精品解析： 重庆市第一中学校2024-2025学年上学期期末考试九年级数学试题

2025年重庆一中初2025届初三上期期末考试数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中，有理数是（ ） A. B. C. π D. 2. 中式纹样体现了中华民族的智慧和审美．下列传统中式纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果，那么下列结论错误的是（　　） A. B. C. 2 D. 4. 反比例函数经过点，则n的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 平方相等的两个数相等 B. 三点确定一个圆 C. 同位角相等，两直线平行 D. 等腰三角形中线、高线、角平分线三线合一 6. 估计的值应在（ ） A. 3到4之间 B. 2到3之间 C. 1到2之间 D. 0到1之间 7. 用大小相同的“○”按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有6个“○”，第②个图案有10个“○”，第③个图案有14个“○”，……按此规律，第⑧个图案中“○”的个数为（ ） A. 32 B. 34 C. 36 D. 38 8. 如图，在正方形中，，以B为圆心，为半径画弧，点E为中点，以E为圆心，为半径画弧，过点E作的垂线交弧于点F，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 6 9. 如图，在矩形中，对角线、交于点O，．点E、F分别为线段、上的点，且，，连接并延长交于点G，连接、．若，则用含α的代数式表示为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中且为整数，，，，，也均为整数，．记：，若满足，下列说法：①若时，满足条件的的值有个；②在所有满足条件的整式中，单项式有个；③若，且整式的值为时，则满足条件的实数的值有个．其中正确的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. ______． 12. 2025年是蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“马”、“到”、“成”、“功”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“成功”的概率是________． 13. 如图，在菱形中，，，连接．过点C作的垂线交于点E，点G为延长线上的一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，且点F恰好落在边上，若，则______． 14. 若关于的一元一次不等式组有解且至多有个整数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数之和为______． 15. 如图，在中，以为直径的分别交、于点、．与交于点，为射线上的一点，连接，且，．若，，则______，______． 16. 对于一个四位自然数，各个数位上的数字均不为零，如果满足百位与十位数字之和小于千位数字，同时百位与十位数字之和大于个位数字，就称这个数为“中和数”．对于“中和数”，将其千位与百位的差替换原来的千位数字，其余数位保持不变，所得结果记为，将其千位与百位的差替换原来的百位数字，其余数位保持不变，所得结果记为，，如：当时，，，，若为最小的“中和数”，则______；一个“中和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，若为整数，是一个完全平方数，则满足条件的“中和数”的最大值与最小值之和为______． 三、解答题：（本大题共8个小题，第17题（1）问6分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将答题过程书写在答题卡中对应位置上． 17. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中m的值为方程的解． 18. 在学习了平行四边形的相关知识后，小艾进行了更深入的研究，他发现：对于一个邻边不相等的平行四边形，作其短边的端点为顶点的一个内角的角平分线与平行四边形的边相交，再过该短边的另一个端点作这条角平分线的垂线与平行四边形的另一边相交，则这两个交点和平行四边形的另两个顶点构成的四边形是平行四边形．他的思路是通过证明三角形全等与平行四边形的判定得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，四边形是平行四边形，的平分线与交于点E．用尺规作图：过点A作的垂线，交于点F，交于点G，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知：四边形是平行四边形，的平分线与交于点E，点G在边上，且于点F，连接．求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴．∵平分， ∴①_____，∴， ∴②_____． ∵，∴． 在和中 ∴， ∴， ∴③_____， ∴，即， ∵④_____， ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，如果四边形是矩形呢？请你模仿题中的表述，写出你猜想的结论：四边形是⑤_____． 19. 2024年11月11日，重庆“梁平柚”被列入第二批国家农产品地理标志，是全国三大名柚之一，特点是浓烈蜜香、纯甜嫩脆，深受消费者的喜爱．某超市按大小把“梁平柚”分成大果和小果出售． （1）某公司为员工发福利，预计花费3050元购买大果和小果共400千克，此时大果售价为每千克8元，小果售价为每千克7元．求购买大果和小果各多少千克？ （2）由于春节临近，超市下调柚子价格，现该公司一次性购买大果、小果若干，其中大果共花费1920元，小果花费720元，已知购买大果的数量是小果的2倍，下调价格后大果比小果每千克贵1.5元．分别求大果和小果价格下调后每千克的售价？ 20. 如图，在中，，，于点，，点为线段上一点（不含、两点），过点作交于，交于，设的长度为，点、之间的距离为，的周长与的周长之比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后位，误差不超过）． 21. 如图，、、、分别是某公园的四个景点，为了推进全民健身的发展，我市在四个景点之间分别修建了、、、四条健身步道．经勘测，景点在景点的正北方向且之间距离为米，景点在景点的东北方向，且在景点的北偏东方向，景点在景点的南偏东方向，且在景点的南偏西方向．（参考数据：，） （1）求景点、之间的距离（结果精确到个位）； （2）小明和小颖用相同速度同时从景点出发去景点，小明选择路线——，小颖选择路线——，请通过计算说明小明和小颖谁先到达景点． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，交轴于点，连接，点是轴上一点，且． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，作直线交抛物线于点．点是直线上方抛物线上一动点，过作轴交于点．当线段长度取得最大值时，在直线上有两动点、（点在点的上方），当时，求的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴交于点，连接，点、分别为新抛物线上的两点，当时，连接，若线段被直线平分，求点的坐标（写出必要的求解过程）． 23. 在中，，过点作于点，点是直线上一点，点是延长线上一点，连接、，与交于点． （1）如图，当点在线段上时，若，，，，求的长； （2）如图，当点在线段上时，延长至点，连接，满足，，点为中点，连接，若，，请用等式表示线段、和的数量关系，并证明； （3）如图，若，将线段绕点顺时针旋转到线段，连接，当取得最小值时，内部存在一点，使得，当取得最小值时，直接写出此时的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年重庆一中初2025届初三上期期末考试数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中，有理数是（ ） A. B. C. π D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查实数的分类，算术平方根和立方根．实数分为有理数和无理数，有理数即可用有限小数和无限循环小数表示的数，无理数即无限不循环小数． 根据有理数和无理数定义求解即可． 【详解】解：A、是有理数，故本选项符合题意； B、是无理数，故本选项不符合题意； C、π是无理数，故本选项不符合题意； D、是无理数，故本选项不符合题意； 故选：A． 2. 中式纹样体现了中华民族的智慧和审美．下列传统中式纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的识别方法是解题的关键．利用轴对称图形和中心对称图形的识别方法分别判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 如果，那么下列结论错误的是（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质：不等式两边同时加上（减去）同一个数或式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（除以）同一个正数（式），不等号方向不变；不等式两边同时乘以（除以）同一个负数（式），不等号方向改变；根据不等式的性质逐项验证即可得到答案，熟记不等式性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、不等式两边同时加2，不等号方向不变，选项结论正确，不符合题意； B、不等式两边同时乘以负数，不等号方向应改变，正确结果应为，选项结论错误，符合题意； C、不等式两边同时乘以正数2，不等号方向不变，选项结论正确，不符合题意； D、不等式两边同时减2，不等号方向不变，选项结论正确，不符合题意； 故选：B． 4. 反比例函数经过点，则n的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式，反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上． 把点代入反比例函数解析式，解答即可． 【详解】解：∵反比例函数经过点， ， 解得：， 故选：B． 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 平方相等的两个数相等 B. 三点确定一个圆 C. 同位角相等，两直线平行 D. 等腰三角形中线、高线、角平分线三线合一 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，等腰三角形的性质，确定圆的条件，平方的性质，掌握以上知识是解题的关键． 根据平行线的判定，等腰三角形的性质，确定圆的条件，平方的性质进行分析即可求解． 【详解】解：A、平方相等的两个数相等或互为相反数，故A选项错误，不符合题意； B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故B选项错误，不符合题意； C、同位角相等，两直线平行，故C选项正确，符合题意； D、等腰三角形底边上的中线、高线、顶角的角平分线三线合一，故D选项错误，不符合题意； 故选：C ． 6. 估计的值应在（ ） A. 3到4之间 B. 2到3之间 C. 1到2之间 D. 0到1之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查对无理数的估算，二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则和夹逼法是解题的关键． 先化简后，再根据即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， ， 故选：B． 7. 用大小相同的“○”按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有6个“○”，第②个图案有10个“○”，第③个图案有14个“○”，……按此规律，第⑧个图案中“○”的个数为（ ） A. 32 B. 34 C. 36 D. 38 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化规律探究，掌握数形结合思想成为解题的关键． 根据前几个图形，发现的个数规律，然后根据规律求解即可． 【详解】解：由图可知：第①个图案用了“○”的个数为， 第②个图案用了“○”的个数为， 第③个图案用了“○”的个数为， 第④个图案用了“○”个数为， ， 第n个图案用了“○”的个数为， ∴第⑧个图案中“○”的个数为个， 故选：B． 8. 如图，在正方形中，，以B为圆心，为半径画弧，点E为中点，以E为圆心，为半径画弧，过点E作的垂线交弧于点F，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】该题主要考查了扇形面积计算，正方形的性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 如图，连接，设交于点G，根据四边形是正方形，，结合题意得出，，根据特殊角的三角函数值推出，得出，再根据图中阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：如图，连接，设交于点G， ∵四边形是正方形，， ∴， 根据题意可得， ∵在中，， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积 ， 故选：A． 9. 如图，在矩形中，对角线、交于点O，．点E、F分别为线段、上的点，且，，连接并延长交于点G，连接、．若，则用含α的代数式表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先得到是等边三角形，然后由，，得到，，，然后证明出，得到，然后证明出，得到，进而利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∵，， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 10. 已知整式，其中且为整数，，，，，也均为整数，．记：，若满足，下列说法：①若时，满足条件的的值有个；②在所有满足条件的整式中，单项式有个；③若，且整式的值为时，则满足条件的实数的值有个．其中正确的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查数式的操作，涉及一元二次方程，算术平方根，整式，熟练理解题意，并根据题意列式操作是解题的关键．当时，，，可得，，即可判断①；分别判断当时，当时，当时，整式的所有情况，即可判断②；若时，（舍）、、、、、、、、，当整式的值为时，分别求解对应的一元一次方程或一元二次方程，即可判断③． 【详解】解：①当时， ，， ∵为整数， ∴，， 故满足条件的有个， 所以①正确； ②由①得当时，，； 当时， ，， ∴， ∵，均为整数， ∴整式的情况有： 对应整式 整式个数 个 个 个 当时， ，， ∴， ∵，，均为整数， ∴整式的情况有： 对应整式 整式个数 个 个 个 个 个 综上，为单项式的有：，，，，，，共个， 所以②正确； ③若时，（舍）、、、、、、、、， 当整式的值为时， 分别求解对应的一元一次方程或一元二次方程， 即、、、（无解）、、、（无解）、（无解）， 解得：、、， 则满足条件的实数的值有个， 所以③正确， 综上所述，正确的有①②③，共个， 故选：D． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握负整数指数幂和零指数幂的运算公式是解题的关键．根据负整数指数幂和零指数幂的运算公式计算，再加减． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 2025年是蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“马”、“到”、“成”、“功”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“成功”的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率．分别记“马”、“到”、“成”、“功”为A，B，C，D，利用树状图的方法可得所有等可能结果；再找恰好组成“成功”字样的结果数，利用概率公式计算可得． 【详解】解：分别记“马”、“到”、“成”、“功”为A，B，C，D，画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰好组成“成功”字样的结果数有2种结果， 所以抽取的两张卡片上的文字恰好组成“成功”字样的概率为：， 故答案为：． 13. 如图，在菱形中，，，连接．过点C作的垂线交于点E，点G为延长线上的一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，且点F恰好落在边上，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，根据四边形是菱形，，得出，，，根据题意可得，解直角三角形求出，证明，得出，，根据旋转可得，证出，证明，得出，设，勾股定理求出即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，，， 根据题意可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据旋转可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 解得：（负值已舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，旋转的性质，三角形内角和定理，菱形的性质等知识点，解题的关键是正确做出辅助线，掌握以上知识点． 14. 若关于的一元一次不等式组有解且至多有个整数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解不等式组和不等式组的解，解分式方程和分式方程的解，熟练掌握含参不等式组和含参分式方程的解法是解题的关键．先解出不等式组，再利用不等式组有解且至多有个整数解，得出关于的不等式；解分式方程，利用分式方程的解为整数得出的范围，注意增根，最后综合得出整数的值，即可求解． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵不等式组有解且至多有个整数解， ∴， 解得：； 分式方程， 解得：， ∵分式方程有整数解， ∴为整数，且， ∴为奇数，且， 综上所述，，且为奇数，且， ∴整数为或或或或，和为， 故答案为：． 15. 如图，在中，以为直径的分别交、于点、．与交于点，为射线上的一点，连接，且，．若，，则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，证明得出，，，进而证明，根据相似三角形的性质得出，代入数据求得，进而证明，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴即， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； ∵垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：5，． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 16. 对于一个四位自然数，各个数位上的数字均不为零，如果满足百位与十位数字之和小于千位数字，同时百位与十位数字之和大于个位数字，就称这个数为“中和数”．对于“中和数”，将其千位与百位的差替换原来的千位数字，其余数位保持不变，所得结果记为，将其千位与百位的差替换原来的百位数字，其余数位保持不变，所得结果记为，，如：当时，，，，若为最小的“中和数”，则______；一个“中和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，若为整数，是一个完全平方数，则满足条件的“中和数”的最大值与最小值之和为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查数式的新定义计算，涉及有理数的运算，列代数式，整式的加减运算，不等式的性质，熟练读懂新定义，并可以根据新定义列式是解题的关键．根据定义即可得出最小的“中和数”为，再计算即可；由题意可得，，，根据题意列出，利用为整数，结合、、、的范围得出或，再分别讨论计算即可． 【详解】解：由各个数位上的数字均不为零，如果满足百位与十位数字之和小于千位数字，同时百位与十位数字之和大于个位数字，就称这个数为“中和数”， 则最小的“中和数”为， 则，， 则； 由题意，可得，，， ∴， ∴， ∵为整数， ∴为整数， ∵，，，，且，， ∴，， ∴或， ①当时， 是一个完全平方数， 当时，，， ∵， ∴， 又∵此时，故舍； 当时，，， 没有整数满足； 当时，，， ∵， ∴， 此时的最小值； 当时，，， 没有整数满足； 当时，，， ∵， ∴或， 当时，此时的最小值； 当时，此时，故舍； 综上所述，的最小值； ②当时， 是一个完全平方数， 当时，，， ∵， ∴， ∵， ∴的最大值， 综上，，， ∴满足条件的“中和数”的最大值与最小值之和为； 故答案为：；． 三、解答题：（本大题共8个小题，第17题（1）问6分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将答题过程书写在答题卡中对应位置上． 17. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中m的值为方程的解． 【答案】（1） （2），1 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，分式的化简求值，一元二次方程的解，解答本题的关键是明确整式混合运算法则和分式化简求值的方法． （1）根据单项式和多项式乘法、完全平方公式和平方差公式先计算括号，再合并求解即可． （2）根据分式的加减法和乘除法可以化简题目中的式子，然后根据 的值为方程 的解，可以求得的值，然后代入化简后的式子即可解答本题． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ， ∵m的值为方程的解， ， ， 原式． 18. 在学习了平行四边形的相关知识后，小艾进行了更深入的研究，他发现：对于一个邻边不相等的平行四边形，作其短边的端点为顶点的一个内角的角平分线与平行四边形的边相交，再过该短边的另一个端点作这条角平分线的垂线与平行四边形的另一边相交，则这两个交点和平行四边形的另两个顶点构成的四边形是平行四边形．他的思路是通过证明三角形全等与平行四边形的判定得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，四边形是平行四边形，的平分线与交于点E．用尺规作图：过点A作的垂线，交于点F，交于点G，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知：四边形是平行四边形，的平分线与交于点E，点G在边上，且于点F，连接．求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴．∵平分， ∴①_____，∴， ∴②_____． ∵，∴． 在和中 ∴， ∴， ∴③_____， ∴，即， ∵④_____， ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，如果四边形是矩形呢？请你模仿题中的表述，写出你猜想的结论：四边形是⑤_____． 【答案】（1） 作图如图所示： （2） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵平分， ∴①， ∴， ∴②． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴③， ∴，即， ∵④， ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，如果四边形是矩形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴平行四边形是矩形． 结论：四边形是⑤矩形． 【解析】 【分析】（1）分别以为圆心，小于的长为半径画弧与交于两，再以这两点为圆心画弧交于点，连接，与交于点，交于点，连接，此时； （2）根据推理过程上下之间的逻辑关系推理填空即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质和判定，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定等知识，具体的是关键是正确寻找全等三角形解决问题． 19. 2024年11月11日，重庆“梁平柚”被列入第二批国家农产品地理标志，是全国三大名柚之一，特点是浓烈蜜香、纯甜嫩脆，深受消费者的喜爱．某超市按大小把“梁平柚”分成大果和小果出售． （1）某公司为员工发福利，预计花费3050元购买大果和小果共400千克，此时大果售价为每千克8元，小果售价为每千克7元．求购买大果和小果各多少千克？ （2）由于春节临近，超市下调柚子价格，现该公司一次性购买大果、小果若干，其中大果共花费1920元，小果花费720元，已知购买大果的数量是小果的2倍，下调价格后大果比小果每千克贵1.5元．分别求大果和小果价格下调后每千克的售价？ 【答案】（1）购买大果千克，小果各千克； （2）小果价格下调后每千克的售价为元，则大果价格下调后每千克的售价为元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用． （1）设购买大果千克，小果各千克，利用总价=单价数量，结合花费3050元购买大果和小果共400千克，列出关于和的二元一次方程组，解之即可得到结论； （2）设小果价格下调后每千克的售价为元，则大果价格下调后每千克的售价为元，利用数量=总价单价，结合购买大果的数量是小果的2倍，列出关于的分式方程，据此求解即可得到结论． 【小问1详解】 解：设购买大果千克，小果各千克， 由题意得， 解得， 答：购买大果千克，小果各千克； 【小问2详解】 解：设小果价格下调后每千克的售价为元，则大果价格下调后每千克的售价为元， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 解：小果价格下调后每千克的售价为元，则大果价格下调后每千克的售价为元． 20. 如图，在中，，，于点，，点为线段上一点（不含、两点），过点作交于，交于，设的长度为，点、之间的距离为，的周长与的周长之比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后位，误差不超过）． 【答案】（1）， （2） 图象如图所示： 不唯一，如：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小 （3）（右端点的值可为，，，，） 【解析】 【分析】本题考查动点函数图象，涉及等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，反比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，函数图象与不等式，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）先利用等腰三角形的性质求出，再利用勾股定理求出，利用，，得，可得，利用相似的性质即可分别列出和，再求出自变量取值范围，画图即可； （2）根据图象直接写出性质即可； （3）直接根据图象得出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴和的相似比为， ∵、分别为和的高， ∴， 即， 得：， ∵点为线段上一点（不含、两点）， ∴； ∵的周长与的周长之比为， ∴， 综上所述，，； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：∵， ∴根据图象可以直接得出（右端点的值可为，，，，）． 21. 如图，、、、分别是某公园的四个景点，为了推进全民健身的发展，我市在四个景点之间分别修建了、、、四条健身步道．经勘测，景点在景点的正北方向且之间距离为米，景点在景点的东北方向，且在景点的北偏东方向，景点在景点的南偏东方向，且在景点的南偏西方向．（参考数据：，） （1）求景点、之间的距离（结果精确到个位）； （2）小明和小颖用相同速度同时从景点出发去景点，小明选择路线——，小颖选择路线——，请通过计算说明小明和小颖谁先到达景点． 【答案】（1）约为米 （2）小明先到达景点 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的实际应用，二次根式，三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握方向角中的三角函数的应用是解题的关键． （1）过点作于点，先在中，利用三角函数求出，再在中利用三角函数求出； （2）先求出和，再分别求出的三角度数，再利用三角函数求出和，利用，求出两人路程，再由速度相同，即可比较． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， 由题可得，，，，，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴（米）， 答：景点、之间的距离约为米； 【小问2详解】 解：在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴（米）， （米）， ∵， ∵两人速度相同， ∴小明先到达景点． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，交轴于点，连接，点是轴上一点，且． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，作直线交抛物线于点．点是直线上方抛物线上一动点，过作轴交于点．当线段长度取得最大值时，在直线上有两动点、（点在点的上方），当时，求的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴交于点，连接，点、分别为新抛物线上的两点，当时，连接，若线段被直线平分，求点的坐标（写出必要的求解过程）． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查二次函数与几何综合，涉及一次函数，二次函数的图象与性质，架桥铺路最值问题，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数的最值方法和利用交构造一线三垂直全等模型是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，设，得出，则可得出关于的式子，即可求最值，利用架桥铺路模型，通过平移构造将军饮马问题，即可求出的最值； （3）利用平移求出新抛物线解析式为平移后的抛物线为，利用交构造一线三垂直全等模型，求出直线的解析式，设，由线段被直线平分，，得出中点的坐标为，且点在直线上，代入直线的解析式，即可求解，注意分当点在直线下方和上方两种情况讨论． 【小问1详解】 解：把、代入中， 得， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：中， 令，得， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 由， 解得：或， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵点是直线上方抛物线上一动点， ∴， ∵，的对称轴为直线， ∴当时，取得最大值， 此时，点的横坐标为， 如图，作点关于直线的对称点， ∴，， 将沿方向向下平移个单位长度得到， 则，， 则， 当、、共线时，取得最小值， 此时； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴相当于抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， ∵原抛物线为， ∴平移后的抛物线为， 令，则， ∴， ①当点在直线下方时， 如图，过点作的垂线交于点，过点作轴的平行线，过点作于点，交轴于点，过点作于点， ∴，，四边形和四边形为矩形， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入，， 得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， ∵线段被直线平分，， ∴中点的坐标为，且点在直线上， ∴， 解得：，， 分别代入， 得，； ②当点在直线上方时， 同理可得直线解析式为， 联立新抛物线得， 变形为， ， 此方程无解， 则直线与新抛物线无交点，故舍， 综上所述，，． 23. 在中，，过点作于点，点是直线上一点，点是延长线上一点，连接、，与交于点． （1）如图，当点在线段上时，若，，，，求的长； （2）如图，当点在线段上时，延长至点，连接，满足，，点为中点，连接，若，，请用等式表示线段、和的数量关系，并证明； （3）如图，若，将线段绕点顺时针旋转到线段，连接，当取得最小值时，内部存在一点，使得，当取得最小值时，直接写出此时的面积． 【答案】（1） （2） 解：，理由如下： 如图，过点作交于点，过点作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为中点， ∴，且， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即； （3） 【解析】 【分析】本题考查三角形综合，涉及全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，二次根式，三角形内角和定理，中位线，勾股定理，圆内接四边形性质，圆周角定理等，熟练掌握这些性质和判定是解题的关键． （1）过点作于点，利用，，求出，再求出，再结合，得出，分别在和中进行计算即可； （2）过点作交于点，过点作交于点，由，结合直角三角形和对顶角得出，可证，再证明，利用线段和差证明，结合，可以证明，再证明，得，，得，得，通过即可证明； （3）先确定动点的轨迹（可通过过点作的垂线，过点作于点，证明，也可以利用瓜豆原理得出），利用点到直线的上一点的最短距离为点到直线的垂线段长度得出最小值时的点，利用得出，结合是定值，可得点的轨迹，利用两点之间线段最短得出的最小值时的点，再进行计算即可． 【小问1详解】 解：过点作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，延长至，过点作于点， ∵，， ∴，，， 由旋转可得，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 可知直线是固定直线， ∵点为动点， ∴点的轨迹为直线（也可以直接利用瓜豆原理，点的轨迹为直线，则点轨迹为直线绕点顺时针旋转）， 由点到直线的上一点的最短距离为点到直线的垂线段长度， 过点作直线的垂线，垂足即为最小值时的点， ∵， ∴， ∴， 作的外接圆，圆心为，连接，，在上任取一点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴垂直平分，设垂足为点， ∴， ， ∴，， ∴是定圆， ∴点轨迹为在三角形内部的弧， 利用两点之间线段最短得， 且当、、共线时，取得最小值，此时点即为最小时的点， 由是定值， 则点即为最小时的点， ∵， ∴， 过点作于点，交于点， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $