1.5.1 数量积的定义及计算(2) -【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

1.5.1　数量积的定义及计算(二) [学习目标]　1.理解投影的概念.2.掌握平面向量数量积的运算律及常用公式.3.会利用数量积求向量的模和夹角． 导语 在前面，我们通过类比实数的乘法运算及乘法中的一些运算律，得到了数乘运算的运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？ 一、投影 问题1　如图，一辆小车在拉力F的作用下产生了位移s，由上节知识可知，拉力F所做的功W＝F·s＝|F||s|cos α.|F|cos α对应图中的哪个量？拉力F所做的功还可以如何描述？ 提示　|F|cos α＝|F1|，拉力F所做的功等于拉力F在位移方向上的分量|F1|与|s|的乘积． 知识梳理 1．投影向量，投影长 作向量＝a，＝b，两个向量的夹角为α，过点B作BB1⊥OA于点B1，则＝＋，其中与共线． 我们把称为在方向上的投影向量，投影向量的长度||＝|||cos α|称为投影长． 2.在方向上的投影 ||cos α刻画了投影向量的大小和方向，称为在方向上的投影． 3．数量积的几何意义 一般地，a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos α的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cos α的乘积． 注意点： (1)明确投影向量、投影及投影长三个概念的区别； (2)a在b上的投影与b在a上的投影是不同的．求a在b方向上的投影|a|cos θ的公式为|a|cos θ＝. (3)求a在b方向上的投影向量时，首先根据题意确定向量a的模，与b同向的单位向量e，及两向量a与b的夹角θ，然后依据公式|a|cos θe计算． 例1　已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°. (1)求a·b； (2)求a在b上的投影． 解　(1)a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos 120°＝－10. (2)a在b上的投影为|a|cos θ＝＝＝－. 延伸探究　在本例条件不变的情况下，求b在a上的投影． 解　b在a上的投影为|b|cos θ＝＝＝－2. 反思感悟　任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影等于|a|cos θ(θ为向量a，b的夹角)，即该投影与b的模无关． 跟踪训练1　在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，D为BC的中点． (1)求在方向上的投影； (2)求在方向上的投影． 解　如图，连接AD. 因为△ABC为等腰三角形，且D为BC的中点，所以AD⊥BC. 又AB＝2，∠ABC＝30°， 所以CD＝BD＝AB·cos 30°＝. 由图可知与的夹角为∠ABC的补角， 所以与的夹角为150°， (1)在方向上的投影为||cos 150° ＝2×cos 150°＝－. (2)在方向上的投影为||cos 150° ＝×cos 150°＝－. 二、数量积的运算律 问题2　对于实数a，b，c满足如下运算律： (1)ab＝ba；(2)a(b＋c)＝ab＋ac；(3)若ab＝ac，则b＝c其中a≠0. 向量a，b，c是否具有以上运算律？ 提示　a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立；若a·b＝a·c未必有b＝c. 知识梳理 1．数量积的运算律 设a，b，c是任意向量，λ是任意实数，则有 交换律 a·b＝b·a 与数乘的结合律 a·(λb)＝λ(a·b) 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 2.平面向量数量积的运算性质 (1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； (2)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2； (3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (4)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a. 注意点：一般地，对于非零向量a，b，c. (1)a·b＝b·c推不出a＝c. (2)向量的数量积不满足结合律，即(a·b)c≠a(b·c)． 例2　(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是(　　) A. a·c－b·c＝(a－b)·c B．(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直 C．|a|－|b|<|a－b| D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 答案　ACD 解析　根据数量积的分配律知A正确； ∵[(b·c)·a－(c·a)·b]·c ＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0， ∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误； ∵a，b不共线，∴|a|，|b|，|a－b|组成三角形， ∴|a|－|b|<|a－b|成立，C正确；显然D正确． 反思感悟　进行数量积运算时，能灵活运用以下几个关系： (1)|a|2＝a·a. (2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2. (3)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2. 跟踪训练2　给出下列结论： ①若a·b＝a·c，则b＝c； ②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2； ③(a＋b)2＝|a|2＋2|a||b|＋|b|2. 其中正确的是________．(填序号) 答案　② 解析　由向量数量积的性质和运算律知，①③错误，②正确． 三、向量的模 例3　已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角θ为.求|a＋b|，|a－b|. 解　a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×＝. |a＋b|＝＝ ＝＝5. |a－b|＝＝ ＝＝5. 反思感悟　求向量的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量的数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝，此性质可以实现实数运算与向量运算的相互转化． (2)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等． 跟踪训练3　已知|a|＝1，|b|＝3，且|a－b|＝2，求|a＋b|. 解　方法一　∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1＋9－2a·b＝4， ∴a·b＝3. ∴|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋9＋2×3＝16，∴|a＋b|＝4. 方法二　∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2， ∴|a－b|2＋|a＋b|2＝2a2＋2b2＝2×1＋2×9＝20. 又|a－b|＝2，∴|a＋b|2＝16，∴|a＋b|＝4. 四、向量的夹角 例4　设m和n是两个单位向量，其夹角是，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角． 解　∵|n|＝|m|＝1且m与n的夹角是， ∴m·n＝|m||n|cos ＝1×1×＝. |a|＝|2m＋n|＝＝ ＝＝， |b|＝|2n－3m|＝ ＝＝＝， a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2 ＝－6×1＋2×1＝－. 设a与b的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝－. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝，故a与b的夹角为. 反思感悟　(1)求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解． (2)求向量的夹角，还可结合向量线性运算、模的几何意义，利用数形结合的方法求解． (3)求向量的夹角时，注意向量夹角的范围是[0，π]． 跟踪训练4　若非零向量a，b满足2|a|＝|b|，且(3a＋b)⊥(a－2b)，则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设a与b的夹角为θ， 因为非零向量a，b满足2|a|＝|b|， 且(3a＋b)⊥(a－2b)， 所以(3a＋b)·(a－2b)＝0， 即3a2－5a·b－2b2＝0， 所以3|a|2－5|a|·(2|a|)cos θ－2×4|a|2＝0， 解得cos θ＝－， 又0≤θ≤π，所以θ＝. 1．知识清单： (1)投影的概念及运用． (2)数量积的运算律． (3)利用数量积求向量的模和夹角． 2．方法归纳：类比法． 3．常见误区：向量夹角；向量共起点；a·b>0⇏两向量夹角为锐角；a·b<0⇏两向量夹角为钝角． 1．对于任意向量a，b，c，下列说法中正确的是(　　) A．|a·b|＝|a||b| B．|a＋b|＝|a|＋|b| C．(a·b)c＝a(b·c) D．|a|＝ 答案　D 解析　因为a·b＝|a||b|cos θ， 所以|a·b|≤|a||b|，所以A错误； 根据向量加法的平行四边形法则，|a＋b|≤|a|＋|b|，只有当a，b同向时取“＝”，所以B错误； 由向量数量积的性质知C错误； 因为a·a＝|a||a|cos 0＝|a|2， 所以|a|＝，所以D正确． 2．已知|a|＝6，|b|＝8，a与b的夹角为60°，则向量b在a方向上的投影为(　　) A．4 B．－4 C．2 D．－2 答案　A 解析　向量b在a方向上的投影为 |b|cos θ＝8×cos 60°＝4. 3．已知非零向量a，b的夹角为45°，且|a|＝2，|a－b|＝2，则|b|＝________. 答案　2 解析　因为|a－b|＝ ＝ ＝＝2， 又|a|＝2， 所以＝2. 由题意知|b|≠0， 所以|b|＝2. 4．已知|a|＝3，|b|＝2，⊥，则a与b的夹角的余弦值为________． 答案　 解析　由⊥， 得·＝0， 可得2a2－5a·b－3b2＝0， 代入|a|＝3，|b|＝2， 可得a·b＝， 所以a与b的夹角的余弦值为＝＝. 1．已知|b|＝3，a在b方向上的投影为，则a·b的值为(　　) A．3 B. C．2 D. 答案　B 解析　设a与b的夹角为θ，∵|a|cos θ＝， ∴a·b＝|a||b|cos θ＝3×＝. 2．若a·c＝b·c(c≠0)，则(　　) A．a＝b B．a≠b C．|a|＝|b| D．a在c方向上的投影与b在c方向上的投影必相等 答案　D 解析　由向量数量积的几何意义可知选D. 3．已知非零向量a，b满足(a＋b)⊥(a－b)，则(　　) A．a＝b B．|a|＝|b| C．a⊥b D．a∥b 答案　B 解析　∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0， ∴|a|2－|b|2＝0，∴|a|＝|b|. 4．设a，e均为单位向量，当a，e的夹角为时，a在e方向上的投影向量为(　　) A．－e B．－e C.e D.e 答案　B 解析　由题意，a在e方向上的投影向量为|a|·cos〈a，e〉e＝1×e＝－e. 5．已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设向量a与b的夹角为θ. 因为a·(a＋b)＝a2＋a·b＝4＋2cos θ＝3， 所以cos θ＝－， 又因为θ∈[0，π]， 所以θ＝. 6．若平面向量a，b，c两两夹角相等，且|a|＝|b|＝2，|c|＝5，则|a＋b＋c|等于(　　) A. B．9 C．3或9 D．3或 答案　C 解析　∵平面上三个向量a，b，c两两夹角相等，|a|＝|b|＝2，|c|＝5， 当两两夹角为120°时， |a＋b＋c|2＝4＋4＋25＋2×2×2×cos 120°＋2×2×5×cos 120°＋2×2×5×cos 120°＝9， 所以|a＋b＋c|＝3； 当两两夹角为0°时，|a＋b＋c|＝2＋2＋5＝9. 7．已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝2，则a·(a－4b)＝________. 答案　5 解析　因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1×2×＝－1， 所以a·(a－4b)＝|a|2－4a·b＝1＋4＝5. 8．已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若e1＋e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________． 答案　－ 解析　因为|e1＋e2|＝＝2，|e1＋λe2|＝，且·＝＋λ， 所以cos 60°＝＝， 解得λ＝－. 9．已知两个平面向量a与b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝2，记m＝3a－b，n＝ta＋2b. (1)若m⊥n，求实数t的值； (2)若t＝2，m与n的夹角为θ，求cos θ. 解　(1)由m⊥n得m·n＝0， 即m·n＝(3a－b)·(ta＋2b)＝3ta2＋(6－t)a·b－2b2＝3t|a|2＋(6－t)|a||b|cos －2|b|2＝3t＋(6－t)×1×2×－2×22＝0，解得t＝1. 所以当m⊥n时，t＝1. (2)当t＝2时，m＝3a－b，n＝2a＋2b， 所以m·n＝(3a－b)·(2a＋2b)＝6a2＋4a·b－2b2＝6|a|2＋4|a||b|cos －2|b|2 ＝6＋4×1×2×－2×22＝2， |m|＝＝＝， |n|＝＝＝2， 所以cos θ＝cos〈m，n〉＝＝＝. 10．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°. (1)求(2a－b)·(a＋3b)与|a＋b|的值； (2)x为何值时，xa－b与a＋3b的夹角为钝角？ 解　(1)因为|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°， 所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2×3×cos 120°＝－3. (2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2×4－15－3×9＝－34. |a＋b|＝＝ ＝＝. (2)因为xa－b与a＋3b的夹角为钝角， 所以(xa－b)·(a＋3b)＝xa2＋(3x－1)a·b－3b2＝4x－9x＋3－27<0， 即x>－. 又当xa－b与a＋3b的夹角为180°时，x＝－， 所以当x>－且x≠－时，xa－b与a＋3b的夹角为钝角． 11．(多选)已知正三角形ABC的边长为2，设＝2a，＝b，则下列结论正确的是(　　) A．|a＋b|＝1 B．a⊥b C．(4a＋b)⊥b D．a·b＝－1 答案　CD 解析　分析知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角是120°，故B结论错误； ∵(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3， ∴|a＋b|＝，故A结论错误； ∵(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝4×1×2×cos 120°＋4＝0，∴(4a＋b)⊥b，故C结论正确； a·b＝1×2×cos 120°＝－1，故D结论正确． 12．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 答案　A 解析　因为(－)·(＋－2)＝0， 即·(＋)＝0， 又因为－＝， 所以(－)·(＋)＝0， 即||＝||， 所以△ABC是等腰三角形． 13.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M是BC的中点，若＝a，＝b且||＝2，AD＝1，∠DAB＝，则||等于(　　) A. B. C. D．2 答案　B 解析　如图，连接AC，因为点M是BC的中点， 所以＝ ＝＝ ＝＋， 所以||2＝2＝×2＋×2×1×＋×12＝， 所以||＝. 14．已知向量a，b满足|a|＝2|b|，a·b＝－1，则|a＋b|的最小值为________． 答案　 解析　设向量a，b的夹角为θ，θ∈，则a·b＝|a||b|cos θ＝2|b|2cos θ＝－1，所以|b|2＝≥，所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5|b|2－2≥，即|a＋b|的最小值为. 15.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边BC，CD的中点，AE与BF交于点G，且＝λ，则λ＝________；若AB＝10，AD＝5，·＝2，则·＝________. 答案　　96 解析　设＝a，＝b，因为E，F分别是边BC，CD的中点，所以＝＋＝2＋，则＝2λ＋，因为A，G，E三点共线，所以2λ＋＝1，解得λ＝，所以＝＝(－)＝b－a，·＝b2－a·b＝10－a·b＝2，所以a·b＝40.又＝＋＝＋＝a＋b，所以·＝a2＋a·b＝96. 16．已知圆O的一条弦AB的长是定值a，则·是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由． 解　·是定值，理由如下： 如图，过O作OC⊥AB于C，则cos〈，〉＝，·＝||||cos〈，〉＝|||·|＝||||＝||2＝a2.故·为定值a2. 学科网（北京）股份有限公司 $$