1.5.2 数量积的坐标表示及其计算 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

1.5.2　数量积的坐标表示及其计算 [学习目标]　1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.2.能运用数量积的坐标表示计算两个向量的夹角和模，会利用数量积的坐标运算判断向量垂直． 导语 同学们，前面我们学习了平面向量数量积及其性质，我们也学会了用“坐标语言”去描述向量的加法、减法、数乘运算，那么，我们能否用坐标去表示两向量的数量积呢？ 一、数量积的坐标运算 问题　设e1，e2是相互垂直的单位向量，组成平面的一组基，你能计算出e1·e2，e1·e1，e2·e2的值吗？若设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能给出a·b的值吗？ 提示　e1·e2＝0，e1·e1＝1，e2·e2＝1. ∵a＝x1e1＋y1e2，b＝x2e1＋y2e2， ∴a·b＝(x1e1＋y1e2)·(x2e1＋y2e2) ＝x1x2e＋x1y2e1·e2＋x2y1e2·e1＋y1y2e. 又∵e＝1，e＝1，e1·e2＝e2·e1＝0， ∴a·b＝x1x2＋y1y2. 知识梳理 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a·b＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2.这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和． 例1　(1)若向量m＝(2，－1)，n＝(3,2)，则(2m＋3n)·(m－n)等于(　　) A．－25 B．25 C．－19 D．19 答案　A 解析　因为向量m＝(2，－1)，n＝(3,2)， 所以2m＋3n＝(4，－2)＋(9,6)＝(13,4)， m－n＝(－1，－3)， 所以(2m＋3n)·(m－n)＝(13,4)·(－1，－3)＝13×(－1)＋4×(－3)＝－25. (2)已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b等于(　　) A. B. C. D．(1,0) 答案　B 解析　设b＝(x，y)，其中y≠0， 由题意得解得 即b＝. 反思感悟　平面向量数量积的运算方法 (1)定义法：当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ(θ为非零向量a，b的夹角)． (2)坐标法：当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (3)基向量法：选择合适的基，转化为用基向量表示去解决问题． 跟踪训练1　已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2，则·＝________. 答案　 解析　建立平面直角坐标系如图所示， 则A(0,2)，E(2,1)，D(2,2)，B(0,0)，C(2,0)， 因为＝2，所以F. 所以＝(2,1)，＝－(2,0)＝， 所以·＝(2,1)· ＝2×＋1×2＝. 二、向量的长度(模)的计算 知识梳理 1．若a＝(x，y)，则|a|＝＝. 2．如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝. 例2　已知向量a＝(2,4)，b＝(1，n)，若a∥b，则|3a－nb|等于(　　) A．4 B．12 C．8 D. 答案　A 解析　因为向量a＝(2,4)，b＝(1，n)，且a∥b， 所以2n＝1×4，解得n＝2， 所以3a－nb＝3(2,4)－2(1,2)＝(4,8)， 所以|3a－nb|＝＝4. 反思感悟　求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方． (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．对于形如|ma＋nb|，可先求出向量ma＋nb的坐标，再利用上述公式求解． 跟踪训练2　已知向量a＝(2，m)，b＝(3,6)，若|3a＋b|＝|3a－b|，则实数m的值为(　　) A．1 B．－1 C．4 D．－4 答案　B 解析　已知向量a＝(2，m)，b＝(3,6)， 则3a＋b＝(9,3m＋6)，3a－b＝(3,3m－6)， 由|3a＋b|＝|3a－b|可得＝，解得m＝－1. 三、向量的夹角及垂直问题 知识梳理 设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． (1)cos〈a，b〉＝＝. (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 注意点： (1)两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆． (2)两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角，两向量夹角的余弦值小于0的夹角不一定是钝角． 例3　(1)已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)． ①求a与b夹角的余弦值； ②若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值． 解　①因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2， |a|＝＝5，|b|＝＝，设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝＝＝. ②因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)， 且(a－λb)⊥(2a＋b)， 所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，解得λ＝. (2)已知向量a＝(－2,1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为钝角，则实数k的取值范围是__________________________________． 答案　∪ 解析　当a与b共线时，－2k－1＝0，k＝－，此时a与b反向，夹角为180°，要使a与b的夹角为钝角， 则有a·b<0，且a与b不反向，即k≠－. 由a·b＝－2＋k<0得k<2， 所以实数k的取值范围是∪. 反思感悟　解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ. (2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 跟踪训练3　(1)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为，则实数m等于(　　) A．2 B. C．0 D．－ 答案　B 解析　因为a＝(1，)，b＝(3，m)．所以|a|＝2，|b|＝，a·b＝3＋m， 又a，b的夹角为，所以＝cos ，即＝，所以＋m＝， 解得m＝. (2)若平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，且a⊥b，则|a－b|＝________. 答案　10或2 解析　∵a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)， 且a⊥b，∴a·b＝0， ∴1×(2x＋3)－x2＝0，即(x＋1)(x－3)＝0， 解得x＝－1或x＝3， 当x＝－1时，a＝(1，－1)，b＝(1,1)， 则a－b＝(1－1，－1－1)＝(0，－2)， |a－b|＝＝＝2； 当x＝3时，a＝(1,3)，b＝(9，－3)， 则a－b＝(1－9,3＋3)＝(－8,6)， |a－b|＝＝＝10， 综上可知，|a－b|＝10或2. 1．知识清单： (1)平面向量数量积的坐标表示． (2)a＝(x，y)，则|a|＝＝. (3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0(a，b为非零向量)． (4)cos θ＝＝(θ为非零向量a，b的夹角)． 2．方法归纳：化归与转化． 3．常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错． 1．若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于(　　) A．3 B．－3 C. D．－ 答案　A 解析　a·b＝－x＋6＝3，故x＝3. 2．已知a＝(－5,5)，b＝(0，－3)，则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　∵|a|＝5，|b|＝3，a·b＝－15， ∴cos〈a，b〉＝＝＝－ . 又∵a与b的夹角范围为[0，π]， ∴a与b的夹角为. 3．若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝3，则b等于(　　) A．(－3,6) B．(3，－6) C．(6，－3) D．(－6,3) 答案　A 解析　由题意，设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ<0)， 则|b|＝＝|λ|＝3， 又λ<0，∴λ＝－3， 故b＝(－3,6)． 4．若向量a＝(－1，k)，b＝(3,1)，且a＋b与a垂直，则实数k的值为________． 答案　1或－2 解析　因为向量a＝(－1，k)，b＝(3,1)， 则a＋b＝(2，k＋1)． 因为a＋b与a垂直， 所以(a＋b)·a＝－1×2＋k(k＋1)＝0， 解得k＝1或k＝－2. 所以，实数k的值为1或－2. 1．(多选)设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则(　　) A．|a|＝|b| B．a与b的夹角是 C．(a－b)⊥b D．与b同向的单位向量是 答案　BC 解析　因为a＝(2,0)，b＝(1,1)，所以|a|＝2，|b|＝，故A错误； 因为cos〈a，b〉＝＝＝，〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角是，故B正确； 因为(a－b)·b＝(1，－1)·(1,1)＝1－1＝0，所以(a－b)⊥b，故C正确； 与b同向的单位向量是，故D错误． 2．已知平面向量a＝(2，m)，b＝(1，－)，且|2a－b|＝|2a＋b|，则|a＋b|等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　因为平面向量a＝(2，m)，b＝(1，－)， 且|2a－b|＝|2a＋b|， 所以|2a－b|2＝|2a＋b|2， 可得a·b＝0，即2－m＝0， 解得m＝. 所以a＋b＝(3,0)， 所以|a＋b|＝＝3. 3．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于(　　) A. B．2 C．4 D．12 答案　B 解析　∵a＝(2,0)，|b|＝1， ∴|a|＝2，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2×1×cos 60°＝1. ∴|a＋2b|＝＝2. 4．设点A(4,2)，B(a,8)，C(2，a)，O为坐标原点，若四边形OABC是平行四边形，则向量与的夹角为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵四边形OABC是平行四边形， ∴＝，即(4－0,2－0)＝(a－2,8－a)， ∴a＝6，∴＝(4,2)，＝(2,6)， 设向量与的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝， 又θ∈(0，π)，∴与的夹角为. 5．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)， 对于(c＋a)∥b，有－3(1＋m)＝2(2＋n)．① 又c⊥(a＋b)，a＋b＝(3，－1)， ∴3m－n＝0.② 联立①②，解得m＝－，n＝－. 故c＝. 6．已知向量a，b，c，其中a＋b＝0，且a＋c＝b，a－c＝(3，－3)，则a·b等于(　　) A．－ B. C．－2 D．2 答案　C 解析　设a＝(x，y)，由a＋b＝0，得b＝(－x，－y)． 因为a＋c＝b，则c＝(－2x，－2y)，a－c＝(3x,3y)＝(3，－3)，故x＝1，y＝－1.故a·b＝1×(－1)＋(－1)×1＝－2. 7．已知向量a＝(1,2)，|b|＝2，a∥b，且a与b方向相同，那么b＝________，|a－b|＝________. 答案　(2,4)　 解析　因为向量a＝(1,2)，且a与b方向相同， 所以可设b＝(a,2a)(a>0)． 又|b|＝2， 所以＝2，解得a＝2(负值舍去)， 所以b＝(2,4)． 因为a－b＝(－1，－2)， 所以|a－b|＝. 8．设向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________. 答案　±3 解析　因为(a＋λb)⊥(a－λb)， 所以(a＋λb)·(a－λb)＝0， 因为a＝(3,3)，b＝(1，－1)， 所以a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)， 所以9－λ2＋9－λ2＝0，解得λ＝±3. 9．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)． (1)若(a＋2b)⊥(2a－b)时，求x的值； (2)若向量a与向量b的夹角为锐角，求x的取值范围． 解　(1)因为向量a＝(1,2)，b＝(x,1)， 所以a＋2b＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，2a－b＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)， 因为(a＋2b)⊥(2a－b)， 所以(a＋2b)·(2a－b)＝0， 所以(2x＋1)(2－x)＋4×3＝0， 即2x2－3x－14＝0， 解得x＝－2或x＝. (2)因为向量a与向量b的夹角为锐角， 所以a·b>0，且向量a与向量b不共线， 所以 解得x>－2且x≠， 所以x的取值范围为∪. 10．已知向量a＝(1，)，b＝(－2,0)． (1)求a－b的坐标以及a－b与a之间的夹角； (2)当t∈[－1,1]时，求|a－tb|的取值范围． 解　(1)因为向量a＝(1，)，b＝(－2,0)， 所以a－b＝(1，)－(－2,0)＝(3，)， 设a－b与a之间的夹角为θ， 所以cos θ＝ ＝＝＝. 因为θ∈[0，π]，所以向量a－b与a的夹角为. (2)因为|a|＝2，|b|＝2，a·b＝－2， 所以|a－tb|2＝a2－2ta·b＋t2b2＝4t2＋4t＋4＝42＋3.易知当t∈[－1,1]时，|a－tb|2∈[3,12]，所以|a－tb|的取值范围是[，2]． 11．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点M(，－1)和点N(0,1)．若点P在∠MON的角平分线上，且||＝4，则·等于(　　) A．－2 B．－6 C．2 D．6 答案　A 解析　如图所示．因为tan∠xOM＝，所以∠xOM＝30°，cos∠NOM＝＝－，则∠NOM＝120°， 则∠NOP＝60°，∠xOP＝30°， 所以点P的坐标为(2，2)， 即＝(2，2)，又＝(－，2)， 因此·＝2×(－)＋2×2＝－2. 12．(多选)已知点A(1,2)，B(5,2)，C(k,4)，若△ABC为直角三角形，则k的可能取值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．5 答案　ACD 解析　由题意，＝(4,0)，＝(k－5,2)，＝(k－1,2)．若B为直角，则·＝(4,0)·(k－5,2)＝4(k－5)＝0，解得k＝5；若A为直角，则·＝(4,0)·(k－1,2)＝4(k－1)＝0，解得k＝1；若C为直角，则·＝(k－5,2)·(k－1,2)＝(k－1)(k－5)＋4＝k2－6k＋9＝0，解得k＝3. 13．(多选)八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA＝1，则下列结论中正确的是(　　) A.∥ B.·＝－ C.＋＝－ D．||＝ 答案　ABC 解析　由图2知，在正八边形ABCDEFGH中，中心角为45°， 故以点O为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 故A(0，－1), B， C(1,0)，D，E(0,1)，F. 对于A，＝，＝， 满足×－×＝－＝0，所以∥，故A正确； 对于B，＝(0，－1)，＝，·＝－，故B正确； 对于C，＝(0，－1)，＝(1,0)，＝，所以＋＝(1，－1) ＝－＝－，故C正确； 对于D，＝，所以||＝，故D错误． 14.如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则·的最小值为________． 答案　 解析　因为＝，且BC＝6， 所以||＝1. 如图，以B为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则A，D，设M(x,0)，N(x＋1,0)， 所以＝，＝，x∈[0,5]， 所以·＝＋2 ＝x2－4x＋＋＝(x－2)2＋， 当且仅当x＝2时，取得最小值， 所以·的最小值为. 15．已知A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角，向量p＝(sin A，1)，q＝(1，－cos B)，则p与q的夹角是(　　) A．锐角 B．钝角 C．直角 D．不确定 答案　A 解析　因为△ABC是锐角三角形，所以A＋B>， 即0<－B<A<， 又因为函数y＝sin x在上单调递增， 所以sin A>sin＝cos B， 所以p·q＝sin A－cos B>0， 设p与q的夹角为θ，所以cos θ＝＞0， 又因为p与q不共线，所以p与q的夹角是锐角． 16．已知向量＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)． (1)若∥，求x与y之间的关系式； (2)在(1)的条件下，若⊥，求x，y的值及四边形ABCD的面积． 解　(1)∵＝＋＋＝(x＋4，y－2)， ∴＝－＝(－x－4,2－y)． 又∥，且＝(x，y)， ∴x(2－y)－y(－x－4)＝0， 即x＋2y＝0. (2)＝＋＝(x＋6，y＋1)， ＝＋＝(x－2，y－3)． ∵⊥，∴·＝0， 即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0. 由(1)知x＋2y＝0，与上式联立，化简得y2－2y－3＝0， 解得y＝3或y＝－1. 当y＝3时，x＝－6，此时＝(0,4)，＝(－8,0)， ∴S四边形ABCD＝||·||＝16； 当y＝－1时，x＝2，此时＝(8,0)，＝(0，－4)； ∴S四边形ABCD＝||·||＝16. 综上，四边形ABCD的面积为16. 学科网（北京）股份有限公司 $$