2.1.3 两角和与差的正切公式 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

2.1.3　两角和与差的正切公式 [学习目标]　1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明． 导语 同学们，上节课我们实现了两角和与差的正弦、余弦的展开与合并，今天我们将继续“变脸”，共同探究两角和与差的正切是否也能实现“变脸”． 一、两角和与差的正切公式 问题1　请同学们写出两角和与差的余弦公式、正弦公式． 提示　cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β， cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. 问题2　同角三角函数中的商数关系是什么？ 提示　＝tan α. 问题3　你能用两角和与差的正弦、余弦公式来表示两角和与差的正切公式吗？ 提示　tan(α＋β)＝ ＝＝ ＝. 用－β来代替tan(α＋β)中的β即可得到tan(α－β)． 知识梳理 名称 公式 简记符号 条件 两角和的正切公式 tan(α＋β) ＝ T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 两角差的正切公式 tan(α－β)＝ T(α－β) α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z) 注意点： 公式的结构特征及符号特征 (1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和； (2) 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”． 例1　(1)tan 255°等于(　　) A．－2－ B．－2＋ C．2－ D．2＋ 答案　D 解析　原式＝tan(180°＋75°)＝tan 75° ＝tan(45°＋30°)＝ ＝＝2＋. (2)化简等于(　　) A. B. C．3 D．1 答案　B 解析　原式＝＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝. 反思感悟　利用公式T(α±β)化简求值的两点说明 (1)分析式子结构，正确选用公式形式： T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换． (2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用： 当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan ”“＝tan ”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值． 跟踪训练1　化简求值： (1)； (2)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°. 解　(1)原式＝tan(74°＋76°)＝tan 150°＝－. (2)∵tan 60°＝＝， ∴tan 23°＋tan 37°＝－tan 23°tan 37°， ∴tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝. 二、给值求值(角) 问题4　根据两角和与差的正切公式的特点以及上述练习，你能写出几种公式的变形形式吗？ 提示　T(α＋β)的变形： tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)； tan αtan β＝1－. T(α－β)的变形： tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)； tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)； tan αtan β＝－1. 例2　已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　) A．－ B. C. D．－ 答案　A 解析　因为sin α＝，α∈， 所以cos α＝－，即tan α＝－. 因为tan(π－β)＝－tan β＝，故tan β＝－. 所以tan(α－β)＝ ＝＝－. 延伸探究　若本例条件不变，求tan(α＋β)的值． 解　因为α∈，sin α＝，所以cos α＝－， tan α＝－，又tan β＝－tan(π－β)＝－， 所以tan(α＋β)＝ ＝＝－2. 反思感悟　(1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解． (2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小． 跟踪训练2　如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴非负半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.求： (1)tan(α＋β)的值； (2)α＋2β的大小． 解　(1)由条件得cos α＝，cos β＝. ∵α，β为锐角，∴sin α＝＝， sin β＝＝. 因此tan α＝＝7， tan β＝＝. ∴tan(α＋β)＝ ＝＝－3. (2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝ ＝＝， ∴tan(α＋2β)＝ ＝＝－1. ∵α，β为锐角， ∴0<α＋2β<，∴α＋2β＝. 三、两角和与差的正切公式的综合应用 例3　设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的根，则tan(α＋β)的值为(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 答案　A 解析　由题意知tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2， 所以tan(α＋β)＝＝＝－3. 反思感悟　当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan α·tan β”的形式时，要把它们看成两个整体，这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似，在应用时要注意隐含的条件，能缩小角的范围． 跟踪训练3　(多选)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式中正确的是(　　) A．A＋B＝2C B．tan(A＋B)＝－ C．tan A＝tan B D．cos B＝sin A 答案　CD 解析　∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴2(A＋B)＝C， ∴tan(A＋B)＝，∴选项A，B错误； ∵tan A＋tan B＝(1－tan A·tan B)＝， ∴tan A·tan B＝，① 又tan A＋tan B＝，② ∴联立①②解得tan A＝tan B＝， ∴cos B＝sin A，故选项C，D正确． 1．知识清单： (1)两角和与差的正切公式的推导． (2)公式的正用、逆用、变形用． 2．方法归纳：转化法． 3．常见误区：公式中加减符号易记错． 1．已知tan α＝－，则tan等于(　　) A．－ B．－7 C. D．7 答案　D 解析　tan＝＝＝7. 2．已知tan α＝2，tan β＝3，则tan(α＋β)等于(　　) A．1 B．5 C．－1 D．－5 答案　C 解析　tan(α＋β)＝＝＝－1. 3．已知α，β都是锐角，tan α＝，tan β＝，则α＋β的值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　tan(α＋β)＝＝＝1，由α，β都是锐角可知α＋β＝. 4．计算：＝________. 答案　1 解析　原式＝＝tan 45°＝1. 1．与相等的是(　　) A．tan 66° B．tan 24° C．tan 42° D．tan 21° 答案　B 解析　原式＝＝tan(45°－21°) ＝tan 24°. 2．已知α∈，sin α＝－，则tan等于(　　) A．－7 B．－ C. D．7 答案　B 解析　∵α∈，sin α＝－， ∴cos α＝，∴tan α＝－. ∴tan＝＝＝－. 3．若α＋β＝，则(1－tan α)(1－tan β)等于(　　) A. B．2 C．1＋ D．不确定 答案　B 解析　∵α＋β＝， ∴tan(α＋β)＝＝－1， ∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1， ∴(1－tan α)(1－tan β) ＝1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β ＝1－(tan αtan β－1)＋tan αtan β＝2. 4．若tan 28°tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°等于(　　) A.m B.(1－m) C.(m－1) D.(m＋1) 答案　B 解析　∵28°＋32°＝60°， ∴tan 60°＝tan(28°＋32°)＝＝， ∴tan 28°＋tan 32°＝(1－m)． 5．已知sin α＝，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为sin α＝，且α为锐角， 所以cos α＝，tan α＝， 所以tan(α＋β)＝＝＝－1. 又α＋β∈，故α＋β＝. 6．(多选)已知cos α＝－，则tan等于(　　) A．－ B．－7 C. D．7 答案　CD 解析　因为cos α＝－， 所以sin α＝±＝±， 所以tan α＝±. 当tan α＝时，tan＝＝； 当tan α＝－时，tan＝＝7. 7．已知2tan θ－tan＝7，则tan θ＝________. 答案　2 解析　∵2tan θ－tan＝7， ∴2tan θ－＝7， 即2tan θ－2tan2θ－tan θ－1＝7－7tan θ， 即2tan2θ－8tan θ＋8＝0， 即2(tan θ－2)2＝0，解得tan θ＝2. 8．已知0＜α＜，sin α＝，tan(α－β)＝－，则tan β＝________，＝________. 答案　3　 解析　因为0＜α＜，sin α＝， 所以cos α＝＝＝， 所以tan α＝＝，又因为tan(α－β)＝－， 所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝ ＝＝＝3， 所以＝＝＝＝. 9．已知α，β满足α＋β＝，求(1＋tan α)(1＋tan β)的值． 解　因为α＋β＝， 所以tan(α＋β)＝tan ＝1， 又tan(α＋β)＝＝1， 得tan α＋tan β＝1－tan αtan β， 所以(1＋tan α)(1＋tan β) ＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2. 10．已知tan＝2，tan β＝. (1)求tan α的值； (2)求的值． 解　(1)∵tan＝2， ∴＝2， ∴＝2，解得tan α＝. (2)∵tan α＝，tan β＝， ∴原式＝ ＝＝ ＝tan(β－α)＝ ＝＝. 11．已知α，β均为锐角，且tan β＝，则tan(α＋β)等于(　　) A. B. C．1 D. 答案　C 解析　因为tan β＝＝＝tan， 又α，β均为锐角，所以－<－α<，0<β<，可得β＝－α， 即α＋β＝，所以tan(α＋β)＝tan ＝1. 12．若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　tan β＝tan[(α＋β)－α] ＝＝＝. 13．角A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是(　　) A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 答案　A 解析　由题意得tan A＋tan B＝， tan Atan B＝， ∴tan(A＋B)＝＝， ∴tan C＝－tan(A＋B)＝－， ∴C为钝角，即△ABC为钝角三角形． 14．已知α，β，γ都是锐角，且tan α＝，tan β＝，tan γ＝，则α＋β＋γ＝________. 答案　 解析　∵tan(α＋β)＝ ＝＝， tan(α＋β＋γ)＝ ＝＝1， ∵α，β，γ∈，∴α＋β∈(0，π)， 又tan(α＋β)＝>0，∴α＋β∈， ∴α＋β＋γ∈(0，π)， ∴α＋β＋γ＝. 15．已知sin＝，cos＝－，且α－和－β分别为第二、三象限角，则tan 的值是________． 答案　－ 解析　因为sin＝，且α－为第二象限角， 所以cos＝－＝－. 又cos＝－，且－β为第三象限角， 所以sin＝－＝－. 所以tan＝－，tan＝， 所以tan＝tan ＝＝＝－. 16．已知tan(α－β)＝，tan β＝－，α，β∈(0，π)，求2α－β的值． 解　∵tan β＝－，tan(α－β)＝， ∴tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝ ＝＝， tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α] ＝＝＝1. ∵α，β∈(0，π)，tan α＝>0，tan β＝－<0， ∴α∈，β∈，∴α－β∈(－π，0)． 又∵tan(α－β)＝>0， ∴α－β∈， ∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)． 又∵tan(2α－β)＝1，∴2α－β＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$