精品解析：浙江省宁波市象山港高级技工学校2023-2024学年高二（高考班）上学期期中数学试题

象山港高级技工学校 2023学年第一学期期中考试 科目：数学 一、填空题（本大题共18小题，每小题3分，共54分） 1. 平面向量概念的要素是（ ） A. 大小和起点 B. 起点和终点 C. 大小和方向 D. 起点、终点和方向 2. “”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设，则“”的一个必要不充分条件为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，则图中与相等的向量（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 向量长度与向量的长度相等 B. 长度不相等方向相反的两个向量一定是共线向量 C. 任何一个非零向量都可以平行移动 D. 两个有共同起点且共线向量其终点必相同 6. 已知向量，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 平面内，到两定点，的距离之和等于10的动点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 9. 双曲线与直线交点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 10. 若命题且，命题且，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 11. 一元二次方程有两个正根的充要条件是（ ） A. B. C. D. 12. 的焦点到准线的距离是（ ） A. B. C. D. 13. 抛物线的准线与x轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 14. 已知点，且，则m等于（ ） A. B. 6 C. 或9 D. 6或 15. 已知焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程（ ） A. B. C. D. 16. 双曲线的一个焦点为，则虚半轴长（ ） A. 8 B. C. D. 17. 设椭圆的左右焦点与上顶点构成等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 18. 下列关于等轴双曲线的叙述，错误的是（ ） A. 离心率是 B. 两条渐近线互相垂直 C 实轴长等于虚轴长 D. 双曲线方程可以设为 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） . 19. 若抛物线焦点在坐标轴上，过点则它的焦点的坐标为 ______. 20. 已知，则 ________. 21. 已知且与共线，则__________. 22. 在中，若，，D为边上的中点，则___ 23. “”是“”的____________条件 24. 若椭圆的两个焦点把长轴三等分，则该椭圆的离心率为_________. 25. 已知是双曲线的焦点，是过焦点的弦，且的倾斜角为，则的值是________. 三、解答题（共68分） 26. 已知，求 27. 求过点，且与有相同焦点的椭圆方程. 28. 平面内给定三个向量：. （1）求； （2）求满足的实数m和n； （3）若，求实数k. 29. 已知抛物线顶点在原点，焦点坐标为. （1）求抛物线的标准方程； （2）若抛物线上点到焦点的距离为4，求点的坐标. 30. 已知抛物线C：，其焦点为F，直线l过点F与抛物线C交于两点，当l的斜率为0时，.求： （1）p的值； （2）当l的斜率为1时，三角形的面积. 31. 已知双曲线的离心率，且过点． （1）求此双曲线的标准方程； （2）设B为双曲线虚轴的下端点，直线交双曲线于C，D两点，以点B为圆心的圆与直线l相切于线段的中点，求k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 象山港高级技工学校 2023学年第一学期期中考试 科目：数学 一、填空题（本大题共18小题，每小题3分，共54分） 1. 平面向量概念的要素是（ ） A. 大小和起点 B. 起点和终点 C. 大小和方向 D. 起点、终点和方向 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的定义，即可求解. 【详解】平面向量是指既有大小又有方向的量， 平面向量概念的要素是大小和方向. 故选：C． 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分必要条件的判定方法即可得解. 【详解】当时，取，此时不成立，即充分性不成立； 当时，必有，即必要性成立； 所以“”是“”必要不充分条件. 故选：B 3. 设，则“”的一个必要不充分条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的定义逐项判断即可得解. 【详解】选项，当时，不一定成立；当时，，所以是的必要不充分条件，故正确； 选项，当时，不成立；当时，不成立，所以是的既不充分也不必要条件，故错误； 选项，当时，；当时，不一定成立，所以是的充分不必要条件，故错误； 选项，当时，不一定成立；当时，不一定成立，所以是的既不充分也不必要条件，故错误； 故选：. 4. 如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，则图中与相等的向量（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相等向量的定义即可得解. 【详解】方向相同，大小相等的向量叫做相等向量. 由图可知，与相等的向量是. 故选：D. 5. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 向量的长度与向量的长度相等 B. 长度不相等方向相反的两个向量一定是共线向量 C. 任何一个非零向量都可以平行移动 D. 两个有共同起点且共线的向量其终点必相同 【答案】D 【解析】 【分析】利用相反向量与共线向量的定义可判断. 【详解】对于A，向量的长度与向量的长度相等，A正确； 对于B，长度不相等方向相反的两个向量一定是共线向量，B正确； 对于C，任何一个非零向量都可以平行移动，C正确； 对于D，两个有共同起点且共线的向量若方向相反，则终点不相同，D错误； 故选：D. 6. 已知向量，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量减法的坐标运算求解即可. 【详解】因为向量， 所以. 故选：B. 7. 已知，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的坐标表示可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C 8. 平面内，到两定点，的距离之和等于10的动点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可求解. 【详解】因动点到两定点，的距离之和等于10，且， 所以动点的轨迹是以两定点，为焦点的椭圆. 其中， 所以. 所以椭圆方程为. 故选：B 9. 双曲线与直线交点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】通过联立方程组判断方程解的个数以此来判断交点的个数. 【详解】由直线，可得， 又双曲线， 则联立方程组得即 即，只有一个解， 所以双曲线与直线有个交点. 故选：B. 10. 若命题且，命题且，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质和举反例，分别证明充分性和必要性即可求解. 【详解】先证充分性， 当且时，满足要求， 但，所以充分性不成立， 再证必要性， 当且时，根据不等式的性质， ，，所以必要性成立， 综上所述，p是q的必要不充分条件. 故选：B. 11. 一元二次方程有两个正根的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设一元二次方程 的两个根为和，由根与系数的关系分析可得答案. 【详解】设一元二次方程的两个根为和， 则有， 若一元二次方程有两个正根，则，即； 反之，若，则有， 则一元二次方程有两个正根. 故一元二次方程 有两个正根的充要条件是且. 故选：A. 12. 的焦点到准线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将抛物线的方程转化为标准方程进行求解即可. 【详解】抛物线的标准方程为，即，可得焦点坐标， 准线方程，所以焦点到准线的距离 故选：B. 13. 抛物线的准线与x轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线方程求出准线方程即可求解. 【详解】抛物线的准线方程为， 所以准线与x轴的交点坐标为. 故选：B. 14. 已知点，且，则m等于（ ） A. B. 6 C. 或9 D. 6或 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的坐标表示求得，再利用向量模的坐标表示即可得解. 【详解】因为， 所以， 又，所以， 可化为，解得或. 故选：D. 15. 已知焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率公式和的关系列方程求出的关系即可. 【详解】已知焦点在y轴上的双曲线的离心率为， 则，即， 又，所以， 解得，则， 所以它的渐近线方程. 故选：B. 16. 双曲线的一个焦点为，则虚半轴长（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的焦点可求解c的值，再由双曲线中求解即可. 【详解】双曲线的一个焦点为，即，又， 所以， 所以虚半轴长为. 故选：C. 17. 设椭圆的左右焦点与上顶点构成等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义，结合勾股定理，即可列式求解. 【详解】因为椭圆的左右焦点与上顶点构成等腰直角三角形， 焦点在轴上，，， 设上顶点为，左、右焦点为， 因为是等腰直角三角形，则， 又，即，， 根据勾股定理可知， 所以，即， 故选：B. 18. 下列关于等轴双曲线的叙述，错误的是（ ） A. 离心率是 B. 两条渐近线互相垂直 C. 实轴长等于虚轴长 D. 双曲线方程可以设为 【答案】D 【解析】 【分析】根据等轴双曲线的定义和性质，结合题意，即可判断求解. 【详解】因为等轴双曲线中，， 所以， 所以， 所以离心率，故A正确，不符合题意； 因为等轴双曲线中，， 所以渐近线方程为， 所以两条渐近线互相垂直，故B正确，不符合题意； 因为等轴双曲线中，， 即， 所以实轴长等于虚轴长，故C正确，不符合题意； 对于D，当时，方程为， 所以，此时方程表示的是两条直线，不是双曲线，故选项D错误，符合题意； 故选：D. 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） . 19. 若抛物线焦点在坐标轴上，过点则它的焦点的坐标为 ______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据抛物线过点，判断抛物线符合哪种形式，即可求解. 【详解】抛物线过点经过第一象限， 有两种形式，， 当抛物线方程为时，又过点， 则有，解得，所以焦点坐标为， 当抛物线方程为时，又过点， 则有，解得，所以焦点坐标为. 故答案：或. 20. 已知，则 ________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量坐标表示及向量的线性运算可求. 【详解】已知， 则，， 则， 故答案为：. 21. 已知且与共线，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示求解即可. 【详解】因为，与共线， 所以，解得：， 所以， 故答案为：. 22. 在中，若，，D为边上的中点，则___ 【答案】 【解析】 【分析】由向量线性运算的坐标表示和向量模的坐标表示即可得解. 【详解】， 因为D为边上的中点，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 23. “”是“”的____________条件 【答案】必要不充分条件 【解析】 【分析】根据充要条件的概念可判断结果. 【详解】取，满足，此时，即； 若，则且，从而，即. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分条件 24. 若椭圆的两个焦点把长轴三等分，则该椭圆的离心率为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用长轴长与焦距的关系求解即可. 【详解】因为椭圆的两个焦点把长轴三等分. 所以,即. 故答案为：. 25. 已知是双曲线的焦点，是过焦点的弦，且的倾斜角为，则的值是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义分析求解即可. 【详解】因为双曲线的方程为，所以， 由题意结合双曲线的定义得，， 两式相加可得， 所以， 故答案为：. 三、解答题（共68分） 26. 已知，求 【答案】 【解析】 【分析】根据向量内积的定义与运算法则即可求解. 【详解】因为 ， 所以， 所以. 27. 求过点，且与有相同焦点的椭圆方程. 【答案】 【解析】 【分析】根据焦点坐标可求解c的值，再将点代入椭圆的标准方程求解未知数即可. 【详解】椭圆的焦点在x轴上， 因为，所以， 焦点坐标为， 椭圆方程可设为，其中， 由于所求椭圆与已知椭圆有相同的焦点，所以，即， 由于所求椭圆过点，代入椭圆方程得，即， 因为，所以，即， 可得，即， 解得，所以， 所以所求椭圆方程为. 28. 平面内给定三个向量：. （1）求； （2）求满足实数m和n； （3）若，求实数k. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示可求解； （2）根据向量线性运算的坐标表示及向量的坐标表示可求解； （3）根据向量共线的坐标表示可求解. 【小问1详解】 由题可知 ； 【小问2详解】 由，可得，即， 所以，解得. 即. 【小问3详解】 由题可得 ，， 因为， 所以，解得. 故为所求. 29. 已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为. （1）求抛物线的标准方程； （2）若抛物线上点到焦点的距离为4，求点的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义即可求解. （2）由抛物线的几何意义即可求点M的坐标. 【小问1详解】 因为焦点为，所以，故抛物线标准方程为. 【小问2详解】 设，则， 由已知得，，，. 所以或. 30. 已知抛物线C：，其焦点为F，直线l过点F与抛物线C交于两点，当l的斜率为0时，.求： （1）p的值； （2）当l的斜率为1时，三角形的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当直线的斜率为0时，直线的方程为与抛物线方程联立求出交点，则根据为即可求出p的值. （2）根据点到直线l的距离公式求出三角形的高，再将直线方程与抛物线方程联立并结合韦达定理，求出的长度，最后由三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 已知点， l的斜率为0时，直线的方程为， 代入抛物线方程得，， 所以， 所以， 则. 【小问2详解】 由（1）知点， 又由， 所以直线的方程为：. 则原点到直线的距离为. 又联立， 设， 根据韦达定理得， ，. 根据两点之间的距离公式得， 所以 所以. 31. 已知双曲线的离心率，且过点． （1）求此双曲线的标准方程； （2）设B为双曲线虚轴的下端点，直线交双曲线于C，D两点，以点B为圆心的圆与直线l相切于线段的中点，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）由双曲线过点可知，再根据离心率求出，最后由求出代入方程中即可. （2）设，线段的中点为，将直线与双曲线方程联立，根据韦达定理表示出的值，根据圆心与切点的连线垂直平分线段可得直线为，并将与切线联立表示出的横坐标，结合中点坐标公式列方程即可求解. 【小问1详解】 由双曲线过点可知， 且离心率， 所以， 此双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 设，线段的中点为， 由（1）可知点B的坐标为， 且直线交双曲线于C，D两点， 则联立方程组为，整理得， 所以，则点的横坐标为， 由点B为圆心的圆与直线l相切于线段的中点， 可得垂直平分， 所以过点且与直线l垂直的直线方程为， 则直线与切线的交点为切点， 则联立方程组，整理为，， 所以弦的中点横坐标为， 所以有，即， 整理得，解得， 所以k的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$