精品解析：广西邕衡教育·名校联盟2024-2025学年高三上学期12月联考数学试题

邕衡教育·名校联盟 2024年~2025年度上学期高三年级12月联考试题卷 数学试卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名､班级､准考证号码填写在答题卡规定的位置上，并将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整､笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试卷上答题无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出集合A，再由补集的概念求即可. 【详解】由题意得， 又因为，所以， 故选：C. 2. 若是奇函数，则（ ） A. B. 7 C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数性质得，代入求值即可. 【详解】由是奇函数，得. 故选：B 3. 已知双曲线C：的离心率，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用离心率公式计算即可. 【详解】若曲线C：表示双曲线，且， 则双曲线标准方程为，， 则，即. 故选：A. 4. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，“则是奇函数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦函数的变换与余弦函数的奇偶性得的值，结合充分必要条件判断即可得结论. 【详解】奇函数， 则， 所以， 由于，则或. 所以“则是奇函数”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则的值为（ ） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量求得，再由得，代入求值即可. 【详解】由题意得，，则 .∵，∴，即，∴，解得. 故选：C 6. 设函数，满足.若函数存在零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的解析式直接确定函数的单调性，再由得的符号，再结合函数零点存在定理可得函数得零点范围. 【详解】函数的定义域为，且单调递增， 由于，， 得，或者， 当时，若函数存在零点，则，也一定满足； 当时，若函数存在零点，则； 综上所述，可得. 故选：C. 7. 计算（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由两角和差的正弦公式求出，再代入原式求解即可. 【详解】， 代入原式可得. 故选：A. 8. ，，使得恒成立，则整数的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】在同一直角坐标系中作出与的图象，结合图象分分类讨论即可得正确的选项. 【详解】由得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，, 在同一直角坐标系中画出与的图象， 当时，取，则即即， 故在上恒成立，但当时，， 故不成立， 若，在上为增函数， 在上为减函数，而，， 故在上仅有一解， 此时取，结合图象可得恒成立， 所以整数的最小值为1. 故选：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是先利用特殊值排除非正整数，再根据数形结合求解. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知抛物线的焦点为，点在上，，则的值可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】AC 【解析】 【分析】根据抛物线的方程确定点的横坐标，再由抛物线的定义得方程，即可得的值. 【详解】由点在抛物线上，可得点横坐标， 因为，由抛物线定义得，解得或. 故选：AC. 10. 如图正方体分别是的中点，则（ ） A. 直线与直线垂直，直线平面 B. 直线与直线相交，直线平面 C. 直线与所成的角为 D. 直线与平面所成的角为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量形式判断A，由异面直线的概念判断B，利用线线角和线面角的向量求法求解判断CD. 【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，， 对于A，，，因为， 所以直线与直线垂直， 易知平面的一个法向量， 又，，且平面， 所以直线平面，A正确； 对于B，由正方体性质可知平面，平面，， 所以直线与直线为异面直线，不相交，B错误； 对于C，，，则， 因此直线与所成的角为，C正确； 对于D，，平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为， 则， 又，所以，因此直线与平面所成的角为，D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，则（ ） A. 若，则 B. 若，则在上单调递增 C. 若，则在上单调递减 D. 若有两个零点，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用函数最值与导函数关系即可判断选项A，利用导函数直接求解函数单调性，即可判断选项BC，将函数零点问题，转化为函数图像交点问题，即可判断选项D. 【详解】若，则， 因为，所以，则， 当时，， 则， 令得，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故，符合题意，A正确； 若，则， 所以在上单调递减，B错误； 若， 令得，所以在上单调递增，C错误； 若有两个零点，且， 则在时有一个解， 即在上有一个解， 即与有唯一交点， 因为在上单调递增，且， 所以，D正确. 故选：AD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式的展开式中的系数为__________.（用数字作答）. 【答案】45 【解析】 【分析】先写出二项展开式的通项公式，即可求出展开式中的项系数. 【详解】展开式的通项为，令得 所以展开式中的系数为. 故答案为：45. 13. 已知复数满足①；②.写出一个同时满足①②的复数__________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】设，由复数的乘除法运算及复数与实数的关系可得满足条件或的复数都满足条件①②. 【详解】设，∵，∴，即； 又∵，∴或. ∴满足或的复数都满足条件①②. 故答案为：（答案不唯一）. 14. 已知数列满足或3，其中，设的前项和为，则的所有可能为__________（用数字作答），可能的不同取值个数为__________.（用数字作答） 【答案】 ①. 4，6，8； ②. 29 【解析】 【分析】根据数列的递推关系式分类求解再求解即可；设（其中），可类推得的前项和，根据计数原理得结论即可. 【详解】（1）若时，因为，所以若，则； 若时，因为，所以若，则； 若时，因为，所以若，则； 若时，因为，所以若，则； 则的所有可能为4，6，8； （2）设（其中） ，， 依此类推，，，，， 所以 所以代表28个数相加，28个1，0个3；27个1，1个3；，0个1，28个3，共29种可能. 故答案为：4，6，8；29. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求在区间上的值域； （2）若，有，求的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用导数符号求解函数单调区间，进而求出值域即可. （2）分离参数，转化为恒成立，令，利用导数法求解其最大值，即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减. 因为，，， 所以的值域是. 【小问2详解】 由题意知，即. 令，则. 所以在上单调递增，在上单调递减，所以. 则的取值范围. 16. 2024年10月，“2024环广西世巡赛”成功举行，志愿者的服务工作是世巡赛成功举办的重要保障，某单位承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了200名侯选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一､二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同. （1）求的值； （2）若面试成绩前68名为优秀，请估计优秀成绩的最低分； （3）现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者.若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和40，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的方差. （注：若将总体划分为若干层，随机抽取两层，通过分层随机抽样，每层抽取的样本量､样本平均数和样本方差分别为：，，，，，.记这两层总的样本平均数为，样本方差为，则）. 【答案】（1） （2）73 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图和所给条件列出式子，求解得出的值， （2）根据(1)求出每组频率，再根据判断优秀成绩的最低分，列出等式计算即可； （3）首先算出抽样比，再根据加权平均公式以及方差的性质即可列式求解. 【小问1详解】 由题意可知，，解得； 【小问2详解】 由(1)可知每组的频率依次为，，，，， 因为，故优秀成绩的最低分， 所以， 可得，所以优秀成绩的最低分为73； 【小问3详解】 设第二组､第四组的平均数分别为，，方差分别为，， 且各组频率之比为：， 所以用分层抽样的方法抽取第二组面试者人， 第四组面试者人， 则第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数：， 第二组､第四组面试者的面试成绩的方差： ， 故估计第二组､第四组面试者的面试成绩的方差是. 17. 已知三棱锥的四个顶点均在球的球面上，分别为中点. （1）现有如下两个条件： 条件①； 条件②. 请从上述二个条件中选择一个条件，能使成立， 并写出证明过程.（注：多选择分别证明，只按第1次选择计分） （2）若，求三棱锥体积最大时，二面角的正弦值. 【答案】（1） 选择条件①，连接，，是中点， ，又，. ，、平面，平面，平面，. 选择条件②，连接， ，. .是中点，. （2）. 【解析】 【分析】（1）选择条件①，连接，根据三线合一得，，根据线面垂直的判定定理得平面，进而根据线面垂直的性质定理证明即可；选择条件②连接，利用边角边证明，再利用等腰三角形的性质即可证明垂直. （2）由题意平面，根据面面垂直的判定及性质定理证明两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角平面角的余弦值，进而利用同角关系求解正弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在三角形ABC中，，E是BC中点，所以AE=1. 所以，当平面时，点A到平面BCD距离的最大. 连接ED､EA， 平面，平面，平面平面， ，平面平面，平面，平面. 建立以为坐标原点，分别轴的空间直角坐标系， 在等腰直角三角形ABC中，，故相关点坐标如下： ，，，，， ，， 设平面ABD的法向量，则，即， 令，则，， 平面ADE的法向量. . 二面角是锐二面角，二面角的余弦值为. 二面角的正弦值为. 18. 记的内角的对边分别为. （1）若为锐角三角形，对任意内角，若是它的导数，证明：. （2）若为锐角三角形，且角满足，其中符号表示不大于x的最大整数，若，试探讨是否为定值？请说明理由. （3）在中，当.求面积的最大值. 【答案】（1）由题意可知，，，则， 因为在上单调递增，所以， 又，所以. （2）是，理由如下： 由， 得. 记，由条件得， 因为，所以， 所以，所以必为整数. 由，得， 所以，又，所以， 所以，又，所以， ，解得， ，代入得， 即， 所以. （3） 【解析】 【分析】（1）由锐角三角形的性质得，然后利用正弦函数的单调性得，即可证明. （2）由两角和正切公式得，结合条件得必为整数，由得，又，所以，结合得，进而求得即可. （3）由条件及（2）的结论得，得，由余弦定理及基本不等式得，根据三角形面积公式求解最大值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，可得， 由（2）的结论得，又，所以； 由余弦定理可得，当且仅当时取等号. 而，所以， 所以. 即该三角形的面积的最大值为. 19. 已知椭圆的短轴长为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）点为椭圆外的一点，过作两条直线与椭圆相切，且这两条直线互相垂直，求点的轨迹方程； （3）过平面上一点作（2）中的轨迹的两条切线且这两条切线互相垂直，设点的轨迹方程为.依此类推，过平面上一点作轨迹的两条切线且这两条切线互相垂直，设点的轨迹方程为.在每条轨迹方程上任取三个点，且使得均为钝角（为坐标原点）.求证： 【答案】（1） （2） （3）由于点的轨迹方程为是一个圆，则过平面上一点作（2）中的轨迹的两条切线且这两条切线互相垂直， 点的轨迹方程也是一个圆，设轨迹方程的半径为，则点的轨迹方程的半径为， 依次类推，设轨迹方程的半径为，则点的轨迹方程的半径为， 不难发现是以为首项，为半径的一个等比数列，则. 由于､､是轨迹方程上任意三点，可设，，， 由于，，均为钝角，则. . . 记，，则，， 令，解得或（舍去），此时， 则当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 取得最大值. . 【解析】 【分析】（1）根据短轴及点在椭圆上列式求即可得出椭圆标准方程 （2）先设直线方程再联立得出韦达定理，再根据斜率关系得出垂直即可得出轨迹； （3）结合（2）结论应用面积公式及同角三角函数关系化简，再应用导数得出函数最值即可证明. 【小问1详解】 由于椭圆C：的短轴长为，所以有. 又由于椭圆过点A，所以有，所以有 所以有椭圆C的方程为. 【小问2详解】 当过作两条直线与椭圆C相切的直线中有一条直线的斜率不存在时，点的坐标为 当过作两条直线与椭圆C相切的直线中两条直线的斜率均存在时，可设这两条直线的斜率为，. 设点的坐标为，则切线方程可设为与 联立， 可得由于相切， 则. 则，即. 同理可得 所以，可以看成是的两根. 由于这两条切线互相垂直，则，所以有. 注意到，当当过作两条直线与椭圆C相切的直线中有一条直线的斜率不存在时， 点的坐标为，也满足，则点的轨迹方程为. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是应用导函数得出函数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邕衡教育·名校联盟 2024年~2025年度上学期高三年级12月联考试题卷 数学试卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名､班级､准考证号码填写在答题卡规定的位置上，并将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整､笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试卷上答题无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 2. 若是奇函数，则（ ） A. B. 7 C. D. 9 3. 已知双曲线C：的离心率，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，“则是奇函数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则的值为（ ） A. 2 B. 0 C. D. 6. 设函数，满足.若函数存在零点，则（ ） A. B. C. D. 7. 计算（ ） A. B. C. D. 8. ，，使得恒成立，则整数的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知抛物线的焦点为，点在上，，则的值可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 10. 如图正方体分别是的中点，则（ ） A. 直线与直线垂直，直线平面 B. 直线与直线相交，直线平面 C. 直线与所成的角为 D. 直线与平面所成的角为 11. 已知函数，则（ ） A. 若，则 B. 若，则在上单调递增 C. 若，则在上单调递减 D. 若有两个零点，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式的展开式中的系数为__________.（用数字作答）. 13. 已知复数满足①；②.写出一个同时满足①②的复数__________. 14. 已知数列满足或3，其中，设的前项和为，则的所有可能为__________（用数字作答），可能的不同取值个数为__________.（用数字作答） 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求在区间上的值域； （2）若，有，求的取值范围. 16. 2024年10月，“2024环广西世巡赛”成功举行，志愿者的服务工作是世巡赛成功举办的重要保障，某单位承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了200名侯选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一､二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同. （1）求的值； （2）若面试成绩前68名为优秀，请估计优秀成绩的最低分； （3）现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者.若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和40，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的方差. （注：若将总体划分为若干层，随机抽取两层，通过分层随机抽样，每层抽取的样本量､样本平均数和样本方差分别为：，，，，，.记这两层总的样本平均数为，样本方差为，则）. 17. 已知三棱锥的四个顶点均在球的球面上，分别为中点. （1）现有如下两个条件： 条件①； 条件②. 请从上述二个条件中选择一个条件，能使成立， 并写出证明过程.（注：多选择分别证明，只按第1次选择计分） （2）若，求三棱锥体积最大时，二面角的正弦值. 18. 记的内角的对边分别为. （1）若为锐角三角形，对任意内角，若是它的导数，证明：. （2）若为锐角三角形，且角满足，其中符号表示不大于x的最大整数，若，试探讨是否为定值？请说明理由. （3）在中，当.求面积的最大值. 19. 已知椭圆的短轴长为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）点为椭圆外的一点，过作两条直线与椭圆相切，且这两条直线互相垂直，求点的轨迹方程； （3）过平面上一点作（2）中的轨迹的两条切线且这两条切线互相垂直，设点的轨迹方程为.依此类推，过平面上一点作轨迹的两条切线且这两条切线互相垂直，设点的轨迹方程为.在每条轨迹方程上任取三个点，且使得均为钝角（为坐标原点）.求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $