2025届高考物理二轮复习学案：带电粒子在复合场中的运动

带电粒子在复合场中的运动 课前学习任务 学习目标： 1.会分析处理带电粒子在组合场中运动的问题。 2.知道带电粒子在复合场中几种常见的运动，掌握运动所遵循的规律。 核心知识点 一、带电粒子在组合场中的运动 1.带电粒子的“电偏转”和“磁偏转”的比较 垂直进入磁场(磁偏转) 垂直进入电场(电偏转) 进入电场时速度方向与电场有一定夹角 情 景 图 受 力 FB=qv0B，FB大小不变，方向变化，方向总指向圆心，FB为变力 FE=qE，FE大小、方向均不变，FE为恒力 FE=qE，FE大小、方向均不变，FE为恒力 运 动 规 律 匀速圆周运动 r=，T= 类平抛运动 vx=v0，vy=t x=v0t，y=t2 类斜抛运动 vx=v0sin θ，vy=v0cos θ-t x=v0sin θ·t，y=v0cos θ·t-t2 2.常见运动及处理方法 二、带电粒子在叠加场中的运动 1.三种典型情况 (1)若只有两个场，所受合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态。例如电场与磁场叠加满足qE=qvB时，重力场与磁场叠加满足mg=qvB时，重力场与电场叠加满足mg=qE时。 (2)若三场共存，所受合力为零时，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力F=qvB的方向与速度v垂直。 (3)若三场共存，粒子做匀速圆周运动时，则有mg=qE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qvB=m。 2.速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计、霍尔元件都是带电粒子在相互正交的电场和磁场组成的场中的运动平衡问题，所不同的是速度选择器中的电场是带电粒子进入前存在的，是外加的；磁流体发电机、电磁流量计和霍尔元件中的电场是粒子进入磁场后，在洛伦兹力作用下带电粒子打在两极板后才产生的。 3.分析 三、“配速法”解决摆线问题 1.摆线 摆线是指一个圆在一条定直线上滚动时，圆周上一个定点的轨迹，又称圆滚线、旋轮线。 当圆滚动的方向与圆心匀速移动的方向一致时，圆滚动一周，动圆上定点描画出摆线的一拱。每一拱的拱高为2a(即圆的直径)，拱宽为2πa(即圆的周长)。 2.配速法 (1)若带电粒子在磁场中所受合力不为零，则粒子的速度会改变，洛伦兹力也会随着变化，合力也会跟着变化，则粒子做一般曲线运动，轨迹常为摆线。我们可以把初速度分解成两个分速度，使其一个分速度对应的洛伦兹力与重力(或静电力，或重力和静电力的合力)平衡，另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，这样一个复杂的曲线运动就可以分解为两个比较常见的运动，这种方法叫配速法。 (2)配速法适用条件： ①在叠加场中； ②合力不为零。 (3)规律： 把速度分解成两个速度，使其一个分速度对应的洛伦兹力与重力(或静电力、或重力和静电力的合力)平衡，使粒子在这个方向上做匀速直线运动。 ①初速度为零时，速度分解为两个等大、反向的速度； ②初速度不为零时，按矢量分解法则分解。 (4)常见的“配速法”的应用 常见情况 处理方法 BG摆线：初速度为0，有重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1。 BE摆线：初速度为0，不计重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1。 BEG摆线：初速度为0，有重力 把初速度0分解为一个斜向左下方的速度v1和一个斜向右上方的速度v1。 BGv摆线：初速度为v0，有重力 把初速度v0分解为速度v1和速度v2。 课堂学习任务 一、带电粒子在组合场中的运动 例1　(2024·河北省大联考)如图所示，xOy平面内，在x轴上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外；在x轴下方存在匀强电场，电场强度大小为E，方向与xOy平面平行，且与x轴成45°夹角。一带电的粒子以大小为v0的初速度从y轴上的P点沿y轴正方向射出，P点的坐标为(0，L)，一段时间后粒子第一次进入电场且进入电场时的速度方向与电场方向相反。不计粒子的重力。 (1)判断带电粒子的电性，并求其比荷； (2)求粒子从P点出发至第一次到达x轴时所需的时间； (3)求带电粒子第四次经过x轴的位置的横坐标及此时粒子的速度大小。 二、带电粒子在叠加场中的运动 例2　(多选)(2024·安徽卷·10)空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m的带电油滴a，在纸面内做半径为R的圆周运动，轨迹如图所示。当a运动到最低点P时，瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ，二者带电量、质量均相同。Ⅰ在P点时与a的速度方向相同，并做半径为3R的圆周运动，轨迹如图所示。Ⅱ的轨迹未画出。已知重力加速度大小为g，不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用，则(　　) A.油滴a带负电，所带电量的大小为 B.油滴a做圆周运动的速度大小为 C.小油滴Ⅰ做圆周运动的速度大小为，周期为 D.小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动 例3　(2024·河南濮阳市一模)如图所示，在xOy坐标系中，有沿x轴正向的匀强电场和垂直坐标平面向外的匀强磁场，电场强度大小E=5 N/C，磁感应强度大小为B=0.5 T。在坐标平面内的某点沿某方向射出一质量为m=1×10-6 kg、电荷量为q=2×10-6 C的带正电微粒，微粒恰能在xOy坐标平面内做直线运动，且运动轨迹经过O点。已知y轴正方向竖直向上，重力加速度g取10 m/s2，求： (1)微粒发射的速度大小和方向； (2)微粒到达O点时撤去磁场，当微粒的速度沿竖直方向时，微粒的位置坐标是多少； (3)在(2)问中，当微粒速度沿竖直方向时，再加上原磁场同时撤去电场，此后微粒运动的轨迹离x轴的最大距离为多少(结果可用根号表示)。 三、“配速法”解决摆线问题 例4　如图所示，空间存在竖直向下的匀强电场和水平方向的匀强磁场(垂直纸面向里)，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为+q的带电粒子在场中运动，不计粒子所受重力。将该粒子在M点由静止释放，求粒子沿电场方向运动的最大距离ym和运动过程中的最大速率vm。 、 课后学习任务 一、多选题 1．方向竖直向下、强度为E的匀强电场和磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场正交复合，如图所示。一质量为m的带电粒子，在复合场中的竖直平面内做匀速圆周运动，重力加速度为。则可判断该带电粒子（    ） A．带有电量为的正电荷 B．沿顺时针方向做圆周运动 C．运动的角速度为 D．运动的速率为 2．如图所示，竖直平面内的直角坐标系xOy中，电场强度的方向水平向右，磁感应强度的方向垂直纸面向里。一电荷量为质量为m的微粒从原点出发沿与x轴正方向的夹角为的方向进入复合场，正好做直线运动，当微粒运动到时，电场方向突然变为竖直向上（不计电场变化的时间），微粒继续运动一段时间后，正好垂直于y轴穿出复合场。不计一切阻力，下列说法正确的是（    ） A．磁感应强度B的大小为 B．磁感应强度B的大小为 C．微粒在复合场中的运动时间 D．微粒在复合场中的运动时间 3．光滑绝缘水平桌面上有一个可视为质点的带正电小球，桌面右侧存在由匀强电场和匀强磁场组成的复合场，复合场的下边界是水平面，到桌面的距离为h，电场强度为E、方向竖直向上，磁感应强度为B、方向垂直纸面向外，重力加速度为g，带电小球的比荷为。如图所示，现给小球一个向右的初速度，使之离开桌边缘立刻进入复合场运动，已知小球从下边界射出，射出时的速度方向与下边界的夹角为，下列说法正确的是（　　）      A．小球在复合场中的运动时间可能是 B．小球在复合场中运动的加速度大小可能是 C．小球在复合场中运动的路程可能是 D．小球的初速度大小可能是 4．光滑绝缘水平桌面上有一个可视为质点的带正电小球，桌面右侧存在由匀强电场和匀强磁场组成的复合场，复合场的下边界是水平面，到桌面的距离为，电场强度为、方向竖直向上，磁感应强度为、方向垂直纸面向外，重力加速度为，带电小球的比荷为，如图所示。现给小球一个向右的初速度，离开桌边缘立刻进入复合场运动，从下边界射出，射出时的速度方向与下边界的夹角为。下列说法正确的是（　　） A．小球在复合场中的运动时间可能是 B．小球在复合场中运动的运动时间可能是 C．小球在复合场中运动的路程可能是 D．小球的初速度大小可能是 5．光滑绝缘水平桌面上有一个可视为质点的带正电小球，桌面右侧存在由匀强电场和匀强磁场组成的复合场，复合场的下边界是水平面，到桌面的距离为h，电场强度为E、方向竖直向上，磁感应强度为B、方向垂直纸面向外，重力加速度为g，带电小球的比荷为，如图所示。现给小球一个向右的初速度，离开桌边缘立刻进入复合场运动，从下边界射出，射出时的速度方向与下边界的夹角为。下列说法正确的是（    ）    A．小球在复合场中的运动时间可能是 B．小球在复合场中运动的加速度大小可能是 C．小球在复合场中运动的路程可能是 D．小球的初速度大小可能是 二、解答题 6．如图所示，真空中有一个半径r＝0.5m的圆形磁场区域，与x轴相切于坐标原点O，磁感应强度B＝2×10－4T，方向垂直于纸面向外，在圆形磁场区域的右侧有一水平放置的正对平行金属板M、N，板间距离为d＝0.5m，板长L＝0.6m，板间中线O2O3的反向延长线恰好过磁场圆的圆心O1．若在O点处有一粒子源，能均匀的向磁场中各个方向源源不断地发射速率相同、比荷为＝1×108C/kg且带正电的粒子，粒子的运动轨迹在纸面内。已知一个沿y轴正方向射入磁场的粒子，恰能沿直线O2O3方向射入平行板间。不计重力、阻力及粒子间的相互作用力，求： （1）粒子入射的速度v0的大小； （2）若已知两平行金属板间电场强度E＝V/m，则从M、N板右端射出平行板间的粒子数与从O点射入磁场的总粒子数的比值η。 （3）若平行板足够长，且在平行板的左端装上一挡板（图中未画出），挡板正中间O2处有一小孔，恰能让单个粒子通过，且在两板间加上沿y轴负方向的匀强电场E和垂直xOy平面向里的匀强磁场，B＝2×10－4T，要使粒子能从两极板间射出。求电场强度E的大小范围。（提示：带电粒子在复合场中的运动可以看成匀速直线运动和匀速圆周运动的合运动） 7．。如图甲所示，在的空间中存在匀强电场，场强沿轴正方向：在的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直平面（纸面）向里。一比荷大小的带电运动粒子，经过轴上处的点时速率，方向沿轴正方向；然后，经过轴上处的点进入磁场，并经过轴上处的点。不计重力。求： （1）带电粒子的电性； （2）电场强度的大小； （3）磁感应强度的大小； （4）如图乙所示，现在的区域内再加一垂直纸面向外的磁场，磁场大小与（3）相同，带电粒子在的点静止释放，求粒子在复合场运动过程的最大速度。 8．如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，其第一象限存在着正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度的方向水平向右，磁感应强度的方向垂直纸面向里。一带电荷量为＋q、质量为m的微粒从原点出发，以某一初速度沿与x轴正方向的夹角为45°的方向进入复合场中，正好做直线运动，当微粒运动到A（l，l）时，电场方向突然变为竖直向上（不计电场变化的时间），微粒继续运动一段时间后，正好垂直于y轴穿出复合场。不计一切阻力，重力加速度为g，求： （1）电场强度E的大小； （2）磁感应强度B的大小； （3）微粒在复合场中的运动时间。 9．如图所示，在第Ⅱ象限内存在电场强度为E、沿y轴负方向的匀强电场；磁感应强度为B1、垂直纸面向里的匀强磁场。在复合场中放置一线形、长为2R的带电粒子发生器，它沿x轴正方向不断地发射出速度相同的带正电粒子（已知粒子质量均为m、电荷量均为q），这些粒子能在0<y<2R的区间内垂直y轴进入第Ⅰ象限。在第Ⅰ象限内半径为R的圆形区域内存在着一与纸面垂直的匀强磁场，圆形区域与y、x轴分别相切于a、b两点。在第Ⅳ象限整个区域内存在磁感应强度为B2、垂直纸面向里的匀强磁场。已知从a点射入圆形磁场区域的粒子恰好从b点沿y轴负方向进入第Ⅳ象限。不计粒子重力和相互作用力。 可能用到的公式： tan2θ=2tanθ/（1－tan2θ） (1)求第Ⅰ象限圆形磁场区域内的磁感应强度大小和方向； (2)求通过圆形磁场区域的带电粒子第二次通过x轴的区域范围； (3)若调整粒子发生器和复合场，使粒子发射速度增大一倍，且粒子仍能垂直y轴进入第Ⅰ象限。求从a点射入的粒子第二次通过x轴时点的坐标。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案精析 课堂学习任务 例1　(1)正电　　(2) (3)(3+)L+　v0 解析　(1)假设粒子带负电，粒子射出后在磁场中向左偏，进入电场时速度方向与电场方向不可能相反。当粒子带正电时，射出后粒子在磁场中向右偏，然后进入电场时速度方向才有可能与电场方向相反。因此，粒子带正电。设带电粒子的电荷量为q、质量为m，粒子在磁场中运动的轨迹半径为R，粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系有Rcos 45°=L 根据洛伦兹力提供向心力 qv0B=m 带电粒子比荷为= (2)由几何关系可知粒子第一次在磁场中运动轨迹对应的圆心角为，经过的路程 s=×2πR= 粒子从P点出发至第一次到达x轴时所需时间t== (3)粒子第一次经过x轴的位置距y轴距离为 x1=R+Rcos 45°=(+1)L 粒子在电场中先做匀减速直线运动，后做反方向的匀加速直线运动，第二次经过x轴进入磁场时，速度与x轴正方向成45°，大小仍为v0，粒子第二次在磁场中运动的轨迹半径 R=L 粒子第三次与第二次经过x轴之间的距离为 x2=R=2L 粒子第三次经过x轴进入电场时速度与电场方向垂直，做类平抛运动，设粒子第三次与第四次经过x轴之间的距离为x3，则有qE=ma x3cos 45°=v0t' x3sin 45°=at'2 联立解得x3= 带电粒子第四次经过x轴的位置的横坐标为x=x1+x2+x3=(3+)L+ 根据动能定理得 qEx3sin 45°=mv2-m 解得带电粒子第四次经过x轴时，粒子的速度大小v=v0 例2　ABD　[油滴a做圆周运动，故重力与电场力平衡，可知带负电，有mg=Eq 解得q=，故A正确； 根据洛伦兹力提供向心力有 Bqv=m 联立解得油滴a做圆周运动的速度大小为v= 故B正确； 设小油滴Ⅰ的速度大小为v1，得 v1B=· 解得v1==， 周期为T==， 故C错误； 带电油滴a分离前后动量守恒，设分离后小油滴Ⅱ的速度为v2，取油滴a分离前瞬间的速度方向为正方向， 得mv=v1+v2， 解得v2=-， 由于分离后的小油滴受到的电场力和重力仍然平衡，分离后小油滴Ⅱ的速度方向与正方向相反，根据左手定则可知小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动，故D正确。] 例3　(1)20 m/s，方向与y轴负方向夹角为30°指向左下方 (2)(- m，- m) (3) m 解析　(1) 微粒做匀速直线运动，如图 则(Bqv)2=(qE)2+(mg)2 解得v=20 m/s 微粒发射的速度方向与y轴负方向夹角θ满足 tan θ== 解得θ=30° 即微粒发射的速度大小为20 m/s，方向与y轴负方向夹角为30°指向左下方 (2)撤去磁场后，微粒做类平抛运动，如图 将速度分解可得 vx=vsin 30° =10 m/s vy=vcos 30° =10 m/s x方向的加速度 ax==10 m/s2 x方向的速度减为零时 t== s 此时距x轴的距离为 y=vyt+gt2= m 对应速度vy1=vy+gt= m/s 距y轴的距离为 x=t= m 所以当微粒的速度沿竖直方向时，微粒的位置坐标是 (- m，- m)； (3)微粒运动的轨迹离x轴的距离最大时，速度与x轴平行 在x方向上，由动量定理可得 ∑F洛xΔt=mv1-0 即Bqy1=mv1 由动能定理可得 mgy1=m-m 求得y1= m 微粒运动的轨迹离x轴的最大距离 Y=y+y1= m。 例4　见解析 解析　方法一：动能定理+动量定理 带电粒子在运动中，只有静电力做功，其运动至最远时，静电力做功最多，此时速度最大，根据动能定理有 Eqym=m ① 以电场方向为y轴，垂直电场方向为x轴，则粒子沿y方向上的速度产生x方向的洛伦兹力，即F洛x=qBvy 取沿x方向运动一小段时间Δt，根据动量定理有 F洛xΔt=qBvyΔt=mΔvx 式中vyΔt表示粒子沿y轴方向运动的距离。因此，等式两边对粒子从M点到第一次最远的过程求和有qBym=mvm ② 联立①②两式，解得vm=， ym= 方法二：“配速法” 将粒子在M点由静止释放，其运动较为复杂，是因为洛伦兹力改变了运动的方向，带电粒子在磁场中做的最简单的运动是匀速圆周运动，我们就可以想方设法将其分解为匀速圆周运动。 粒子的初速度为零，可分解为水平向右的速度v和水平向左的速度v，其中水平向右的速度v对应的洛伦兹力与静电力平衡，即Bqv=Eq；因此，粒子的运动是水平向右速度为v的匀速直线运动和初速度水平向左、大小为v的逆时针匀速圆周运动的合运动，圆周运动的轨道半径r== 所以ym=2r=，vm=2v= 课后学习任务 1．BC 【详解】AB．带电粒子在复合场中的竖直平面内做匀速圆周运动，可知电场力与重力平衡，则有 可得 电场力方向竖直向上，与电场方向相反，故粒子带负电，根据左手定则可知，粒子沿顺时针方向做圆周运动，故A错误，B正确； CD．根据洛伦兹力提供向心力得 解得 ， 由于不知道粒子做圆周运动半径，所以不能确定粒子运动的速率，故C正确，D错误。 故选BC。 2．AC 【详解】AB．微粒若向沿虚线直线运动，则受到重力、电场力、洛伦兹力，三力平衡，满足 电场方向突变后重力与电场力平衡，微粒仅受洛伦兹力，画出轨迹如图所示 由几何关系可得 洛伦兹力提供向心力 联立解得 A正确，B错误； CD．微粒直线运动时间 微粒圆周运动时间 总时间 C正确，D错误。 故选AC。 3．AC 【详解】带电小球的比荷为是，则有 则小球合力为洛伦兹力，所以小球在复合场中做匀速圆周运动，射出时的速度方向与下边界的夹角为，则小球运动情况有两种，轨迹如下图所示    若小球速度为，则根据几何知识可得轨迹所对应的圆心角为，此时小球在复合场中的运动时间为 根据几何知识可得，其轨迹半径为 则根据洛伦兹力提供向心力有 可得，小球的速度为 则小球的路程为 小球的加速度为 若小球速度为，则根据几何知识可得轨迹所对应的圆心角为，此时小球在复合场中的运动时间为 根据几何知识可得，其轨迹半径为 则根据洛伦兹力提供向心力有 可得，小球的速度为 则小球的路程为 小球的加速度为 故选AC。 4．ACD 【详解】AB．因带电小球的比荷为 即 则粒子进入复合场后做匀速圆周运动，周期 粒子从下边界射出，射出时的速度方向与下边界的夹角为。则在场中运动转过的圆弧角度可能为，也可能是，则运动时间可能为 也可能为 选项A正确，B错误； C．小球在复合场中运动的半径满足 或者 解得 或者 r2=2h 则在复合场中的路程可能是 也可能是 选项C正确； D．根据 可得 可得小球的初速度大小可能是 也可能是 选项D正确。 故选ACD。 5．AC 【详解】带电小球的比荷为，则有 则小球合力为洛伦兹力，所以小球在复合场中做匀速圆周运动，射出时的速度方向与下边界的夹角为，则小球运动情况有两种，轨迹如下图所示    若小球速度为，则根据几何知识可得轨迹所对应的圆心角为，此时小球在复合场中的运动时间为 根据几何知识可得，其轨迹半径为 则根据洛伦兹力提供向心力有 可得，小球的速度为 则小球的路程为 小球的加速度为 若小球速度为，则根据几何知识可得轨迹所对应的圆心角为，此时小球在复合场中的运动时间为 根据几何知识可得，其轨迹半径为 则根据洛伦兹力提供向心力有 可得，小球的速度为 则小球的路程为 小球的加速度为 故选AC。 6．（1）1.0×104m/s；（2）；（3）V/m<E<V/m 【详解】（1）由题意可知，沿y轴正方向射入的粒子运动轨迹如图所示 有 R＝r＝ v0＝＝1.0×104m/s （2）沿任一方向射入磁场的粒子，其运动轨迹都是半径为r的圆，所有粒子出磁场后都沿平行x轴正方向运动。恰能从N板左端射入平行板间的粒子的运动轨迹如图曲线Ⅰ所示 则 sin∠O4OA＝＝ ∠O4OA＝30° 所以从N板左端射入的粒子从O点射出时与y轴的夹角为α＝30°， 同理可得，从M板左端射入的粒子从O点射出时与y轴的夹角为β＝30°。 所以射入板间的粒子占射入磁场粒子的比例为 能射出电场的粒子其偏移量 所以射入板间的粒子恰好有一半从M、N板右端射出，所以 （3）令v0＝v1＋v2 Eq＝Bqv1 ①当v0＝v1时，有 E＝2V/m ②当v0>v1时，有 v2＝v0－v1＝ 粒子以v2做匀速圆周运动 若要粒子能从两板间射出，则，则可得 ③当v0<v1时，有 v2＝v1－v0＝ 粒子以v2做匀速圆周运动，有 若要粒子能从两板间射出，则，可得 综上 V/m<E<V/m 7．（1）负电；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）粒子向下运动，电场力方向与场强方向相反，带负电 （2）带电粒子在电场中偏转，则有 解得 （3） 与水平成角 由几何关系 解得 （4） 解得 8．（1）；（2）；（3） 【详解】（1）微粒到达A(l，l)之前做匀速直线运动，对微粒受力分析如图甲 可知 得 . （2）由平衡条件得 电场方向变化后，微粒所受重力与静电力平衡，微粒在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，轨迹如图乙 由几何知识可得 l 联立解得 解得 （3）微粒做匀速直线运动的时间 微粒做匀速圆周运动的时间 微粒在复合场中的运动时间 9．(1)  ，由左手定则知方向垂直xOy平面向外；(2)R<x≤R+；(3)（+，0） 【详解】(1)根据 qE=qvB1 知从a点射入的粒子速度 根据几何关系得粒子在圆形磁场区域内的轨道半径为R， 由 得 由左手定则知方向垂直xOy平面向外 (2)从任一点P沿x轴正方向进入圆形磁场区域中的粒子做半径为R的匀速圆周运动，其圆心位于P的正下方O″，如图1所示。因此粒子进入圆形磁场区域后的圆心的轨迹为如图1所示的虚线半圆，此半圆的圆心在b点 所以垂直y轴进入的粒子，通过圆形磁场区域后第一次均通过x轴上b点进入第Ⅳ象限，并且沿各个方向的粒子都有，则第二次通过x轴的区域范围为R<x≤R+2R'。因 所以区域范围为 (3)粒子速度增大一倍，在圆形磁场区域轨迹半径为2R，由如图2的几何关系得 则 所以 F点坐标为（ ，0） 粒子在第Ⅳ象限的轨道半径 所以Q点坐标为（，0） 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$