1.5.1 数量积的定义及计算(1) -【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

1.5.1　数量积的定义及计算(一) [学习目标]　1.理解向量数量积的含义及其物理意义.2.能正确熟练地应用数量积的定义进行运算． 导语 前面我们学习了向量的线性运算，类比数的运算，向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？让我们带着这些问题共同开启今天的探索之旅吧！ 一、数量积的定义 问题　如图所示，一物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝|F||s|cos α. (1)这个公式有什么特点？请完成下列填空： ①W(功)是______量；②F(力)是______量；③s(位移)是______量；④α是______量． (2)你能用文字语言表述功的计算公式吗？ 提示　(1)①数；②向；③向；④数． (2)功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积． 知识梳理 1．数量积的定义 设a，b是任意两个向量，〈a，b〉是它们的夹角，则定义a·b＝|a||b|cos〈a，b〉为a与b的数量积． 2．数量积的性质 a·b＝0⇔|a|＝0或|b|＝0或cos α＝0. (1)当a，b均不为0时，a·b＝0⇔cos α＝0⇔α＝⇔a⊥b. (2)当a＝0或b＝0时，由于零向量与任意向量垂直，因而仍有a⊥b. 因此，a·b＝0⇔a⊥b对所有情形均成立． 注意点： (1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”． (2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0. (3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量． 例1　(多选)下列说法中，错误的是(　　) A．a，b共线⇔a·b＝|a||b| B．|a||b|<a·b C．a2＋b2≥2a·b D．非零向量a，b满足a·b>0，则a与b的夹角为锐角． 答案　ABD 解析　a，b共线⇔a·b＝±|a||b|，故A错误；|a||b|≥a·b，故B错误；a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故C正确；当a与b的夹角为0°时，也有a·b>0，故D错误． 反思感悟　对于概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解．特别是易与实数运算相混淆的运算律，当然还有数量积中有关角的概念以及数量积的性质等． 跟踪训练1　(多选)已知a，b，c是三个非零向量，则下列结论中正确的是(　　) A．a·b＝±|a||b|⇔a∥b B．a，b反向⇔a·b＝－|a||b| C．a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b| D．|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c| 答案　ABC 解析　∵a·b＝|a||b|cos θ，∴由a·b＝±|a|·|b|及a，b为非零向量可得cos θ＝±1，∴θ＝0或π.∴a∥b，且以上各步均可逆，故A正确；若a，b反向，则a，b的夹角为π，∴a·b＝|a|·|b|·cos π＝－|a||b|，且以上各步均可逆，故B正确； 当a⊥b时，将向量a，b的起点确定在同一点，以向量a，b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长度相等，即有|a＋b|＝|a－b|.反过来，若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的四边形为矩形，∴a⊥b，故C正确； 当|a|＝|b|，但a与c的夹角和b与c的夹角不相等时，就有|a·c|≠|b·c|，反过来由|a·c|＝|b·c|也推不出|a|＝|b|.故D错误． 二、求向量的数量积 例2　已知等边△ABC的边长为1，求： (1)·；(2)·；(3)·. 解　(1)∵与的夹角为60°， ∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝. (2)∵与的夹角为120°， ∴·＝||||cos 120°＝1×1×＝－. (3)∵与的夹角为60°， ∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝. 反思感悟　求平面向量数量积的步骤 (1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]． (2)分别求|a|和|b|. (3)求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去． 跟踪训练2　(1)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为60°，则a·b＝________. 答案　10 解析　a·b＝|a||b|cos 60°＝5×4×＝10. (2)在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝4，则·＝________，·＝______，·＝________. 答案　0　－16　－16 解析　由题意，得||＝4，||＝4，||＝4， 所以·＝4×4×cos 90°＝0，·＝4×4×cos 135°＝－16，·＝4×4×cos 135°＝－16. 三、数量积的应用 例3　(1)已知|a|＝9，|b|＝6，a·b＝－54，则a与b的夹角θ为(　　) A．45° B．135° C．120° D．150° 答案　B 解析　∵a·b＝|a||b|cos θ＝－54， ∴cos θ＝＝＝－， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°. (2)在△ABC中，＝a，＝b，当a·b≥0时，判断△ABC的形状． 解　因为在△ABC中，＝a，＝b，a·b≥0， 所以|a||b|cos〈a，b〉≥0，即cos〈a，b〉≥0，又〈a，b〉∈(0，π)，所以0＜〈a，b〉≤，即0＜π－∠ABC≤，所以∠ABC＝或＜∠ABC＜π， 所以△ABC是直角三角形或钝角三角形． 延伸探究　若本例中，“a·b＜0”，能否判断△ABC的形状？ 解　由a·b＜0可知·＜0，∴·＞0， ∴||||cos B＞0，又∠B∈(0，π)， ∴∠B是锐角， 又∠B未必是△ABC的最大内角，故无法判断△ABC的形状． 反思感悟　数量积的符号与向量夹角的关系 设a，b的夹角为θ，则 (1)a·b＞0，则θ∈； (2)a·b＜0，则θ∈. 跟踪训练3　已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵Δ＝|a|2－4|a||b|cos θ(θ为向量a与b的夹角)， 若方程有实根，则有Δ≥0， 即|a|2－4|a||b|cos θ≥0， 又|a|＝2|b|，∴4|b|2－8|b|2cos θ≥0， ∴cos θ≤，又0≤θ≤π， ∴≤θ≤π. 1．知识清单： (1)数量积的定义． (2)数量积的性质． (3)数量积的应用． 2．方法归纳：数形结合． 3．常见误区：计算数量积时，常因不清楚两向量的夹角导致计算失误． 1．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角θ为45°，则m·n等于(　　) A．12 B．12 C．－12 D.－12 答案　B 解析　由平面向量数量积的定义可得m·n＝|m|·|n|cos 45°＝4×6×＝12. 2．(多选)对于任意向量a，b，c，下列命题中不正确的是(　　) A．若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0 B．向量a与向量b夹角的范围是[0，π) C．若a⊥b，则a·b＝0 D．|a|＝ 答案　AB 解析　a·b＝0⇒a⊥b或a＝0或b＝0，所以A错误； 向量夹角的范围是[0，π]，所以B错误； 由数量积的性质知，C正确； 因为a·a＝|a||a|cos 0＝|a|2， 所以|a|＝，所以D正确． 3．在△ABC中，AB＝5，BC＝2，∠B＝60°，则·的值为(　　) A．5 B．5 C．－5 D．－5 答案　D 解析　∵AB＝5，BC＝2，∠B＝60°， ∴·＝5×2×cos(180°－60°)＝10×＝－5. 4．已知a，b的夹角为θ，|a|＝2，|b|＝3. (1)若θ＝135°，则a·b＝________； (2)若a∥b，则a·b＝________； (3)若a⊥b，则a·b＝________. 答案　(1)－3　(2)±6　(3)0 1．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，则a·b等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　a·b＝|a||b|cos ＝1×2×＝1. 2．已知向量|a|＝10，|b|＝12，且a·b＝－60，则向量a与b的夹角为(　　) A．60° B．120° C．135° D．150° 答案　B 解析　设a与b的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝－， 又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°. 3．在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝，则·的值等于(　　) A．－2 B．2 C．－2 D．2 答案　B 解析　·＝||||cos ∠ABC＝2××cos 45°＝2. 4.如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60°角．则当小车向前运动10 m时，力F做的功为(　　) A．100 J B．50 J C．50 J D．200 J 答案　B 解析　由题意，根据向量的数量积的定义，可得力F做的功W＝F·s＝10×10×cos 60°＝50(J)． 5．在同一平面内，线段AB为圆C的直径，动点P满足·＞0，则点P与圆C的位置关系是(　　) A．点P在圆C外部 B．点P在圆C上 C．点P在圆C内部 D．不确定 答案　A 解析　在同一平面内，线段AB为圆C的直径，动点P满足·＞0，所以∠APB为锐角，所以点P在圆C外部． 6．已知非零向量a，b满足|b|＝2，且a·b＝|a|，则向量a，b的夹角θ的大小为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为a·b＝|a|，所以|a||b|cos θ＝|a|，所以cos θ＝＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝. 7．在△ABC中，∠ABC＝90°，若BD⊥AC，且BD交AC于点D，||＝，则·＝________. 答案　－3 解析　如图所示， 因为BD⊥AC， 则|BC|cos∠CBD＝|BD|， 则·＝－· ＝－||||cos∠CBD ＝－||2＝－3. 8．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|＝ ________. 答案　8 解析　cos θ＝＝＝－， ∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝. ∴|a×b|＝2×5×＝8. 9.如图，在▱ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°.求： (1)·； (2)·； (3)·. 解　(1)因为∥，且方向相同，所以与的夹角是0°.所以·＝||||cos 0°＝3×3×1＝9. (2)因为∥，且方向相反，所以与的夹角是180°. 所以·＝||||cos 180°＝4×4×(－1)＝－16. (3)因为与的夹角为60°，所以与的夹角为120°. 所以·＝||||cos 120°＝4×3×＝－6. 10.如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且＝x＋y. (1)若＝，求x，y的值； (2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°，求·的值． 解　(1)若＝，则＝＋， 故x＝y＝. (2)因为||＝4，||＝2，∠BOA＝60°， 所以∠OBA＝90°， 所以||＝2. 又因为＝3， 所以||＝. 所以||＝＝， cos∠OPB＝. 所以与的夹角θ的余弦值为－. 所以·＝||||cos θ＝－3. 11．命题p：“向量a与向量b的夹角θ为锐角”是命题q：“a·b＞0”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　A 解析　若向量a与向量b的夹角θ为锐角，则a·b＝|a||b|cos θ＞0，当a·b＞0时，向量a与向量b的夹角θ可能为0°， 所以命题p是命题q的充分而不必要条件． 12．(多选)在Rt△ABC中，BD为斜边AC上的高，下列结论中正确的是(　　) A．||2＝· B．||2＝· C．||2＝· D．||2＝·＝· 答案　AD 解析　对于A，·＝||||cos A＝||2，故A正确；对于B，·＝－||·||·cos C＝－||2，故B错误；对于C，·＝－||||cos ∠ABD＝－||2，故C错误；对于D，·＝||||cos ∠ABD＝||2，·＝||||cos ∠CBD＝||2，故D正确． 13.如图所示为正六边形P1P2P3P4P5P6，则下列向量的数量积中最大的是(　　) A.· B.· C.· D.· 答案　A 解析　由于⊥，故其数量积是0；与P1P6的夹角是，故其数量积小于0；设正六边形的边长是a，则·＝||||cos 30°＝a2，·＝||||cos 60°＝a2.故选A. 14．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是________，·＝________. 答案　等边三角形　－8 解析　·＝||||cos∠BAC， 即8＝4×4×cos∠BAC， 于是cos∠BAC＝， 因为0°<∠BAC<180°， 所以∠BAC＝60°. 又AB＝AC，故△ABC是等边三角形． 此时·＝||||cos 120°＝－8. 15．黄金比又称黄金律，是指事物各部分间有一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1∶0.618，即长段为全段的0.618.0.618被公认为最具有审美意义的比例数字．宽与长的比为≈0.618的矩形叫做黄金矩形，它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，在黄金矩形ABCD中，BC＝－1，AB＞BC，那么·的值为(　　) A.－1 B.＋1 C．4 D．2＋2 答案　C 解析　由黄金矩形的定义，可得AB＝2，BC＝－1，在矩形ABCD中，cos∠CAB＝＝＝，则·＝||||cos∠CAB＝2××＝4. 16.如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°. (1)若点D是线段OB靠近点O的四分之一分点，用，表示向量； (2)求·的取值范围． 解　(1)由已知可得＝， 四边形OAMB是菱形，则＝＋， 所以＝－＝－(＋) ＝－－. (2)易知∠DMC＝60°，且||＝||， 那么只需求MC的最大值与最小值即可． 当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝， 则·＝××cos 60°＝. 当MC与MO或MA重合时，MC最大，此时MC＝1， 则·＝1×1×cos 60°＝. 所以·的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$