3.2.2 复数的乘法与乘方、复数的除法 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

第2课时　复数的乘法与乘方、复数的除法 [学习目标]　1.掌握复数代数形式的乘法、乘方和除法运算.2.能灵活运用复数乘法的交换律、结合律和分配律解题． 导语 我们知道，两个一次式相乘，有(ax＋b)(cx＋d)＝acx2＋(bc＋ad)x＋bd，复数的加减法也可以看作多项式相加减，那么复数的乘除法又该如何定义呢？ 一、复数的乘法与乘方 问题1　类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？ 提示　复数的乘法法则如下： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 问题2　类比实数的运算律，你认为复数的乘法满足哪些运算律？请证明你的猜想． 提示　猜想： 对于任意z1，z2，z3∈C，有 (1)交换律：z1z2＝z2z1； (2)结合律：(z1z2)z3＝z1(z2z3)； (3)分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3. 证明： 设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i. (1)∵z1z2＝(a1＋b1i)(a2＋b2i) ＝(a1a2－b1b2)＋(b1a2＋a1b2)i， z2z1＝(a2＋b2i)(a1＋b1i) ＝(a2a1－b2b1)＋(b2a1＋a2b1)i， 且a1a2－b1b2＝a2a1－b2b1， b1a2＋a1b2＝b2a1＋a2b1， ∴z1z2＝z2z1. (2)(3)证略． 知识梳理 (1)复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i. (2)复数乘法的运算律 对任何复数z1，z2，z3，有 交换律 z1·z2＝z2·z1 结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 (3)复数的乘方运算 对任何复数z，z1，z2及正整数m，n，有zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1·z2)n＝z·z，规定i0＝1.特别地，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1，其中n∈Z. 注意点： (1)两个复数的积仍然是一个确定的复数． (2)在复数中，完全平方公式、平方差公式仍然适用． 例1　计算下列各题： (1)(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i； (3)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)． 解　(1)(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2＝1－i2＋4＋4i＋i2＝5＋4i. (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i ＝53＋21i＋2i＝53＋23i. (3)原式＝2(4－i)(3－i)＋(7－i)(4－3i) ＝2(12－3i－4i＋i2)＋(28－4i－21i＋3i2) ＝(24＋2i2＋28＋3i2)＋(－14i－4i－21i) ＝47－39i. 反思感悟　(1)两个复数代数形式的乘法运算的一般步骤 ①首先按多项式的乘法展开； ②再将i2换成－1； ③然后再进行复数的加、减运算． (2)常用公式 ①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)； ②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)； ③(1±i)2＝±2i. 跟踪训练1　(1)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)等于(　　) A．2i－13 B．13＋2i C．13－2i D．－13－2i 答案　D 解析　(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i. (2)计算：1＋i＋i2＋i3＋…＋i2 024. 解　∵i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝(i2)2＝1，i5＝i4·i＝i， ∴i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1且i＋i2＋i3＋i4＝0， ∴1＋i＋i2＋i3＋…＋i2 024＝1＋(i＋i2＋i3＋i4)×506＝1. 二、复数的除法 问题3　类比实数的除法是乘法的逆运算，你认为该如何定义复数的除法运算？ 提示　复数除法的法则： (a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)． 求解过程： (1)设复数a＋bi(a，b∈R)除以c＋di(c，d∈R)，其商为x＋yi(x，y∈R)，即(a＋bi)÷(c＋di)＝x＋yi. ∵(x＋yi)(c＋di)＝(cx－dy)＋(dx＋cy)i， ∴(cx－dy)＋(dx＋cy)i＝a＋bi. 由复数相等，可知 解这个方程组，得 于是有(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i. 求解过程中一般采用下面的方法： (2)利用(c＋di)(c－di)＝c2＋d2. 将的分母实数化得， 原式＝＝ ＝ ＝ ＝＋i. ∴(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i. 知识梳理 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数， 则＝＝＋i. 注意点： (1)复数除法实质上就是分母实数化的过程． (2)复数的除法法则形式复杂，难于记忆，所以有关复数的除法运算，只要记住对分母进行“实数化”，然后结果再写成复数的代数形式a＋bi(a，b∈R)即可． 例2　(1)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为(　　) A．3＋5i B．3－5i C．－3＋5i D．－3－5i 答案　A 解析　∵z(2－i)＝11＋7i， ∴z＝＝＝＝3＋5i. (2)计算：①8；②. 解　①∵＝＝＝i， ∴8＝i8＝1. ②＝＝＝ ＝－＋i. 反思感悟　(1)在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式． (2)复数的除法的实质是分母实数化．若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi，即分子、分母同乘分母的共轭复数． 跟踪训练2　计算：＋2 024＋. 解　原式＝＋1 012＋0＝＋(－i)1 012＝1＋i. 三、在复数范围内解方程 例3　在复数范围内解方程x2＋6x＋10＝0. 解　方法一　因为x2＋6x＋10＝x2＋6x＋9＋1＝(x＋3)2＋1＝0， 所以(x＋3)2＝－1， 又因为i2＝－1，所以(x＋3)2＝i2， 所以x＋3＝±i，即x＝－3±i. 方法二　因为Δ＝62－4×10＝－4<0， 所以方程的根为x＝＝－3±i. 反思感悟　在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法 (1)求根公式法 ①当Δ≥0时，x＝； ②当Δ<0时，x＝(此时，两根互为共轭复数)． (2)利用复数相等的定义求解 设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此根代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解． 跟踪训练3　已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c为实数)的一个根． (1)求b，c的值； (2)试判断1－i是不是方程的根． 解　(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根， 且b，c为实数， ∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0， 即b＋c＋(b＋2)i＝0， ∴解得 (2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0， 把1－i代入方程得左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边， 即方程成立． ∴1－i是方程的根． 1．知识清单： (1)复数的乘法与乘方． (2)复数的除法运算． (3)在复数范围内解方程． 2．方法归纳：分母实数化、配方法、求根公式法． 3．常见误区：分母实数化时忽视i2＝－1造成运算错误． 1．(1＋i)(2＋i)等于(　　) A．1－i B．1＋3i C．3＋i D．3＋3i 答案　B 解析　(1＋i)(2＋i)＝2＋3i＋i2＝1＋3i. 2．已知i是虚数单位，则等于(　　) A．1－2i B．2－i C．2＋i D．1＋2i 答案　D 解析　＝＝＝1＋2i. 3．方程x2＋3＝0在复数范围内的解为x＝______. 答案　±i 解析　由题意知x2＝－3，因为(±i)2＝3i2＝3×(－1)＝－3，所以解得x＝±i. 4．计算：16＋(1＋2i)2＝________. 答案　－2＋4i 解析　原式＝8＋(－3＋4i) ＝8－3＋4i＝(－i)8－3＋4i＝－2＋4i. 1．设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于(　　) A．－i B．i C．－1 D．1 答案　A 解析　z＝＝－i. 2．已知i为虚数单位，＋＋＋等于(　　) A．0 B．2i C．－2i D．4i 答案　A 解析　＝－i，＝i，＝－i，＝i，∴＋＋＋＝0. 3．如果复数(m2＋i)(1＋mi)是实数，则实数m等于(　　) A．1 B．－1 C. D．－ 答案　B 解析　∵(m2＋i)(1＋mi)＝(m2－m)＋(m3＋1)i是实数，m∈R， ∴由a＋bi(a，b∈R)是实数的充要条件是b＝0， 得m3＋1＝0，即m＝－1. 4．复数等于(　　) A．－1 B．1 C．－i D．i 答案　A 解析　＝＝－1. 5．(多选)下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　) A．i3(1＋i)2 B．i2(1－i)2 C. D.2 答案　BC 解析　计算得A，D为实数，B，C为纯虚数． 6．(1＋i)20－(1－i)20的值是(　　) A．－1 024 B．1 024 C．0 D．512 答案　C 解析　(1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0. 7．若复数z＝＋i(i为虚数单位)的实部与虚部互为相反数，则实数a＝________. 答案　－ 解析　z＝＋i＝＋i＝＋i. 由题意，知＋＝0，解得a＝－. 8．已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋3m－i＝0有实根，则实数m＝________. 答案　 解析　设实根为x0，则x＋(1－2i)x0＋3m－i＝0， 即(x＋x0＋3m)－(2x0＋1)i＝0， 所以解得 9．计算： (1)； (2)； (3)6＋. 解　(1)＝＝－1－3i. (2)＝ ＝＝＝＋i. (3)6＋＝6＋ ＝i6＋i＝－1＋i. 10．已知复数z＝. (1)求复数z； (2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值． 解　(1)z＝＝＝＝1＋i. (2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i， 得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i， 整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i， 所以解得 11．若复数的实部与虚部分别为a，b，则点A(b，a)必在下列哪个函数的图象上(　　) A．y＝2x B．y＝ C．y＝|x| D．y＝－2x2－1 答案　D 解析　因为＝＝－＋i， 所以a＝－，b＝，所以A， 把点A的坐标分别代入选项，只有D选项满足． 12．若复数z＝为纯虚数(a∈R，i为虚数单位)，则复数z＋1＋i的虚部为(　　) A．2i B．2 C．3i D．3 答案　B 解析　∵z＝＝＝＋i是纯虚数， ∴＝0且≠0，∴a＝1. ∴z＝i，∴z＋1＋i＝1＋2i，其虚部为2. 13．(多选)若复数z＝，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是(　　) A．z的虚部为－i B．z2为纯虚数 C．z的实部为1 D．z＋i是实数 答案　BCD 解析　因为z＝＝1－i，所以z的实部是1，虚部是－1，故A错误，C正确；又z2＝(1－i)2＝－2i，故B正确；又z＋i＝1，故D正确． 14．若x2＋x＋1－i＝0，则x＝________. 答案　i或－1－i 解析　x＝＝ ＝＝. ∴x＝i或x＝－1－i. 15．(多选)对于任意两复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，下列命题是真命题的是(　　) A．若z1满足∈R，则z1∈R B．若复数z1满足z∈R，则z1∈R C．若复数z1，z2满足z1·z2∈R，则z1＝c－di D．若复数z1∈R，则(a－bi)∈R 答案　AD 解析　A中，＝＝∈R，∴b＝0，∴z1＝a∈R，故A为真命题； B中，若复数z1＝i，则z＝－1∈R，但z1∉R，故B为假命题； C中，若z1＝i，z2＝2i，则z1·z2∈R，但z1≠－2i，故C为假命题； D中，若复数z1＝a＋bi∈R，则b＝0，∴a－bi＝a∈R，故D为真命题． 16．现有以下三个式子：①，②，③(i为虚数单位)，某同学在解题时发现以上三个式子化简后是相等的． (1)从三个式子中选择一个化简； (2)根据三个式子的结构特征及(1)中的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论． 解　(1)①＝＝＝i， ②＝ ＝＝i， ③＝＝＝i. (2)根据三个式子的结构特征及(1)中的计算结果，可以得到＝i(a，b∈R，且a，b不同时为零)． 下面进行证明： ＝＝ ＝＝i. 学科网（北京）股份有限公司 $$