4.4.2.1 平面与平面垂直的判定 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

4.4.2　平面与平面垂直 第1课时　平面与平面垂直的判定 [学习目标]　1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的判定定理，并加以证明. 2.会应用平面与平面垂直的判定定理证明平面与平面的垂直． 导语 如图所示，笔记本电脑在打开的过程中，会给人以面面“夹角”变大的感觉． 当“夹角”多大时，面与面垂直？如何刻画这个“夹角”？ 一、二面角的概念 问题1　你能举出哪些两个平面相交的例子？ 提示　卫星的轨道平面与地球的赤道平面、教室的墙面与地面等等． 问题2　类比我们初中对平面中的角的定义，你能说出平面与平面所成角的概念吗？ 提示　从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． 知识梳理 1．二面角 概念 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面 图示 记法 棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α－AB－β.有时为了方便，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P－AB－Q.若棱为l，则这个二面角也可记作二面角α－l－β或P－l－Q 2.二面角的平面角 概念 在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫作二面角的平面角 图示 符号 OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角 范围 0°≤∠AOB≤180° 规定 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫作直二面角 例1　(1)从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α－l－β的平面角的大小是(　　) A．60° B．120° C．60°或120° D．不确定 答案　C 解析　如图所示，过PE，PF作一个平面γ与二面角α－l－β的棱交于点O，连接OE，OF. 因为PE⊥α，PF⊥β，所以PE⊥l，PF⊥l， 又PE∩PF＝P，所以l⊥平面γ， 所以l⊥OE，l⊥OF， 则∠EOF为α－l－β的平面角，且它与∠EPF相等或互补， 故二面角α－l－β的平面角的大小为60°或120°. (2)如图所示，已知三棱锥A－BCD的各棱长均为2，求二面角A－CD－B的平面角的余弦值． 解　如图，取CD的中点M，连接AM，BM， 则AM⊥CD，BM⊥CD. 由二面角的定义可知∠AMB为二面角A－CD－B的平面角． 设点H是△BCD的中心，连接AH， 则AH⊥平面BCD，且点H在线段BM上． 在Rt△AMH中，AM＝×2＝，HM＝×2×＝， 则cos∠AMB＝＝＝， 即所求二面角的平面角的余弦值为. 反思感悟　求二面角的平面角的大小的步骤 跟踪训练1　如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的平面角的大小． 解　∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC. ∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上， ∴AC⊥BC. 又∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， ∴BC⊥平面PAC. 又PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC. 又∵BC是二面角P－BC－A的棱， ∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角． 由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形， ∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的平面角的大小是45°. 二、平面与平面垂直的定义 问题3　教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？这些二面角的大小是多少？ 提示　可以构成3个二面角，分别是两相邻墙面构成的二面角，一个墙面与地面构成的二面角，另一个墙面与地面构成的二面角．它们构成的二面角是直二面角，即二面角的大小为90°. 知识梳理 面面垂直的定义 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．若平面α，β互相垂直，则记作α⊥β. (2)画法：在画两个垂直的平面时，通常把表示直立平面的平行四边形的竖边画成与表示水平平面的平行四边形的横边垂直． 例2　过点S引三条线段SA，SB，SC，其中∠BSC＝90°，∠ASC＝∠BSA＝60°，且SA＝SB＝SC＝a. 求证：平面ABC⊥平面BSC. 证明　如图，取BC的中点D，连接SD，AD， 由于∠ASC＝∠BSA＝60°，且SA＝SB＝SC＝a， 所以△SAC，△SAB为正三角形， 即有AB＝AC＝a，又∠BSC＝90°，则BC＝a， 所以△ABC与△SBC均为等腰直角三角形， 所以AD⊥BC，SD⊥BC， 所以∠ADS为二面角S－BC－A的平面角． 又SD＝AD＝BC＝a，而SA＝a， 所以△SAD为直角三角形，∠ADS为直角， 所以平面ABC⊥平面BSC. 反思感悟　利用定义法证明两个平面垂直的方法 (1)找出两相交平面所成的二面角的平面角． (2)证明这个平面角是直角． (3)根据定义，这两个相交平面互相垂直． 跟踪训练2　如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC. 证明：平面AEC⊥平面AFC. 证明　如图，连接BD，交AC于点G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设BG＝1. 由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝. 由BE⊥平面ABCD，AB＝BC， 可知AE＝EC. 又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC. 同理可得FG⊥AC， 所以∠EGF为二面角E－AC－F的平面角， 在Rt△EBG中，可得BE＝＝， 故DF＝. 在Rt△FDG中，可得FG＝＝. 在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，可得EF＝＝. 所以EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG. 即二面角E－AC－F的平面角为90°， 所以平面AEC⊥平面AFC. 三、两个平面垂直的判定定理 知识梳理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. 符号语言 若a⊂α，a⊥β，则α⊥β. 图形语言 例3　在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求证：平面ACD′⊥平面BDD′B′. 证明　如图所示， ∵ABCD－A′B′C′D′是正方体， ∴BB′⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴BB′⊥AC， 又AC⊥BD，BD∩BB′＝B， BD，BB′⊂平面BDD′B′， ∴AC⊥平面BDD′B′， ∵AC⊂平面ACD′， ∴平面ACD′⊥平面BDD′B′. 反思感悟　利用面面垂直的判定定理证明平面与平面垂直的方法：要证面面垂直，只需证线面垂直．即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤： 跟踪训练3　如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．求证：平面ABM⊥平面A1B1M. 证明　由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1，又BM⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM. 又CC1＝2，M为CC1的中点， 所以C1M＝CM＝1. 在Rt△B1C1M中，B1M＝＝， 同理BM＝＝， 又B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，即BM⊥B1M. 又A1B1∩B1M＝B1，A1B1，B1M⊂平面A1B1M， 所以BM⊥平面A1B1M， 因为BM⊂平面ABM， 所以平面ABM⊥平面A1B1M. 1．知识清单： (1)二面角的定义、表示． (2)平面与平面垂直的定义． (3)平面与平面垂直的判定． 2．方法归纳：转化法． 3．常见误区：对二面角的概念不清导致二面角认知错误． 1．已知l⊥α，则过l与α垂直的平面(　　) A．有1个 B．有2个 C．有无数个 D．不存在 答案　C 解析　由两个平面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个． 2．已知直线a，b与平面α，β，γ，下面能使α⊥β成立的条件是(　　) A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b⊂β C．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β 答案　D 解析　由a∥α知，α内必有直线l与a平行，又因为a⊥β，所以l⊥β，所以α⊥β. 3．在四面体A－BCD中，AD⊥BC，BD⊥AD，则必有(　　) A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABD⊥平面ABC C．平面BCD⊥平面ADC D．平面ABC⊥平面BCD 答案　C 解析　∵AD⊥BC，BD⊥AD，BD∩BC＝B，且BD，BC⊂平面BCD，∴AD⊥平面BCD. 又AD⊂平面ADC，∴平面BCD⊥平面ADC. 4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BC－A1的平面角等于________． 答案　45° 解析　根据正方体中的线面位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根据二面角的平面角的定义可知，∠ABA1即为二面角A－BC－A1的平面角．又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1＝45°. 1．直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是(　　) A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．以上均有可能 答案　C 解析　由面面垂直的判定定理，得α与β垂直． 2．若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是(　　) A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不确定 答案　C 解析　若方向相同则相等，若方向相反则互补． 3．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是(　　) A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，m⊂β，n⊂β C．m∥n，n⊥β，m⊂α D．m∥n，m⊥α，n⊥β 答案　C 解析　∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m⊂α，由面面垂直的判定定理，得α⊥β. 4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的平面角的正切值等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，则A1O⊥BD，AO⊥BD，故∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角， 设A1A＝a，则AO＝a， 所以tan∠A1OA＝＝＝. 5．(多选)下列命题中，正确的为(　　) A．两个相交平面组成的图形叫作二面角 B．异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补 C．二面角的平面角是从棱上一点出发分别在两个面内作射线所成的角的最小角 D．二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置无关 答案　BD 解析　二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，故A错误；a，b分别垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故B正确；C中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故C错误；由定义知D正确． 6.如图所示，在三棱锥V-ABC中，∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°，下列结论不正确的是(　　) A．平面VAC⊥平面ABC B．平面VAB⊥平面ABC C．平面VAC⊥平面VBC D．平面VAB⊥平面VBC 答案　C 解析　由题设VA⊥AB，VA⊥AC， 且AB∩AC＝A， ∴VA⊥平面ABC， 又VA⊂平面VAB，VA⊂平面VAC. ∴平面VAC⊥平面ABC，平面VAB⊥平面ABC，则A，B正确； 又易知VA⊥BC，BC⊥AB，且VA∩AB＝A， ∴BC⊥平面VAB，又BC⊂平面VBC，从而平面VAB⊥平面VBC，故D正确，故选C. 7．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，有下列四个命题： ①BC∥平面PDF； ②平面PDF⊥平面ABC； ③DF⊥平面PAE； ④平面PAE⊥平面ABC. 其中正确命题的序号是________． 答案　①③④ 解析　因为D，F分别是AB，AC的中点， 所以DF∥BC， 又DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF， 所以BC∥平面PDF，故①正确； 因为E是BC的中点，所以BC⊥AE，BC⊥PE. 因为AE∩PE＝E，AE，PE⊂平面PAE，所以BC⊥平面PAE. 因为BC⊂平面ABC，所以平面PAE⊥平面ABC，故④正确； 因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，故③正确； 只有②不正确．故正确的命题为①③④. 8．已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则二面角D－BC－A的大小为________． 答案　90° 解析　如图， 由题意知AB＝AC＝BD＝CD＝， BC＝AD＝2. 取BC的中点E， 连接DE，AE， 则AE⊥BC，DE⊥BC， 所以∠DEA为所求二面角D－BC－A的平面角． 易得AE＝DE＝， 又AD＝2，所以DE2＋AE2＝AD2，则∠DEA＝90°，即所求二面角的大小为90°. 9．如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD. 证明：平面ACD⊥平面ABC. 证明　由题设可得 △ABD≌△CBD. 从而AD＝CD，又△ACD为直角三角形， 所以∠ADC＝90°， 取AC的中点O，连接DO，BO， 则DO⊥AC，DO＝AO， 又由于△ABC是正三角形，故BO⊥AC， 所以∠DOB为二面角D－AC－B的平面角． 在Rt△AOB中，BO2＋OA2＝AB2， 又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°，所以平面ACD⊥平面ABC. 10.已知四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB. (1)求二面角A－PD－C的平面角的大小； (2)求二面角B－PA－D的平面角的大小； (3)求二面角B－PA－C的平面角的大小； (4)求二面角B－PC－D的平面角的大小． 解　(1)∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD， ∴PA⊥CD，又四边形ABCD为正方形， ∴CD⊥AD. 又PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD， ∴CD⊥平面PAD，又CD⊂平面PCD， ∴平面PAD⊥平面PCD. ∴二面角A－PD－C的平面角为90°. (2)∵PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD. ∴AB⊥PA，AD⊥PA. ∴∠BAD为二面角B－PA－D的平面角． 又由题意知∠BAD＝90°， ∴二面角B－PA－D的平面角为90°. (3)∵PA⊥平面ABCD，AB，AC⊂平面ABCD. ∴AB⊥PA，AC⊥PA. ∴∠BAC为二面角B－PA－C的平面角． 又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°， 即二面角B－PA－C的平面角为45°. (4)作BE⊥PC于E，连接DE，BD，且BD与AC交于点O，连接EO， 如图． 由题意知△PBC≌△PDC， 则∠BPE＝∠DPE， 从而△PBE≌△PDE. ∴∠DEP＝∠BEP＝90°， 且BE＝DE. ∴∠BED为二面角B－PC－D的平面角． ∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD， ∴PA⊥BC. 又AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， ∴BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB， ∴BC⊥PB. 设AB＝a，则BE＝＝a，BD＝a. ∴sin∠BEO＝＝，∵∠BED∈(0，π)， ∴∠BEO＝60°， ∴∠BED＝120°， ∴二面角B－PC－D的平面角为120°. 11．把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则△ABC是(　　) A．正三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 答案　A 解析　设正方形边长为1，AC与BD相交于点O，则折成直二面角后，AB＝BC＝1，AC＝＝＝1，则△ABC是正三角形． 12.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图)，则图中互相垂直的平面有(　　) A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 答案　C 解析　因为DA⊥AB，DA⊥PA，AB∩PA＝A， 且AB，PA⊂平面PAB，所以DA⊥平面PAB， 因为AD∥BC，所以BC⊥平面PAB， 由题易知AB⊥平面PAD，且AB∥DC， 所以DC⊥平面PAD， 所以平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5对． 13．(多选)如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，点A到达A′的位置，此时A′C＝，构成三棱锥A′－BCD，则(　　) A．平面A′BD⊥平面BDC B．平面A′BD⊥平面A′BC C．平面A′DC⊥平面BDC D．平面A′DC⊥平面A′BC 答案　AD 解析　在三棱锥A′－BDC中，A′D＝A′B＝1，故BD＝，DC＝， 又A′C＝，故A′C2＝A′D2＋DC2，则CD⊥A′D， 又CD⊥BD，A′D∩BD＝D，所以CD⊥平面A′BD，故平面A′BD⊥平面BDC.又CD⊥平面A′BD，所以CD⊥A′B.又A′B⊥A′D，A′D∩CD＝D，所以A′B⊥平面A′DC，故平面A′DC⊥平面A′BC. 14．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断： ①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α. 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________． 答案　①③④⇒② 解析　m⊥n，将m和n平移到一起，则确定一平面，∵n⊥β，m⊥α， ∴该平面与平面α和平面β的交线也互相垂直， 从而平面α和平面β的二面角的平面角为90°， ∴α⊥β. 故答案为①③④⇒②. 15．如图，二面角α－l－β的大小是30°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为60°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________． 答案　 解析　如图，作AO⊥β于点O，AC⊥l于点C，连接OB，OC，则OC⊥l，∠ACO为二面角α－l－β的平面角，∠ABC为AB与l所成的角． 设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ. 由题图得sin θ＝＝·＝sin 60°×sin 30°＝. 16．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，侧面△PAD为等边三角形． (1)求证：AD⊥PB； (2)若E为BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论． (1)证明　设G为AD的中点，连接PG，BG，如图． 因为△PAD为等边三角形， 所以PG⊥AD. 在菱形ABCD中，∠DAB＝60°， G为AD的中点，所以BG⊥AD. 又因为BG∩PG＝G，BG，PG⊂平面PGB， 所以AD⊥平面PGB. 因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB. (2)解　当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD. 证明如下： 如图，设F为PC的中点，连接DF，EF，DE，则在△PBC中，EF∥PB， 因为PB⊂平面PBG，EF⊄平面PBG， 所以EF∥平面PGB， 在菱形ABCD中，GB∥DE， 因为GB⊂平面PGB，DE⊄平面PGB， 所以DE∥平面PGB， 而EF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E， 所以平面DEF∥平面PGB. 由(1)得AD⊥平面PGB， 而AD⊂平面ABCD， 所以平面PGB⊥平面ABCD. 所以平面DEF⊥平面ABCD. 学科网（北京）股份有限公司 $$