：∵∠P＝55°，∴∠P所对弧对应的圆心角是110°. ∵360°÷110°＝3 eq \f(3,11) ， ∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台． 考向2　利用圆周角定理进行证明 15．[2024吉林长春]如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是　 eq \x\to(AC) 的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，DB交AC于点G，连接AD. 给出下面四个结论： ①∠ABD＝∠DAC； ②AF＝FG； ③当DG＝2，GB＝3时，FG＝ eq \f(\r(14),2) ； ④当 eq \x\to(BD) ＝2 eq \x\to(AD) ，AB＝6时，△DFG的面积是　 eq \r(3) . 上述结论中，正确结论的序号有_____________． 解析：①根据D是 eq \x\to(AC) 的中点得 eq \x\to(AD) ＝ eq \x\to(CD) ，由此可得∠ABD＝∠DAC，则结论①正确；②先证明∠ADE＝∠DAC得AF＝FD，再证明∠BDE＝∠AGD得FD＝FG，由此可得AF＝FG，则结论②正确；③在Rt△ADG中，tan ∠DAC＝ eq \f(DG,AD) ＝ eq \f(2,AD) ，在Rt△ABD中，tan ∠ABD＝ eq \f(AD,BD) ＝ eq \f(AD,5) ，再根据∠ABD＝∠DAC得tan ∠DAC＝tan ∠ABD，即 eq \f(2,AD) ＝ eq \f(AD,5) ，所以AD2＝10，在Rt△ADG中，由勾股定理得AG＝ eq \r(14) ，由②知AF＝FG，则FG＝ eq \f(1,2) AG＝ eq \f(\r(14),2) ，则结论③正确；④先证明点D，C为半圆弧上的三等分点，则∠ABD＝∠DAC＝30°，由此得AD＝3，DG＝ eq \r(3) ，进而得S△ADG＝ eq \f(1,2) AD·DG＝ eq \f(3\r(3),2) ，然后根据AF＝FG得S△DFG＝ eq \f(1,2) S△ADG＝ eq \f(3\r(3),4) ，则结论④错误． 综上所述，正确结论的序号有①②③. 16．[2023青海西宁]如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为D，弦CE与AB交于点F，连接AE，AC，BC. (1)求证：∠BAC＝∠E； (2)若AB＝8，DC＝2，CE＝3 eq \r(10) ，求CF的长． (1)证明：∵OC⊥AB，OC是⊙O的半径， ∴AD＝BD， eq \x\to(AC) ＝ eq \x\to(BC) ，∴∠BAC＝∠E. (2)解：∵∠BAC＝∠E，∠ACF＝∠ECA， ∴△ACF∽△ECA，∴ eq \f(AC,EC) ＝ eq \f(CF,CA) . ∵半径OC⊥AB，AB＝8，∴AD＝BD＝4. ∵∠ADC＝90°，AD＝4，DC＝2， ∴在Rt△ADC中，由勾股定理，得 AC＝ eq \r(AD2＋DC2) ＝2 eq \r(5) ， ∴ eq \f(2\r(5),3\r(10)) ＝ eq \f(CF,2\r(5)) ，∴CF＝ eq \f(2\r(10),3) . 17．[2023四川成都]如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O，交BC边于点D，过点C作CE∥AB交⊙O于点E，连接AD，DE，∠B＝∠ADE. (1)求证：AC＝BC； (2)若tan B＝2，CD＝3，求AB和DE的长． (1)证明：∵∠ADE＝∠ACE，∠ADE＝∠B， ∴∠B＝∠ACE. ∵CE∥AB，∴∠BAC＝∠ACE， ∴∠B＝∠BAC，∴AC＝BC. (2)解：如图，连接AE. ∵∠ADE＝∠B，∠AED＝∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴ eq \f(AD,AB) ＝ eq \f(DE,BC) . ∵AC为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△ABD中，tan B＝ eq \f(AD,BD) ＝2，∴AD＝2BD. ∵CD＝3，∴AC＝BC＝BD＋CD＝BD＋3. 在Rt△ADC中，由勾股定理，得AD2＋CD2＝AC2， 即(2BD)2＋32＝(BD＋3)2，∴BD＝2或BD＝0(不符合题意，舍去)， ∴AD＝2BD＝4，AB＝ eq \r(AD2＋BD2) ＝ eq \r(42＋22) ＝2 eq \r(5) ， BC＝BD＋CD＝2＋3＝5.∵ eq \f(AD,AB) ＝ eq \f(DE,BC) ，∴ eq \f(4,2\r(5)) ＝ eq \f(DE,5) ，∴DE＝2 eq \r(5) . 1.[2024四川广元]如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AD延长线上一点，∠AOC＝128°，则∠CDE等于(　　) A．64° B．60° C．54° D．52° 2．[2024浙江]如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连接EF，使∠AFE＝∠ADC. (1)若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数． (2)求证：①EF∥BC；②EF＝BD. (1)解：∵CD为直径，∴∠CAD＝90°. ∵∠AFE＝∠ADC＝60°，∴∠ACD＝90°－60°＝30°， ∴∠ABD＝∠ACD＝30°. (2)证明：①如图，延长AB. ∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠CBM＝∠ADC. 又∵∠AFE＝∠ADC，∴∠AFE＝∠CBM，∴EF∥BC. ②如图，过点D作DG∥BC交圆于点G，连接AG，CG. ∵DG∥BC，∴∠DCB＝∠GDC，∴ eq \x\to(BD) ＝ eq \x\to(CG) ，∴BD＝CG. ∵四边形ACGD是圆内接四边形，∴∠GDE＝∠ACG. ∵EF∥BC，BC∥DG，∴EF∥DG，∴∠AEF＝∠GDE，∴∠AEF＝∠ACG. ∵∠AFE＝∠ADC，∠ADC＝∠AGC，∴∠AFE＝∠AGC. 又∵AE＝AC，∴△AEF≌△ACG(AAS)，∴EF＝CG， 又∵BD＝CG，∴EF＝BD. 3．[2023内蒙古]如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是 eq \x\to(AC) 上一点，P是AB延长线上一点，连接AD，DC，CP. (1)求证：∠ADC－∠BAC＝90°；(请用两种证法解答) (2)若∠ACP＝∠ADC，⊙O的半径为3，CP＝4，求AP的长． INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\一本中考题数学word\\ZK482.TIF" \* MERGEFORMATINET 　　 备用图 (1)证明：方法一：如图1，连接BD. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°. ∵∠ADC－∠BDC＝∠ADB，∠BDC＝∠BAC，∴∠ADC－∠BAC＝90°. 图 2 方法二：如图2，连接BC. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵∠PBC＝∠BAC＋∠ACB，∴∠PBC－∠BAC＝90°. ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ADC＋∠ABC＝180°. ∵∠PBC＋∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠PBC，∴∠ADC－∠BAC＝90°. (2)解：由图2可得∠ADC＝∠PBC. ∵∠ACP＝∠ADC，∴∠PBC＝∠ACP， 又∵∠BPC＝∠CPA，∴△PBC∽△PCA， ∴ eq \f(BP,CP) ＝ eq \f(CP,AP) ，∴CP2＝AP·BP. ∵⊙O的半径为3，∴AB＝6，∴AP＝BP＋6. ∵CP＝4，∴42＝(BP＋6)·BP， ∴BP＝2或BP＝－8(不符合题意，舍去)， ∴AP＝BP＋6＝2＋6＝8. 4．[2023北京]如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB. (1)求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小； (2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长． 解：(1)∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB，∴DB平分∠ADC. ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD. ∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ABC＋∠ADC＝180°， ∴∠ABD＋∠CBD＋∠ADB＋∠CDB＝180°， ∴2(∠ABD＋∠ADB)＝180°，∴∠ABD＋∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝180°－(∠ABD＋∠ADB)＝180°－90°＝90°. (2)∵∠BAE＋∠DAE＝90°，∠BAE＝∠ADE， ∴∠ADE＋∠DAE＝90°，∴∠AED＝90°. ∵∠BAD＝90°，∴BD是圆的直径，∴BD垂直平分AC，∴AD＝CD. 又∵AC＝AD，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°. ∵BD⊥AC，∴∠BDC＝ eq \f(1,2) ∠ADC＝30°. ∵CF∥AD，∴∠F＋∠BAD＝180°，∴∠F＝90°. ∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC＋∠ABC＝180°. ∵∠FBC＋∠ABC＝180°，∴∠FBC＝∠ADC＝60°，∴BC＝2BF＝4. ∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°，∴BC＝ eq \f(1,2) BD. ∵BD是圆的直径，∴此圆的半径长是4. 5．[2023安徽]已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径． (1)如图1，连接OA，CA，若OA⊥BD，求证：CA平分∠BCD. (2)如图2，E为⊙O内一点，满足AE⊥BC，CE⊥AB.若BD＝3 eq \r(3) ，AE＝3，求弦BC的长． INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\一本中考题数学word\\ZK486.TIF" \* MERGEFORMATINET 图 1　　 图 2 (1)证明：∵OA⊥BD，∴ eq \x\to(AB) ＝ eq \x\to(AD) ， ∴∠ACB＝∠ACD，∴CA平分∠BCD. (2)解：如图，延长AE交BC于点M，延长CE交AB于点N. ∵AE⊥BC，CE⊥AB，∴∠AMB＝∠CNB＝90°. ∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴∠BAD＝∠CNB，∠BCD＝∠AMB， ∴AD∥NC，CD∥MA， ∴四边形AECD是平行四边形，∴CD＝AE＝3. 在Rt△BCD中，由勾股定理，得 BC＝ eq \r(BD2－CD2) ＝ eq \r(（3\r(3)）2－32) ＝3 eq \r(2) . 1.[2024陕西汉中模拟]图1是一个球形烧瓶，图2是从正面看这个球形烧杯下半部分的示意图，已知⊙O的半径OA＝5 cm，瓶内液体的最大深度CD＝2 cm，则⊙O的弦AB长为(　　) 图 1　 A．4 eq \r(2) cm B．6 cm C．8 cm D．8.4 cm 2．[2024云南楚雄模拟]如图所示，在⊙O中，直径AB＝10，弦DC⊥AB于点E，连接OC.若OE∶OB＝3∶5，则CD的长为(　　) A．3 B．4 C．5 D．8 3．[2024山东枣庄模拟]如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名．某地园林中有一个圆弧形门洞，高为2.5 m，地面入口宽为1 m，则该门洞的半径为________m. INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\一本中考题数学word\\ZK490.TIF" \* MERGEFORMATINET 　　 解析：如图，设圆的半径为r m. 由题意可知，DF＝ eq \f(1,2) CD＝0.5 m，EF＝2.5 m. 在Rt△OFD中，由勾股定理，得OF＝ eq \r(r2－0.52) . ∵OF＋r＝2.5 m，∴ eq \r(r2－0.52) ＋r＝2.5，∴r＝1.3， ∴该门洞的半径为1.3 m. 4.[2024山东济宁模拟]如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点F，D，点F是 eq \x\to(BD) 的中点，连接AF，BD交于点E.若AB＝10，CD＝4，连接DF，则弦DF的长为(　　) A．2 eq \r(5) B．4 eq \r(5) C．4 D．5 解析：∵AB为⊙O的直径，∴AF⊥BC，BD⊥AC. ∵点F是 eq \x\to(BD) 的中点，∴BF＝DF，∠BAF＝∠DAF， ∴AB＝AC，BF＝CF，∴DF＝ eq \f(1,2) BC. ∵AB＝10，CD＝4，∴AD＝AC－CD＝AB－CD＝6. ∵AB2－AD2＝BD2＝BC2－CD2，∴102－62＝BC2－42，∴BC＝4 eq \r(5) ， ∴DF＝ eq \f(1,2) BC＝ eq \f(1,2) ×4 eq \r(5) ＝2 eq \r(5) . 5．[2024江苏扬州模拟]如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则sin ∠ADC的值为_____________． 解析：连接AC，BC(图略)， ∵∠ADC和∠ABC所对的弧都是 eq \x\to(AC) ，∴∠ADC＝∠ABC. 在Rt△ABC中，sin ∠ABC＝ eq \f(AC,AB) . ∵AC＝2，BC＝3，∴AB＝ eq \r(AC2＋BC2) ＝ eq \r(13) ， ∴sin ∠ABC＝ eq \f(AC,AB) ＝ eq \f(2,\r(13)) ＝ eq \f(2\r(13),13) ， ∴sin ∠ADC＝sin ∠ABC＝ eq \f(2\r(13),13) . eq \f(2\r(13),13) 6．[2024安徽模拟]如图1，AB是⊙O的弦，点C和点D是⊙O上的点，AD和BC交于点P，AD＝BC. (1)求证：AP＝BP； (2)如图2，若AD⊥BC，点E是 eq \x\to(BD) 上一点且 eq \x\to(DE) ＝ eq \x\to(CD) ，AE与BC交于点F，求证：BE＝BF. INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\一本中考题数学word\\ZK496.TIF" \* MERGEFORMATINET 图 1　　 图 2 证明：(1)∵AD＝BC，∴ eq \x\to(AD) ＝ eq \x\to(BC) ， ∴ eq \x\to(AD) － eq \x\to(CD) ＝ eq \x\to(BC) － eq \x\to(CD) ，∴ eq \x\to(AC) ＝ eq \x\to(BD) ， ∴∠ABC＝∠BAD，∴AP＝BP. (2)如图，连接AC. ∵ eq \x\to(DE) ＝ eq \x\to(CD) ，∴∠CAP＝∠FAP. ∵AD⊥BC，∴∠APC＝∠APF＝90°，∴∠C＝∠AFC. ∵∠C＝∠E，∠AFC＝∠BFE， ∴∠E＝∠BFE，∴BE＝BF. 7.[2024山东青岛模拟]如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，∠ADC＝105°，AD＝2，C为 eq \x\to(BD) 的中点，则BC的长为(　　) A．2 B．2 eq \r(3) C．2 eq \r(2) D．4 8．[2024浙江模拟]如图1，等边三角形ABC内接于⊙O，点D，E分别在 eq \x\to(AC) 和 eq \x\to(AB) 上，连接AD，DC，AE，BE，且AD＝BE. (1)求证：△ADC≌△BEA. (2)如图2，连接DE，已知BC＝6. ①求DE的长； ②若∠CAD＝45°，求DC的长． INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\一本中考题数学word\\ZK498.TIF" \* MERGEFORMATINET 图 1　　 图 2 (1)证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°， ∴∠ADC＝∠BEA＝120°. ∵AD＝BE，∴ eq \x\to(AD) ＝ eq \x\to(BE) ，∴∠ACD＝∠BAE. ∵∠ADC＝∠BEA，∠ACD＝∠BAE，AC＝BA， ∴△ADC≌△BEA(AAS). (2)解：①∵△ADC≌△BEA，∴CD＝AE， ∴ eq \x\to(CD) ＝ eq \x\to(AE) ，∴ eq \x\to(CD) ＋ eq \x\to(AD) ＝ eq \x\to(AE) ＋ eq \x\to(AD) ， ∴ eq \x\to(AC) ＝ eq \x\to(ED) ，∴DE＝AC＝BC＝6. ②如图，过点C作CH⊥AD，交AD的延长线于点H. ∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝6. 由圆内接四边形的性质，得∠CDH＝∠ABC＝60°. ∵∠CAD＝45°，∴CH＝AC·sin 45°＝3 eq \r(2) ， ∴在Rt△CDH中，DC＝ eq \f(CH,sin 60°) ＝2 eq \r(6) . $$题组❶ 弧长的计算 题组❷ 面积的计算 题组❸ 圆锥的计算 题组❹ 正多边形和圆的计算 考点❶ 弧长的计算 考点❷ 面积的计算 考点❸ 圆锥和圆柱的计算 考点❹ 正多边形和圆的计算 模拟考题讲练 真题考向解读 圆——与圆有关的计算 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 考点❶ 弧长的计算 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 真题考向解读 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 8π 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 考点❷ 面积的计算 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 考点❸ 圆锥和圆柱的计算 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 第7题 第8题 第9题 第10题 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 考点❹ 正多边形和圆的计算 第1题 第2题 第3题 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 第1题 第2题 题组❶ 弧长的计算 第3题 第4题 模拟考题讲练 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 6π 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 题组❷ 面积的计算 第5题 第6题 第7题 第8题 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 题组❸ 圆锥的计算 第10题 第9题 第11题 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 题组❹ 正多边形和圆的计算 第13题 第12题 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 1.[2024四川广安]如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，∠C＝70°，以AB为直径作半圆，与AC，BC分别相交于点D，E，则 eq \x\to(DE) 的长度为(　　) A． eq \f(π,9) B． eq \f(5π,9) C． eq \f(10π,9) D． eq \f(25π,9) 2．[2023内蒙古通辽]如图，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交 eq \x\to(AB) 于点D，点C是半径OB上一动点，若OA＝1，则阴影部分周长的最小值为(　　) A． eq \r(2) ＋ eq \f(π,6) B． eq \r(2) ＋ eq \f(π,3) C．2 eq \r(2) ＋ eq \f(π,6) D．2 eq \r(2) ＋ eq \f(π,3) 解析：如图，作点D关于直线OB的对称点E，连接OE，连接AE交OB于点C，此时阴影部分的周长最小． 在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交 eq \x\to(AB) 于点D，∴∠AOD＝∠BOD＝30°. 由轴对称的性质，得∠EOB＝∠BOD＝30°，OE＝OD， ∴∠AOE＝90°，∴△AOE是等腰直角三角形． ∵OA＝1，∴AE＝ eq \r(2) ，l eq \a\vs4\al(\x\to(AD)) 　＝ eq \f(30π×1,180) ＝ eq \f(π,6) ， ∴阴影部分周长的最小值为AE＋l eq \a\vs4\al(\x\to(AD)) 　＝ eq \r(2) ＋ eq \f(π,6) . 3．[2024甘肃临夏]如图，对折边长为2的正方形纸片ABCD，OM为折痕，以点O为圆心，OM为半径作弧，分别交AD，BC于E，F两点，则 eq \x\to(EF) 的长度为___________．(结果保留π) eq \f(2π,3) 4．[2024江苏苏州]铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O， eq \x\to(AB) 所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，若AB＝2 eq \r(3) ，则花窗的周长(图中实线部分的长度)＝________．(结果保留π) 5．[2024江西]如图，AB是半圆O的直径，点D是弦AC延长线上一点，连接BD，BC，∠D＝∠ABC＝60°. (1)求证：BD是半圆O的切线； (2)当BC＝3时，求 eq \x\to(AC) 的长． (1)证明：∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＋∠A＝90°. ∵∠D＝∠ABC，∴∠D＋∠A＝90°， ∴∠ABD＝180°－(∠D＋∠A)＝90°. ∵OB是半圆O的半径，∴BD是半圆O的切线． (2)解：如图，连接OC. ∵∠ABC＝60°，OC＝OB，∴△BOC是等边三角形， ∴∠AOC＝2∠ABC＝120°，OC＝BC＝3， ∴l eq \a\vs4\al(\x\to(AC)) 　＝ eq \f(120π×3,180) ＝2π. 考向1　扇形面积的计算 1．[2024河北]扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为120°时，扇面面积为S，该折扇张开的角度为n°时，扇面面积为Sn，若m＝ eq \f(Sn,S) ，则m与n关系的图象大致是(　　) 　 A　　 B　 C　　 D 2．[2024内蒙古]如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E.⊙O的两条弦FB，FD相交于点F，∠DAE＝∠BFD. (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若∠C＝30°，CD＝2 eq \r(3) ，求扇形BOD的面积． (1)证明：如图，连接OD，则OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABC. ∵∠DAE＝∠BFD，∠DAB＝∠BFD，∴∠DAE＝∠DAB. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADC＝∠ADB＝90°， 在Rt△ADC中，cos ∠DAE＝ eq \f(AD,AC) ， 在Rt△ADB中，cos ∠DAB＝ eq \f(AD,AB) ， ∴ eq \f(AD,AC) ＝ eq \f(AD,AB) ，∴AC＝AB，∴∠C＝∠ABC，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC. ∵DE⊥AC，∴∠ODE＝∠DEC＝90°. ∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线． (2)解：由(1)知，AC＝AB，AD⊥BC， ∴BD＝CD＝2 eq \r(3) ，∠ADB＝90°，∠ABD＝∠C＝30°， ∴∠BAD＝90°－∠ABD＝60°，∴∠BOD＝2∠BAD＝120°. 在Rt△BAD中，sin ∠BAD＝sin 60°＝ eq \f(BD,AB) ＝ eq \f(2\r(3),AB) ＝ eq \f(\r(3),2) ， ∴AB＝4，∴OB＝ eq \f(1,2) AB＝2，∴S扇形BOD＝ eq \f(120π×22,360) ＝ eq \f(4π,3) ， ∴扇形BOD的面积为 eq \f(4π,3) . 考向2　阴影部分面积的计算 3．[2024山东泰安]两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O′的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是(　　) A． eq \f(4,3) π－ eq \r(3) B． eq \f(3,4) π C． eq \f(2,3) π－ eq \r(3) D． eq \f(4,3) π－ eq \f(\r(3),4) 解析：如图，连接OA，AO′，作AB⊥OO′于点B. ∵OA＝O′A＝OO′＝2，∴△AOO′是等边三角形，∴AB＝ eq \r(3) ， ∴S弓形AO′＝S扇形AOO′－S△AOO′＝ eq \f(60π×22,360) － eq \f(1,2) ×2× eq \r(3) ＝ eq \f(2,3) π－ eq \r(3) ，∴S阴影＝S弓形AO′＋S扇形AO′O＝ eq \f(2,3) π－ eq \r(3) ＋ eq \f(60π×22,360) ＝ eq \f(4,3) π－ eq \r(3) . 4．[2023四川广安]如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 eq \r(2) ，以点A为圆心，AC为半径画弧，交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点F，则图中阴影部分的面积是(　　) A．π－2 B．2π－2 C．2π－4 D．4π－4 解析：∵在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 eq \r(2) ， ∴∠A＝∠B＝45°，∴S阴影＝S扇形CAE＋S扇形CBF－S△ABC＝ eq \f(45π×（2\r(2)）2,360) ×2－ eq \f(1,2) ×2 eq \r(2) ×2 eq \r(2) ＝2π－4. 5．[2024山西]如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图(阴影部分为花窗).通过测量得到扇形AOB的圆心角为90°，OA＝1 m，点C，D分别为OA，OB的中点，则花窗的面积为___________m2. INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\一本中考题数学word\\ZK544.TIF" \* MERGEFORMATINET 图 1　　 图 2 ( eq \f(π,4) － eq \f(1,8) ) 解析：∵点C，D分别为OA，OB的中点，OA＝1 m，∴OC＝OD＝ eq \f(1,2) m， ∴S△OCD＝ eq \f(1,2) OC·OD＝ eq \f(1,2) × eq \f(1,2) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,8) (m2). ∵S扇形AOB＝ eq \f(90π×12,360) ＝ eq \f(π,4) (m2)，∴花窗的面积为S扇形AOB－S△OCD＝( eq \f(π,4) － eq \f(1,8) )m2. 6．[2024四川乐山]如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，过点C作⊙O的切线CD交BA延长线于点D，点E为 eq \x\to(CB) 上一点，且 eq \x\to(AC) ＝ eq \x\to(CE) . (1)求证：DC∥AE； (2)若EF垂直平分OB，DA＝3，求阴影部分的面积． (1)证明：如图，连接OC. ∵CD为⊙O的切线，点C在⊙O上，∴∠OCD＝90°，即∠DCA＋∠OCA＝90°. ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即∠1＋∠OCA＝90°，∴∠DCA＝∠1. ∵OC＝OB，∴∠1＝∠2. ∵ eq \x\to(AC) ＝ eq \x\to(CE) ，∴∠2＝∠3，∴∠DCA＝∠3，∴DC∥AE. (2)解：如图，连接OE，BE. ∵EF垂直平分OB，∴OE＝BE. 又∵OE＝OB，∴△OEB为等边三角形，∴∠BOE＝∠OEB＝60°，∠AOE＝120°. ∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA＝30°. ∵DC∥AE，∴∠D＝∠OAE＝30°. ∵∠OCD＝90°，∴∠DOC＝60°. ∵OA＝OC，∴△AOC为等边三角形， ∴∠OCA＝60°，OA＝OC＝AC，∴∠DCA＝30°， ∴∠D＝∠DCA，∴DA＝AC＝OA＝OC＝OE＝3. 在Rt△OEF中，∠FOE＝60°，OE＝3，∴EF＝OE·sin 60°＝ eq \f(3\r(3),2) ， ∴S△OAE＝ eq \f(1,2) AO·EF＝ eq \f(9\r(3),4) . ∵S扇形AOE＝ eq \f(120π×32,360) ＝3π，∴S阴影＝S扇形AOE－S△OAE＝3π－ eq \f(9\r(3),4) . 考向1　圆锥的计算 1．[2024云南]某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为40 cm，底面圆的半径为30 cm，则该圆锥的侧面积为(　　) A．700π cm2 B．900π cm2 C．1 200π cm2 D．1 600π cm2 2．[2024广东广州]如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的体积是(　　) A． eq \f(3\r(11),8) π B． eq \f(\r(11),8) π C．2 eq \r(6) π D． eq \f(2\r(6),3) π 3．[2024江苏扬州]若用半径为10 cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为_____________cm. 4．[2024黑龙江齐齐哈尔]若圆锥的底面半径是1 cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为______________cm. 5．[2024山东烟台]如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，以点F为圆心，以FB的长为半径作 eq \x\to(BD) ，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为______________． 5 eq \r(15) eq \r(3) 6．[2023湖南邵阳]如图，某数学兴趣小组用一张半径为30 cm的扇形纸板做成一个圆锥形帽子(接缝忽略不计)，如果做成的圆锥形帽子的底面半径为8 cm，那么这张扇形纸板的面积为____________cm2.(结果保留π) 240π 7．[2024广东]综合与实践 【主题】滤纸与漏斗． 【素材】如图1所示： ①一张直径为10 cm的圆形滤纸； ②一只漏斗口直径与母线均为7 cm的圆锥形过滤漏斗． 【实践操作】 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示的漏斗中． 【实践探索】 (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)？用你所学的数学知识说明． (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．(结果保留π) 图 2 解：(1)滤纸能紧贴此漏斗内壁．说明如下： 如图作出示意图．由题意知，AB＝AC＝BC＝7 cm， 滤纸折叠后CD＝CE＝ eq \f(1,2) ×10＝5(cm). ∵圆锥形滤纸的底面周长为 eq \f(1,2) ×10π＝5π(cm)， ∴DE·π＝5π，∴DE＝5 cm， ∴ eq \f(DE,AB) ＝ eq \f(CD,CA) ＝ eq \f(CE,CB) ＝ eq \f(5,7) ， ∴△CDE∽△CAB，∴滤纸能紧贴此漏斗内壁． (2)由(1)知，CD＝DE＝CE＝5 cm，∴∠CDE＝60°. 如图，过点C作CF⊥DE于点F，则DF＝ eq \f(1,2) DE＝ eq \f(5,2) cm. 在Rt△CDF中，CF＝ eq \r(CD2－DF2) ＝ eq \r(52－（\f(5,2)）2) ＝ eq \f(5 \r(3),2) (cm)， ∴V＝ eq \f(1,3) ×π×( eq \f(5,2) )2× eq \f(5\r(3),2) ＝ eq \f(125\r(3),24) π(cm3). 答：滤纸围成圆锥形的体积是 eq \f(125\r(3),24) π cm3. 考向2　圆柱的计算 8．(多选题)[2024山东潍坊]如图，圆柱的底面半径为 eq \r(3) ，高为1.下列关于该圆柱的结论正确的有(　　) A．体积为π B．母线长为1 C．侧面积为2 eq \r(3) π D．侧面展开图的周长为2＋8 eq \r(3) π 考向3　最短路线问题 9．[2023湖北十堰]如图，已知点C为圆锥母线SB的中点，AB为底面圆的直径，SB＝6，AB＝4，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为(　　) A．5 B．3 eq \r(3) C．3 eq \r(2) D．6 eq \r(3) 10．[2023内蒙古赤峰]某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为20π cm，母线AB长为30 cm.为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带(彩带宽度忽略不计)，这条彩带的最短长度是(　　) A．30 cm B．30 eq \r(3) cm C．60 cm D．20π cm 解析：将圆锥的侧面展开如图所示． ∵圆锥的底面圆周长为20π cm， ∴圆锥的侧面展开图的扇形的弧长为20π cm. 设扇形的圆心角为n°， ∴ eq \f(nπ×30,180) ＝20π，解得n＝120， ∴∠ABA′＝120°. 连接AA′，作BC⊥AA′于点C，∴∠BAA′＝30°， ∴AC＝AB·cos 30°＝30× eq \f(\r(3),2) ＝15 eq \r(3) (cm)， ∴AA′＝2AC＝30 eq \r(3) cm， ∴这条彩带的最短长度是30 eq \r(3) cm. 1.[2024四川甘孜]如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，OA＝1，则AB的长为(　　) A．2 B． eq \r(3) C．1 D． eq \f(1,2) 2．[2024四川德阳]已知，正六边形ABCDEF的面积为6 eq \r(3) ，则正六边形的边长为(　　) A．1 B． eq \r(3) C．2 D．4 3．[2023山西]蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为(－2 eq \r(3) ，3)，(0，－3)，则点M的坐标为(　　) INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\一本中考题数学word\\ZK555.TIF" \* MERGEFORMATINET 　　 A．(3 eq \r(3) ，－2) B．(3 eq \r(3) ，2) C．(2，－3 eq \r(3) ) D．(－2，－3 eq \r(3) ) 1.[2024山西晋城模拟]传送带是一种传送系统，可以运输各种形状的物料．如图，已知某一条传送带转动轮的半径为20 cm，如果该转动轮转动了两周后又转过120°，那么传送带上的物体A被传送的距离为(物体A始终在传送带上)(　　) A． eq \f(40,3) π cm B．40π cm C．80π cm D． eq \f(280,3) π cm 2．[2024山西阳泉模拟]如图，四边形OABC1是正方形，曲线C1C2，C2C3，C3C4，C4C5，…叫做“正方形的渐开线”，其中C1C2，C2C3，C3C4，C4C5，…的圆心依次按O，A，B，C1循环，当OA＝1时，弧C2 024C2 025的长为(　　) A．1 012π B．1 022.5π C．2 024π D．2 025π 解析：∵四边形OABC1是正方形，且OA＝1， ∴曲线C1C2所在圆的半径为1，且 eq \x\to(C1C2) 所对圆心角为90°， 则 eq \x\to(C1C2) 的长为 eq \f(90×π×1,180) ＝ eq \f(π,2) ， 同理可得， eq \x\to(C2C3) 的长为 eq \f(90×π×2,180) ＝π， eq \x\to(C3C4) 的长为 eq \f(90×π×3,180) ＝ eq \f(3π,2) ，…， 依次类推， \f(90×π×n,180) INCLUDEPICTURE "ZK888-1.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\一本中考题数学word\\ZK888-1.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\一本中考题数学word\\ZK888-1.TIF" \* MERGEFORMATINET ＝＝ eq \f(nπ,2) (n为正整数)， ∴弧C2 024C2 025的长为 eq \f(90×π×2 024,180) ＝1 012π. 3．[2024甘肃武威模拟]生活中常见的轮子都是圆形，有一种特殊的莱洛三角形，是由三段相等的圆弧构成的，虽然不是圆，但是用它的形状做成滚轮(如图1)的效果和圆形滚轮是相同的，其原理为每个顶点到所对圆弧的距离都为等边三角形的边长，如图2，△ABC的中心O到三个顶点的距离均为2 eq \r(3) cm，则这个莱洛三角形的周长为________________cm. INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\一本中考题数学word\\ZK559.TIF" \* MERGEFORMATINET 图 1　　 图 2 4．[2024山东潍坊模拟]如图，点A1的坐标是(1，0)，过点A1作x轴的垂线交直线l：y＝x于点B1，以原点O为圆心，OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2，再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3.按此作法进行下去，则弧A2 024B2 023的长是________． ( eq \r(2) )2 019π 解析：∵点A1的坐标是(1，0)，∴OA1＝1. ∵当x＝1时，y＝x＝1， ∴点B1的坐标是(1，1)， ∴△OA1B1是等腰直角三角形， ∴OB1＝ eq \r(2) ，∠A1OB1＝45°. 由题意，得OA2＝OB1＝ eq \r(2) ，同理可得，OA3＝( eq \r(2) )2， 依次类推，OA2 024＝( eq \r(2) )2 023， ∴弧A2 024B2 023的长是 eq \f(45π×（\r(2)）2 023,180) ＝( eq \r(2) )2 019π. ( eq \r(2) )2 019π 5.[2024河北沧州模拟]如图是型号为24英寸(车轮的直径为24英寸，约60 cm)的自行车，现要在自行车两轮的阴影部分(分别以C，D为圆心的两个扇形)装上挡水的铁皮，量出四边形ABCD中∠DAB＝115°，∠ABC＝125°，那么安装单侧(阴影部分)需要的铁皮面积约是(　　) A．300π cm2 B．500π cm2 C．900π cm2 D．1 200π cm2 6．[2024浙江杭州模拟]《九章算术》是中国古代第一部数学专著，第一章“方田”中已讲述了平面几何图形面积的计算方法，比如扇形面积的计算，“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”大致意思为：现有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，则这块田的面积为(　　) A．120平方步 B．240平方步 C． eq \f(32,3) π平方步 D． eq \f(44,3) π平方步 7．[2024山东济南模拟]如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，则图中阴影部分的面积为________． eq \f(8π,3) 解析：由旋转的性质可知，△ABC≌△ADE， ∴S阴影＝S扇形EAC－S扇形BAD ＝ eq \f(60π·AC2,360) － eq \f(60π·AB2,360) ＝ eq \f(60π·BC2,360) ＝ eq \f(60π×42,360) ＝ eq \f(8π,3) . 8．[2024河南洛阳模拟]如图，在2×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，线段CD与弧AC交于点E，求图中阴影部分的面积． 解：如图，连接AD，AE，AC. ∵AD＝AC＝ eq \r(12＋22) ＝ eq \r(5) ，CD＝ eq \r(12＋32) ＝ eq \r(10) ， ∴AD2＋AC2＝CD2，∴∠CAD＝90°， ∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠ACE＝∠ADE＝45°， ∵∠ABC＝90°，∴AC是半圆的直径， ∴∠AEC＝90°，∴∠CAE＝∠ACE＝45°， ∴ eq \x\to(CE) 所对的圆心角为90°， ∴S阴影＝ eq \f(90π×（\f(\r(5),2)）2,360) － eq \f(1,2) × eq \f(\r(5),2) × eq \f(\r(5),2) ＝ eq \f(5π,16) － eq \f(5,8) . 9.[2024山东东营模拟]草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知，圆锥模型的侧面积为(　　) INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\一本中考题数学word\\ZK566.TIF" \* MERGEFORMATINET 　 A．16π cm2 B．20π cm2 C．24π cm2 D．25π cm2 10．[2024四川广元模拟]如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝a，BC＝b，且a＞b，将△ABC绕边BC所在的直线旋转一周形成圆锥甲，再将△ABC绕边AB所在的直线旋转一周形成圆锥乙，记两个圆锥的全面积分别为S甲，S乙，判断S甲，S乙的大小关系，并说明理由． INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\一本中考题数学word\\ZK569.TIF" \* MERGEFORMATINET 甲　　 乙 解：S甲>S乙．理由如下： 在Rt△ABC中，AC＝ eq \r(AB2＋BC2) ＝ eq \r(a2＋b2) . S甲－S乙＝(πa2＋ eq \f(1,2) ·2πa· eq \r(a2＋b2) )－(πb2＋ eq \f(1,2) ·2πb· eq \r(a2＋b2) )＝πa2－πb2＋πa· eq \r(a2＋b2) －πb· eq \r(a2＋b2) ＝π(a－b)(a＋b)＋π eq \r(a2＋b2) (a－b) ＝π(a－b)(a＋b＋ eq \r(a2＋b2) ). ∵a>b，∴a－b>0， ∴π(a－b)(a＋b＋ eq \r(a2＋b2) )＞0，∴S甲＞S乙． 11．[2024广东阳江模拟]综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽． 【素材】一张圆形纸板、装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为n°的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】 在制作好的生日帽中，AB＝6 cm，l＝6 cm，C是PB的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\一本中考题数学word\\ZK571.TIF" \* MERGEFORMATINET 图 1　　 图 2 解：∵l＝6 cm，AB＝6 cm，∴r＝ eq \f(1,2) AB＝3 cm. ∵ eq \f(1,2) ×2πr×l＝ eq \f(nπl2,360) ，∴n＝ eq \f(360r,l) ＝ eq \f(360×3,6) ＝180， ∴圆锥的侧面展开后得到的扇形的圆心角为180°，如图所示， ∴∠A′PC＝ eq \f(1,2) ×180°＝90°，PA′＝PB＝6 cm. ∵C是PB的中点，∴PC＝ eq \f(1,2) PB＝3 cm. 在Rt△A′PC中，由勾股定理，得 A′C＝ eq \r(\a\vs4\al(PA′2＋PC2)) ＝ eq \r(62＋32) ＝3 eq \r(5) (cm)， ∴彩带长度的最小值为2A′C＝6 eq \r(5) cm. 12.[2024河南驻马店模拟]我们都知道蜂巢是由很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形ABCDEF，若圆O的内接正六边形为正六边形ABCDEF，则BF的长为(　　) INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\一本中考题数学word\\ZK573.TIF" \* MERGEFORMATINET 　　 A．12 B．3 eq \r(3) C．6 eq \r(3) D．6 eq \r(2) 13．[2024山东东营模拟]如图，正方形ABCD的外接圆的半径为4，则它的内切圆的半径为________． 2 eq \r(2) $$题组❶ 三角形的内心 题组❷ 三角形的外接圆 题组❸ 切线的判定和性质 考点❶ 直线与圆的位置关系 考点❷ 切线的判定和性质 考点❸ 三角形的外接圆 模拟考题讲练 真题考向解读 圆——点、直线与圆的位置关系 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 考点❶ 直线与圆的位置关系 第1题 第2题 真题考向解读 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 2 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 考点❷ 切线的判定和性质 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 第7题 第8题 第9题 第10题 第11题 第12题 第13题 第14题 第15题 第16题 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 40° 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 6.9 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 考点❸ 三角形的外接圆 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 35° 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 8 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ∠1 △BCD 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 第1题 第2题 题组❶ 三角形的内心 模拟考题讲练 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 题组❷ 三角形的外接圆 第3题 第4题 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 ✔ 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 题组❸ 切线的判定和性质 第6题 第5题 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 中考数学复习专题练习课件 中考·数学 第1页 1.[2023湖南衡阳]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6.以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，r的值为________． eq \f(24,5) 解析：设⊙C与AB所在的直线相切，切点为点D，连接CD，则CD＝r，如图所示． ∵CD是⊙C的半径，AB与⊙C相切于点D，∴AB⊥CD. ∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝ eq \r(AC2＋BC2) ＝ eq \r(82＋62) ＝10. ∵S△ACB＝ eq \f(1,2) AB·CD＝ eq \f(1,2) AC·BC， ∴ eq \f(1,2) ×10r＝ eq \f(1,2) ×8×6，∴r＝ eq \f(24,5) . 2．[2023江苏镇江]已知一次函数y＝kx＋2的图象经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心，r为半径作⊙O.若对于符合条件的任意实数k，一次函数y＝kx＋2的图象与⊙O总有两个公共点，则r的最小值为________． 解析：在y＝kx＋2中，令x＝0，则y＝2，于是得到一次函数y＝kx＋2的图象与y轴交于(0，2)，求得一次函数过定点(0，2)，当⊙O过(0，2)时，两者至少有一个交点．根据一次函数经过第一、二、四象限，得到直线与圆必有两个交点，而当⊙O的半径小于2时，圆与直线存在相离的可能，所以半径至少为2. 考向1　切线的判定 1．[2024四川南充]如图，在⊙O中，AB是直径，AE是弦，点F是 eq \x\to(AE) 上一点， eq \x\to(AF) ＝ eq \x\to(BE) ，AE，BF交于点C，点D为BF延长线上一点，且∠CAD＝∠CDA. (1)求证：AD是⊙O的切线； (2)若BE＝4，AD＝2 eq \r(5) ，求⊙O的半径长． (1)证明：∵ eq \x\to(AF) ＝ eq \x\to(BE) ，∴∠ABF＝∠BAE. ∵∠CAD＋∠BAE＋∠CDA＋∠ABF＝180°，且∠CAD＝∠CDA， ∴∠CAD＋∠BAE＋∠CAD＋∠BAE＝180°， ∴∠OAD＝∠CAD＋∠BAE＝90°. ∵OA是⊙O的半径，且AD⊥OA，∴AD是⊙O的切线． (2)解：如图，连接AF. ∵ eq \x\to(AF) ＝ eq \x\to(BE) ，BE＝4，AD＝2 eq \r(5) ，∴AF＝BE＝4. ∵AB是⊙O的直径，∴∠AFD＝∠AFB＝90°， ∴DF＝ eq \r(AD2－AF2) ＝ eq \r(（2\r(5)）2－42) ＝2. ∵∠BAD＝∠AFD＝90°，∴tan D＝ eq \f(AB,AD) ＝ eq \f(AF,DF) ＝ eq \f(4,2) ＝2， ∴AD＝ eq \f(1,2) AB，∴OA＝ eq \f(1,2) AB＝AD＝2 eq \r(5) ， ∴⊙O的半径长为2 eq \r(5) . 2．[2024四川凉山]如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D的直线DE⊥AC，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F. (1)求证：EF是⊙O的切线； (2)连接EO并延长，分别交⊙O于M，N两点，交AD于点G，若⊙O的半径为2，∠F＝30°，求GM·GN的值． (1)证明：如图，连接OD.∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2. ∵OA＝OD，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴OD∥AC. ∵DE⊥AC，∴OD⊥DE. 又∵OD是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线． (2)解：如图，连接MD，AN. 在Rt△ODF中，OB＝OD＝2，∠F＝30°，∴OD＝ eq \f(1,2) OF，∠BOD＝60°， ∴OF＝4，∴DF＝ eq \r(OF2－OD2) ＝2 eq \r(3) ，∴AF＝OA＋OF＝2＋4＝6. 在Rt△AEF中，∠F＝30°，∴AE＝ eq \f(1,2) AF＝3. ∵∠F＝30°，OD⊥EF，∴∠DOF＝60°＝∠2＋∠3， ∵OA＝OD，∴∠2＝∠3＝30°，∴∠2＝∠F，∴AD＝DF＝2 eq \r(3) . ∵OD∥AE，∴△DGO∽△AGE，∴ eq \f(DG,AG) ＝ eq \f(OD,EA) ＝ eq \f(2,3) ，∴DG＝ eq \f(2,5) AD，AG＝ eq \f(3,5) AD. ∵∠MDG＝∠ANM，∠MGD＝∠AGN， ∴△MGD∽△AGN，∴ eq \f(GM,GA) ＝ eq \f(GD,GN) ， ∴GM·GN＝GD·GA＝ eq \f(2,5) AD· eq \f(3,5) AD＝ eq \f(6,25) AD2＝ eq \f(6,25) ×(2 eq \r(3) )2＝ eq \f(72,25) . 3．[2024四川德阳]已知⊙O的半径为5，B，C是⊙O上两定点，点A是⊙O上一动点，且∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交⊙O于点D. (1)证明：点D为 eq \x\to(BC) 上一定点． (2)过点D作BC的平行线交AB的延长线于点F. ①判断DF与⊙O的位置关系，并说明理由； ②若△ABC为锐角三角形，求DF的取值范围． (1)证明：如图1，连接OB，OD. ∵∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交⊙O于点D， ∴∠BAD＝ eq \f(1,2) ∠BAC＝30°， ∴∠BOD＝2∠BAD＝60°，∴ eq \x\to(BD) 的度数是60°， ∵点B为⊙O上一定点，∴点D为 eq \x\to(BC) 上一定点． 图 2 (2)解：①DF与⊙O相切．理由如下： 如图2，连接OD. ∵∠BAC的平分线交⊙O于点D， ∴∠BAD＝∠CAD，∴ eq \x\to(BD) ＝ eq \x\to(CD) ，∴OD⊥BC. ∵DF∥BC，∴OD⊥DF. 又∵OD为⊙O的半径，∴DF与⊙O相切． ②当∠A1BC为直角时，如图3，连接OD交BC于点M. ∵∠BA1C＝60°，∠A1BC＝90°， ∴∠C＝30°，A1C为⊙O的直径． ∵⊙O的半径为5，∴A1C＝10，A1B＝ eq \f(1,2) A1C＝5， ∴BC＝ eq \r(A1C2－A1B2) ＝ eq \r(102－52) ＝5 eq \r(3) . 由①知， eq \x\to(BD) ＝ eq \x\to(CD) ，∴BM＝ eq \f(1,2) BC＝ eq \f(5\r(3),2) ，∠BMD＝90°. ∵∠FBC＝180°－∠A1BC＝90°，∠FDM＝90°， ∴四边形BFDM是矩形，∴DF＝BM＝ eq \f(5\r(3),2) . 图 4 当∠A2CB为直角时，如图4，连接OD，BD. ∵∠A2CB＝90°，∠BA2C＝60°， ∴∠A2BC＝30°，A2B为⊙O的直径． ∵DF∥BC，∴∠F＝∠A2BC＝30°. ∵DF与⊙O相切，∴∠FDO＝90°，∴OF＝2OD＝10， ∴DF＝ eq \r(OF2－OD2) ＝ eq \r(102－52) ＝5 eq \r(3) . 综上所述，当A由A1运动到A2(不包括A1，A2)时，△ABC为锐角三角形，∴DF的取值范围是 eq \f(5\r(3),2) <DF<5 eq \r(3) . 4．[2024山东威海]如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝CD.点E是线段AB延长线上一点，连接EC并延长交射线AD于点F.∠FEG的平分线EH交射线AC于点H，∠H＝45°. (1)求证：EF是⊙O的切线； (2)若BE＝2，CE＝4，求AF的长． (1)证明：如图，连接OC. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA. ∵BC＝CD，∴ eq \x\to(BC) ＝ eq \x\to(CD) ，∴∠DAC＝∠BAC， ∴∠OCA＝∠DAC，∴OC∥AF. ∵EH平分∠FEG，∴∠FEG＝2∠GEH. ∵∠GEH＝∠H＋∠BAC，∠FEG＝∠F＋∠BAF， ∴2(∠H＋∠BAC)＝∠F＋∠BAF. ∵∠BAF＝2∠BAC，∴∠F＝2∠H＝90°， ∵OC∥AF，∴∠OCE＝∠F＝90°，∴OC⊥EF. 又∵OC是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线． (2)解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即∠OCA＋∠OCB＝90°. 由(1)知，EF是⊙O的切线，∴∠OCE＝90°， 即∠OCB＋∠BCE＝90°，∴∠OCA＝∠BCE. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠BCE＝∠OAC，即∠BCE＝∠CAE. 又∵∠CEB＝∠AEC，∴△BCE∽△CAE，∴ eq \f(BE,CE) ＝ eq \f(CE,AE) ＝ eq \f(BC,CA) ＝ eq \f(2,4) ＝ eq \f(1,2) ， ∴AE＝2CE＝8，∴AB＝AE－BE＝8－2＝6. 在Rt△ABC中，AB＝6， eq \f(BC,CA) ＝ eq \f(1,2) ，由勾股定理可得，BC＝ eq \f(6\r(5),5) ，AC＝ eq \f(12\r(5),5) . ∵∠F＝∠ACB＝90°，∠FAC＝∠BAC， ∴△FAC∽△CAB，∴ eq \f(AF,AC) ＝ eq \f(AC,AB) ，∴AF＝ eq \f(AC2,AB) ＝ eq \f(24,5) . 5．[2024云南]如图，AB是⊙O的直径，点D，F是⊙O上异于A，B的点．点C在⊙O外，CA＝CD，延长BF与CA的延长线交于点M，点N在BA的延长线上，∠AMN＝∠ABM，AM·BM＝AB·MN.点H在直径AB上，∠AHD＝90°，点E是线段DH的中点． (1)求∠AFB的度数． (2)求证：直线CM与⊙O相切． (3)看一看，想一想，证一证：以下与线段CE、线段EB、线段CB有关的三个结论：CE＋EB＜CB，CE＋EB＝CB，CE＋EB＞CB，你认为哪个正确？请说明理由． (1)解：∵AB是⊙O的直径，点F是⊙O上异于A，B的点， ∴∠AFB＝90°. (2)证明：∵AM·BM＝AB·MN，∴ eq \f(AM,MN) ＝ eq \f(AB,BM) . 又∵∠AMN＝∠ABM， ∴△AMN∽△ABM，∴∠NAM＝∠MAB. ∵∠NAM＋∠MAB＝180°， ∴∠NAM＝∠MAB＝90°，∴OA⊥CM. 又∵OA是⊙O的半径，∴直线CM与⊙O相切． (3)解：结论CE＋EB＝CB正确．理由如下： 如图，连接OC，OD，过点B作⊙O的切线，交CD的延长线于点K，设BC与DH交于点G. 在△OAC和△ODC中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OA＝OD，,OC＝OC，,CA＝CD，)) ∴△OAC≌△ODC(SSS)，∴∠OAC＝∠ODC. 由(2)知，OA⊥CM，∴∠OAC＝∠ODC＝90°，∴OD⊥CD. ∵OD是⊙O的半径，∴CK是⊙O的切线． ∵BK是⊙O的切线，∴DK＝BK，BK⊥AB. ∵DH⊥AB，CA⊥AB，∴AC∥DH∥BK， ∴△BHG∽△BAC，△CDG∽△CKB， eq \f(BH,BA) ＝ eq \f(DK,CK) ， ∴ eq \f(GH,CA) ＝ eq \f(BH,BA) ， eq \f(GD,BK) ＝ eq \f(CD,CK) ， ∴ eq \f(GH,CA) ＝ eq \f(DK,CK) ， eq \f(GD,CD) ＝ eq \f(BK,CK) ＝ eq \f(DK,CK) ，∴ eq \f(GH,CA) ＝ eq \f(GD,CD) . ∵CA＝CD，∴GH＝GD，∴点G是线段DH的中点． 又∵点E是线段DH的中点，∴点G与点E重合， ∴线段BC经过点E，∴CE＋EB＝CB. 6．[2023湖北黄石]如图，AB为⊙O的直径，DA和⊙O相交于点F，AC平分∠DAB，点C在⊙O上，且CD⊥DA，AC交BF于点P. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)求证：AC·PC＝BC2； (3)已知BC2＝3FP·DC，求 eq \f(AF,AB) 的值． (1)证明：如图1，连接OC. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA. ∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴DA∥OC. ∵CD⊥DA，∴CD⊥OC， 又∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线． (2)证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC. ∵∠DAC＝∠PBC，∴∠BAC＝∠PBC. 又∵∠ACB＝∠BCP，∴△ACB∽△BCP， ∴ eq \f(AC,BC) ＝ eq \f(BC,PC) ，∴AC·PC＝BC2. 图 2 (3)解：如图2，过点P作PE⊥AB于点E. 由(2)可知，AC·PC＝BC2. ∵BC2＝3FP·DC，∴AC·PC＝3FP·DC. ∵CD⊥DA，∴∠ADC＝90°. ∵AB为⊙O的直径，∴∠BCP＝90°，∴∠ADC＝∠BCP. 又∵∠DAC＝∠CBP，∴△ACD∽△BPC，∴ eq \f(AC,BP) ＝ eq \f(DC,PC) ，∴AC·PC＝BP·DC， ∴BP·DC＝3FP·DC，∴BP＝3FP. ∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴PF⊥AD， ∵AC平分∠DAB，PE⊥AB，∴PF＝PE. ∵ eq \f(S△APF,S△APB) ＝ eq \f(\f(1,2)AF·FP,\f(1,2)AB·PE) ＝ eq \f(\f(1,2)AF·FP,\f(1,2)BP·AF) ，∴ eq \f(AF,AB) ＝ eq \f(FP,BP) ＝ eq \f(FP,3FP) ＝ eq \f(1,3) 考向2　切线的性质 7．[2024福建]如图，已知点A，B在⊙O上，∠AOB＝72°，直线MN与⊙O相切，切点为C，且C为 eq \x\to(AB) 的中点，则∠ACM等于(　　) A．18° B．30° C．36° D．72° 8．[2024浙江]如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，连接BC.已知∠ACB＝50°，则∠B的度数为________． 9．[2024四川凉山]如图，⊙M的圆心为M(4，0)，半径为2，P是直线y＝x＋4上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为_______________． 2 eq \r(7) 解析：如图，连接MP，MQ. ∵PQ是⊙M的切线，∴MQ⊥PQ， ∴PQ＝ eq \r(PM2－MQ2) ＝ eq \r(PM2－4) . 当PM⊥AB时，PM最小，此时PQ最小． ∵直线y＝x＋4与x轴的交点A的坐标为(－4，0)，与y轴的交点B的坐标为(0，4)， ∴OA＝OB＝4，∴∠BAO＝45°，AM＝8. 当PM⊥AB时，PM＝AM·sin ∠BAO＝8× eq \f(\r(2),2) ＝4 eq \r(2) ， ∴PQ的最小值为 eq \r(（4\r(2)）2－4) ＝ eq \r(28) ＝2 eq \r(7) . 10．[2023河南]如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点B，点C在PA上，且CB＝CA.若OA＝5，PA＝12，则CA的长为________． eq \f(10,3) 解析：连接OC(图略)，根据切线的性质可得∠OAP＝90°，然后利用“SSS”证明△OAC≌△OBC，从而可得∠OAP＝∠OBC＝90°，在Rt△OAP中，利用勾股定理求出OP＝13，根据S△OAC＋S△OCP＝S△OAP，进行计算即可求出结果． 11．[2024湖北武汉]如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点． (1)求证：AB与半圆O相切． (2)连接OA.若CD＝4，CF＝2，求sin ∠OAC的值． (1)证明：如图，连接OD，OA，过点O作OH⊥AB于点H. ∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO⊥BC，AO平分∠BAC. ∵腰AC与半圆O相切于点D，∴OD⊥AC. 又∵OH⊥AB，∴OH＝OD. ∵OD是半圆O的半径，∴OH是半圆O的半径， ∴AB与半圆O相切． (2)解：由(1)知，OD⊥AC， 在Rt△OCD中，CD＝4，OC＝OF＋CF＝OD＋2， 由勾股定理，得OD2＋CD2＝OC2， ∴OD2＋42＝(OD＋2)2， ∴OD＝3，∴OC＝OD＋2＝3＋2＝5， ∵在Rt△OCD中，cos C＝ eq \f(CD,OC) ＝ eq \f(4,5) ， ∴在Rt△OCA中，cos C＝ eq \f(OC,AC) ＝ eq \f(4,5) ， ∴sin ∠OAC＝ eq \f(OC,AC) ＝ eq \f(4,5) . 12．[2024四川遂宁]如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，点D是 eq \x\to(AC) 的中点，DN⊥AB于点E，交AC于点F，连接DB交AC于点G. (1)求证：AF＝DF. (2)延长GD至点M，使DM＝DG，连接AM. ①求证：AM是⊙O的切线； ②若DG＝6，DF＝5，求⊙O的半径． (1)证明：如图，连接AD，设OD交AC于点I. ∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD. ∵点D是 eq \x\to(AC) 的中点，∴OD⊥AC于点I. ∵DN⊥AB于点E，∴∠OED＝∠OIA＝90°， ∴∠ODF＝∠OAF＝90°－∠AOD， ∴∠ODA－∠ODF＝∠OAD－∠OAF， ∴∠FDA＝∠FAD，∴AF＝DF. (2)①证明：∵AB是⊙O的直径，DM＝DG， ∴∠ADB＝90°，∴AD垂直平分GM，∴AM＝AG，∴∠MAD＝∠CAD. ∵点D是 eq \x\to(AC) 的中点，∴ eq \x\to(AD) ＝ eq \x\to(CD) ，∴∠B＝∠CAD，∴∠MAD＝∠B， ∴∠OAM＝∠BAD＋∠MAD＝∠BAD＋∠B＝90°.∴AM⊥OA. ∵OA是⊙O的半径，∴AM是⊙O的切线． ②解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°， ∴∠FDG＋∠FDA＝90°，∠FGD＋∠FAD＝90°. 由(1)知，∠FDA＝∠FAD，∴∠FDG＝∠FGD， ∴GF＝DF＝AF＝5，∴AG＝2AF＝10. ∵DG＝6，∠ADG＝90°，∴AD＝ eq \r(AG2－DG2) ＝ eq \r(102－62) ＝8. ∵∠AID＝∠ADG＝90°，∴cos ∠DAG＝ eq \f(AI,AD) ＝ eq \f(AD,AG) ， ∴AI＝ eq \f(AD2,AG) ＝ eq \f(82,10) ＝ eq \f(32,5) . 在Rt△ADI中，由勾股定理，得 DI＝ eq \r(AD2－AI2) ＝ eq \r(82－（\f(32,5)）2) ＝ eq \f(24,5) . ∵∠OIA＝90°，OI＝OD－DI＝OD－ eq \f(24,5) ＝OA－ eq \f(24,5) ， 在Rt△AIO中，由勾股定理，得OI2＋AI2＝OA2， 即(OA－ eq \f(24,5) )2＋( eq \f(32,5) )2＝OA2， ∴OA＝ eq \f(20,3) ，∴⊙O的半径为 eq \f(20,3) . 13．[2024贵州]如图，AB为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在AB的延长线上，PC与半圆相切于点C，与OF的延长线相交于点D，AC与OF相交于点E，DC＝DE. (1)写出图中一个与∠DEC相等的角； (2)求证：OD⊥AB； (3)若OA＝2OE，DF＝2，求PB的长． (1)解：∠DCE.(答案不唯一) (2)证明：如图，连接OC. ∵PC与半圆相切于点C，∴∠OCD＝90°， ∴∠DCE＋∠ACO＝90°. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO. ∵DC＝DE，∴∠DCE＝∠DEC＝∠AEO， ∴∠AEO＋∠OAC＝90°，∴∠AOE＝90°，∴OD⊥AB. (3)解：∵OA＝2OE，∴设OE＝x，则OA＝2x，∴EF＝OF－OE＝x， ∴DC＝DE＝EF＋DF＝x＋2，OD＝OF＋DF＝2x＋2. 在Rt△OCD中，由勾股定理，得OC2＋DC2＝OD2， ∴(2x)2＋(x＋2)2＝(2x＋2)2， 解得x1＝4，x2＝0(不符合题意，舍去)， ∴OD＝10，OC＝OB＝8，DC＝6. ∵∠OCD＝∠DOP＝90°，∴∠D＋∠DOC＝∠DOC＋∠COP＝90°， ∴∠D＝∠COP，∴△CDO∽△COP，∴ eq \f(OD,PO) ＝ eq \f(CD,CO) ，∴ eq \f(10,PO) ＝ eq \f(6,8) ，∴PO＝ eq \f(40,3) ， ∴PB＝PO－OB＝ eq \f(40,3) －8＝ eq \f(16,3) . 14．[2024陕西]如图，直线l与⊙O相切于点A，AB是⊙O的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接BC，BD，分别与⊙O交于点E，F，连接EF，AF. (1)求证：∠BAF＝∠CDB； (2)若⊙O的半径r＝6，AD＝9，AC＝12，求EF的长． (1)证明：∵直线l与⊙O相切于点A，AB是⊙O的直径， ∴AB⊥CD，∴∠BAC＝∠BAD＝90°. ∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°. ∵∠BAF＋∠ABD＝90°，∠CDB＋∠ABD＝90°， ∴∠BAF＝∠CDB. (2)解：在Rt△ABD中，∵AB＝2r＝12，AD＝9， ∴由勾股定理，得BD＝ eq \r(AD2＋AB2) ＝ eq \r(92＋122) ＝15. 在Rt△ABC中，∵AB＝12，AC＝12， ∴由勾股定理，得BC＝ eq \r(AB2＋AC2) ＝ eq \r(122＋122) ＝12 eq \r(2) . ∵∠ABF＝∠DBA，∠AFB＝∠DAB，∴△BAF∽△BDA， ∴ eq \f(BF,BA) ＝ eq \f(BA,BD) ，即 eq \f(BF,12) ＝ eq \f(12,15) ，∴BF＝ eq \f(48,5) . ∵∠BEF＝∠BAF，∠BAF＝∠CDB，∴∠BEF＝∠CDB. 又∵∠EBF＝∠DBC，∴△BEF∽△BDC， ∴ eq \f(EF,DC) ＝ eq \f(BF,BC) ，即 eq \f(EF,9＋12) ＝ eq \f(\f(48,5),12\r(2)) ，∴EF＝ eq \f(42\r(2),5) . 考向3　切线长定理 15．[2024四川泸州]如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE＋∠BCD＝236°，则∠E＝(　　) A．56° B．60° C．68° D．70° 解析：连接AD(图略)，则∠BAD＋∠BCD＝180°，因为∠BAE＋∠BCD＝236°，所以∠EAD＋∠BAD＋∠BCD＝∠EAD＋180°＝236°，所以∠EAD＝56°.由切线长定理，得EA＝ED，所以∠EDA＝∠EAD＝56°，所以∠E＝180°－∠EDA－∠EAD＝68°. 16．[2023山东泰安]为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出AB＝4 cm，则这张光盘的半径是________cm.(精确到0.1 cm.参考数据： eq \r(3) ≈1.73) 解析：设光盘的圆心为O，连接OC，OA，OB，如图． ∵AC，AB分别为⊙O的切线，∴OC⊥AC，OB⊥AB. ∵OC＝OB，∴AO为∠CAB的平分线． ∵∠CAD＝60°，∴∠OAC＝∠OAB＝ eq \f(1,2) ∠CAB＝60°. 在Rt△AOB中，∠OAB＝60°，AB＝4 cm， ∴tan ∠OAB＝ eq \f(OB,AB) ， ∴OB＝AB·tan ∠OAB＝4 eq \r(3) ≈6.9(cm)， ∴这张光盘的半径是6.9 cm. 考向1　三角形的内心 1．[2024四川内江]如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，E是BC边上一点，且BE＝2，点I是△ABC的内心，BI的延长线交AC于点D，P是BD上一动点，连接PE，PC，则PE＋PC的最小值为________． 2 eq \r(13) 解析：在AB上取点F，使BF＝BE＝2，连接PF，CF，过点F作FH⊥BC于点H(图略)，利用三角形内心的定义可得出∠ABD＝∠CBD，利用“SAS”证明△BFP≌△BEP，得出PF＝PE，则 PE＋PC＝PF＋PC≥CF，当C，P，F三点共线时，PE＋PC有最小值，最小值为CF，利用含 30°角的直角三角形的性质求出BH，利用勾股定理求出FH，CF即可． 2．[2023湖北]如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD＝________． 考向2　三角形的外接圆 3．[2024四川眉山]如图，△ABC内接于⊙O，点O在AB上，AD平分∠BAC交⊙O于D，连接BD.若AB＝10，BD＝2 eq \r(5) ，则BC的长为________． 4．[2024江苏苏州]如图，△ABC中，AB＝4 eq \r(2) ，D为AB中点，∠BAC＝∠BCD，cos ∠ADC＝ eq \f(\r(2),4) ，⊙O是△ACD的外接圆． (1)求BC的长； (2)求⊙O的半径． 解：(1)∵∠BAC＝∠BCD，∠B＝∠B， ∴△BAC∽△BCD， ∴ eq \f(BA,BC) ＝ eq \f(BC,BD) ，∴BC2＝BA·BD. ∵AB＝4 eq \r(2) ，D为AB中点，∴BD＝AD＝2 eq \r(2) ， ∴BC2＝BA·BD＝4 eq \r(2) ×2 eq \r(2) ＝16，∴BC＝4. (2)如图，过点A作AE⊥CD于点E，连接CO并延长，交⊙O于点F，连接AF. 在Rt△AED中，cos ∠ADE＝ eq \f(DE,AD) ＝ eq \f(\r(2),4) ，AD＝2 eq \r(2) ， ∴DE＝1，∴AE＝ eq \r(AD2－DE2) ＝ eq \r(（2\r(2)）2－12) ＝ eq \r(7) . 由(1)知，△BAC∽△BCD，∴ eq \f(AC,CD) ＝ eq \f(AB,CB) ＝ eq \f(4\r(2),4) ＝ eq \r(2) . 设CD＝x，则AC＝ eq \r(2) x，CE＝x－1. 在Rt△ACE中，由勾股定理，得AC2＝CE2＋AE2， ∴( eq \r(2) x)2＝(x－1)2＋( eq \r(7) )2，整理，得x2＋2x－8＝0， 解得x1＝2，x2＝－4(不符合题意，舍去)，∴CD＝2，AC＝2 eq \r(2) . ∵∠AFC与∠ADC都是 eq \x\to(AC) 所对的圆周角，∴∠AFC＝∠ADC. ∵CF为⊙O的直径，∴∠CAF＝90°. 在Rt△AFC中，sin ∠AFC＝ eq \f(AC,CF) ， 在Rt△AED中，sin ∠ADE＝ eq \f(AE,AD) ＝ eq \f(\r(7),2\r(2)) ＝ eq \f(\r(14),4) . ∵∠AFC＝∠ADC，∴ eq \f(AC,CF) ＝ eq \f(2\r(2),CF) ＝ eq \f(\r(14),4) ，∴CF＝ eq \f(8\r(7),7) ， ∴⊙O的半径为 eq \f(4\r(7),7) . 5．[2023贵州]如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连接EA，EB. (1)写出图中一个度数为30°的角：________，图中与△ACD全等的三角形是________； (2)求证：△AED∽△CEB； (3)连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由． (2)证明：∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，CO的延长线交AB于点D，交⊙O于点E， ∴∠ADE＝∠CBE＝∠CAE＝90°，∠2＝30°， ∵∠3＝∠CAE－∠CAB＝90°－60°＝30°，∴∠3＝∠2，∴△AED∽△CEB. (3)解：四边形OAEB是菱形．理由如下： ∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，CO的延长线交AB于点D，交⊙O于点E， ∴∠CAE＝90°，∠1＝30°，∴AE＝ eq \f(1,2) CE. 同理，得BE＝ eq \f(1,2) CE，∴OA＝OB＝AE＝BE， ∴四边形OAEB是菱形． 6．[2023陕西]如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝45°，过点B作BC的垂线，交⊙O于点D，并与CA的延长线交于点E，作BF⊥AC，垂足为M，交⊙O于点F. (1)求证：BD＝BC； (2)若⊙O的半径r＝3，BE＝6，求线段BF的长． (1) 证明：如图，连接DC， 则∠BDC＝∠BAC＝45°. ∵BD⊥BC，∴∠DBC＝90°， ∴∠BCD＝90°－∠BDC＝45°， ∴∠BCD＝∠BDC.∴BD＝BC. (2)解：∵∠DBC＝90°，∴CD为⊙O的直径，∴CD＝2r＝6， ∴在Rt△BCD中，BC＝CD·sin ∠BDC＝6× eq \f(\r(2),2) ＝3 eq \r(2) ， ∴EC＝ eq \r(BE2＋BC2) ＝ eq \r(62＋（3\r(2)）2) ＝3 eq \r(6) . ∵BF⊥AC，∴∠BMC＝∠EBC＝90°， 又∵∠BCM＝∠ECB，∴△BCM∽△ECB，∴ eq \f(BC,EC) ＝ eq \f(BM,EB) ＝ eq \f(MC,BC) ， ∴BM＝ eq \f(BC·EB,EC) ＝ eq \f(3\r(2)×6,3\r(6)) ＝2 eq \r(3) ，MC＝ eq \f(BC2,EC) ＝ eq \f(（3\r(2)）2,3\r(6)) ＝ eq \r(6) . 如图，连接CF，则∠F＝∠BAC＝45°， ∴∠MCF＝90°－∠F＝45°，∴MF＝MC＝ eq \r(6) ，∴BF＝BM＋MF＝2 eq \r(3) ＋ eq \r(6) . 1.[2024河南南阳模拟]如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA.若∠OBC＝20°，则∠CAI的度数为(　　) A．20° B．25° C．30° D．35° 解析：如图，连接OC，则OC＝OB. ∵∠OBC＝20°，∴∠OCB＝∠OBC＝20°， ∴∠BOC＝180°－∠OCB－∠OBC＝140°， ∴∠BAC＝ eq \f(1,2) ∠BOC＝70°. ∵点I是△ABC的内心， ∴∠CAI＝ eq \f(1,2) ∠BAC＝35°. 2．[2024山东聊城模拟]如图，点I为等边三角形ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，已知外接圆的半径为2，则线段DB的长为(　　) A．2 B．3 C．4 D．2 eq \r(3) 解析：如图，连接BI.∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝∠C＝60°，∴∠D＝∠C＝60°. ∵点I为等边三角形ABC的内心， ∴∠IAB＝ eq \f(1,2) ∠BAC＝30°，∠IBA＝ eq \f(1,2) ∠ABC＝30°， ∴∠ABD＝180°－∠D－∠IAB＝90°，∠DIB＝∠IAB＋∠IBA＝60°， ∴AD是△ABC外接圆的直径，∴AD＝4. ∵∠IAB＝30°，∠ABD＝90°，∴DB＝ eq \f(1,2) AD＝2. 3.[2024四川泸州模拟]如图，正三角形ABC的边长为6 cm，则它的外接圆⊙O的半径为(　　) A. eq \r(3) cm B．2 eq \r(3) cm C．3 cm D．3 eq \r(3) cm 4．[2024山东临沂模拟]如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC边上一点，连接AD并延长交⊙O于点E.若AD＝4，DE＝6，则⊙O的半径为________． 2 eq \r(10) 解析：如图，连接OA，OC，CE. ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∴∠AOC＝60°. ∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴AC＝OA. ∵∠AEC＝∠ABC＝∠ACB＝30°，∠CAD＝∠EAC， ∴△ACD∽△AEC，∴ eq \f(AC,AD) ＝ eq \f(AE,AC) ，∴AC2＝AD·AE. ∵AD＝4，DE＝6，∴AE＝AD＋DE＝10， ∴AC＝ eq \r(AD·AE) ＝ eq \r(4×10) ＝2 eq \r(10) ， ∴OA＝AC＝2 eq \r(10) ，∴⊙O的半径为2 eq \r(10) . 5.[2024山东济南模拟]如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC＝CD，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E. (1)求证：∠ABC＝∠CAD； (2)若AC＝4，BC＝3，求DB的长． (1)证明：∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA. ∵∠ABC＝∠CDA，∴∠ABC＝∠CAD. (2)解：如图，连接OC，过点O作OF⊥BD于点F，则DB＝2BF. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， ∴AB＝ eq \r(AC2＋BC2) ＝ eq \r(42＋32) ＝5. ∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形，∴∠CBE＝∠CAD. ∵∠ABC＝∠CAD，∴∠ABC＝∠CBE. ∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB，∴∠CBE＝∠OCB. ∵CE为⊙O的切线，∴OC⊥CE，∴∠OCB＋∠BCE＝90°， ∴∠CBE＋∠BCE＝90°，∴∠E＝90°. 又∵OF⊥BD，∴四边形OCEF为矩形，∴EF＝OC＝ eq \f(1,2) AB＝ eq \f(5,2) . ∵∠ACB＝∠E＝90°，∠ABC＝∠CBE，∴△ABC∽△CBE，∴ eq \f(BC,BA) ＝ eq \f(BE,BC) ，∴ eq \f(3,5) ＝ eq \f(BE,3) ， ∴BE＝ eq \f(9,5) ，∴BF＝EF－BE＝ eq \f(5,2) － eq \f(9,5) ＝ eq \f(7,10) ，∴DB＝2BF＝ eq \f(7,5) . 6．[2024湖北孝感模拟]如图1，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠C＋∠D＝90°，BF∥CD. (1)求证：BF是⊙O的切线； (2)如图2，延长AC交直线FB于点P，若点E为OB中点，CD＝6，求PC的长． INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\一本中考题数学word\\ZK527.TIF" \* MERGEFORMATINET 图 1　　 图 2 (1)证明：∵∠A＝∠D，∠C＋∠D＝90°，∴∠A＋∠C＝90°， ∴∠BEC＝∠A＋∠C＝90°. ∵BF∥CD，∴∠ABF＝∠BEC＝90°，∴AB⊥BF. 又∵OB是⊙O的半径，∴BF是⊙O的切线． (2)解：如图，连接OD.由(1)知，∠BEC＝90°，∴AB⊥CD. ∵CD＝6，∴CE＝DE＝3. ∵点E为OB中点，∴OB＝OD＝2OE. 在Rt△ODE中，由勾股定理，得OD2＝OE2＋DE2， ∴(2OE)2＝OE2＋32，∴OE＝ eq \r(3) .∴OB＝2OE＝2 eq \r(3) ，AB＝2OB＝4 eq \r(3) ， ∴AE＝AB－BE＝3 eq \r(3) . 在Rt△ACE中，∵AC＝ eq \r(AE2＋CE2) ＝6，CE＝3，∴AC＝2CE，∴∠A＝30°. 在Rt△ABP中，∵AB＝4 eq \r(3) ，∠A＝30°，∴AP＝ eq \f(AB,cos 30°) ＝ eq \f(4\r(3),\f(\r(3),2)) ＝8， ∴PC＝AP－AC＝8－6＝2. $$