4.4.1.2 平面与平面平行的性质 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

第2课时　 平面与平面平行的性质 第4章　4.4.1　平面与平面平行 1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面平行的性质定理，并加以证明. 2.能用平面与平面平行的性质定理解决一些简单的空间线面位置关系问题. 学习目标 导语 上节课我们学习了平面与平面平行的判定定理，可简记为“线线平行，则面面平行”.有同学会类比前面线面平行的性质定理得出面面平行的一些性质，如“面面平行，则线线平行”，这里的线线平行是哪些线？带着这些问题进入今天的课堂吧！ 内容索引 一、平面与平面平行的性质定理 二、与平行平面相关的距离、长度问题 课时对点练 三、平行关系的综合应用 随堂演练 平面与平面平行的性质定理 一 问题　若两平面α与β平行，那么平面α内的直线a与平面β有何位置关系？平面α内的直线a与平面β内的任一直线b有何位置关系？ 提示　直线a与平面β平行.直线a与平面β内的直线b平行或异面. 平面与平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果一个平面与这两个平面相交，那么两条交线______ 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒______ 图形语言   平行 a∥b 知识梳理 7 注意点： (1)性质定理成立的条件：两平面平行，第三个平面与这两个平面都相交. (2)性质定理的实质：面面平行⇒线线平行. (3)面面平行还有如下的性质：两个平面平行，一个平面内的直线平行于另一平面.可作为证明直线与平面平行的依据. 知识梳理 8 例1　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，过点B，E，D1的平面与棱CC1交于点F. (1)求证：四边形BFD1E为平行四边形； 在正方体ABCD－A1B1C1D1中， 平面ABB1A1∥平面DCC1D1， 且平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BE， 平面BFD1E∩平面DCC1D1＝FD1， 由平面与平面平行的性质定理得BE∥FD1， 同理BF∥D1E， ∴四边形BFD1E为平行四边形. 9 (2)试确定点F的位置. 10 取BB1的中点M， 连接MC1，ME，如图， ∵M，E分别为棱BB1，AA1的中点， ∴ME綊A1B1， 又A1B1綊C1D1， ∴ME綊C1D1， ∴四边形D1EMC1为平行四边形， ∴D1E綊MC1， 又D1E綊BF， ∴MC1綊BF， ∴四边形MBFC1为平行四边形， ∴BM綊C1F， ∴F为棱CC1的中点. 应用平面与平面平行的性质定理的基本步骤 反思感悟 13 跟踪训练1　如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM. 因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB. 又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC， 同理DF∥平面ABC， 又DE∩DF＝D，DE，DF⊂平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC. 又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM. 14 与平行平面相关的距离、长度问题 二 1.夹在两个平行平面间的两条平行线段 . 2.如果平面α平行于平面β，则称平面α上 一点到平面β的距离为平面α到平面β的距离. 相等 任意 知识梳理 16 例2　如图，平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝3，BS＝9，CD＝34，求CS的长. 设AB，CD所在平面为γ，因为γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β， 所以AC∥BD， 17 解决与平行平面有关的距离、长度问题时，往往先由两平面平行的性质定理得出线线平行，然后再由平行线截线段成比例定理，列出比例式，进而求解. 反思感悟 18 跟踪训练2　已知平面α∥β∥γ，两条相交直线l，m分别与平面α，β，γ相交于A，B，C与D，E，F，若AB＝6，DE∶DF＝2∶5，则AC＝______. 由面面平行的性质定理知AD∥BE∥CF， 15 19 平行关系的综合应用 三 如图，连接AC，CD1.因为四边形ABCD是正方形，且Q是BD的中点，所以Q是AC的中点，又P是AD1的中点，所以PQ∥CD1. 又PQ⊄平面DCC1D1，CD1⊂平面DCC1D1，所以PQ∥平面DCC1D1. 例3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点.求证： (1)PQ∥平面DCC1D1； (2)EF∥平面BB1D1D. 22 方法一　取B1D1的中点O1，连接FO1，BO1，如图所示， 所以BE∥FO1，BE＝FO1， 所以四边形BEFO1为平行四边形， 所以EF∥BO1. 又EF⊄平面BB1D1D，BO1⊂平面BB1D1D， 所以EF∥平面BB1D1D. 方法二　取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，如图所示， 则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1， 且FE1∩EE1＝E1，B1D1∩BB1＝B1，FE1， EE1⊂平面EE1F，B1D1，BB1⊂平面BB1D1D， 所以平面EE1F∥平面BB1D1D. 又EF⊂平面EE1F， 所以EF∥平面BB1D1D. (1)证明线面平行的两种方法：一是由线线平行推出线面平行；二是由面面平行推出线面平行. (2)线线平行、线面平行、面面平行三者之间可以相互转化，要注意转化思想的灵活运用. 反思感悟 25 跟踪训练3　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1，若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论. 26 当点E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1. 证明如下： 如图所示，取BB1的中点F，连接EF，FD，DE， ∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点， ∴EF∥AB1， ∵AB1⊂平面AB1C1，EF⊄平面AB1C1， ∴EF∥平面AB1C1. 同理可证FD∥平面AB1C1. ∵EF∩FD＝F，EF，FD⊂平面EFD， ∴平面EFD∥平面AB1C1. ∵DE⊂平面EFD， ∴DE∥平面AB1C1. 1.知识清单： (1)平面与平面平行的性质定理. (2)与平行平面相关的距离及长度问题. (3)平行关系的综合应用. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：线线平行、线面平行与面面平行之间的转化错误. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知长方体ABCD－A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩ 平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是 A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定 √ 由面面平行的性质定理易得. 2.(多选)下列说法正确的是 A.一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，必与另外一个平面平行 B.一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行，则 　这两个平面平行 C.平行于同一个平面的两平面平行 D.夹在两个平行平面间的平行线段相等 √ A中，直线还可以在平面内，A错误； B中，一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线，可得两条相交直线与另一个平面平行，即两个平面平行，B正确；C，D显然正确. √ √ 1 2 3 4 1 2 3 4 3.若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β，过点M的所有直线中 A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.有且只有一条与a平行的直线 √ 由于α∥β，a⊂α，M∈β，过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确. 1 2 3 4 4.如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，线段PA，PB，PC分别交α于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝________. ∵平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB， ∴A′B′∥AB，同理B′C′∥BC， 易得△ABC∽△A′B′C′， ∴S△A′B′C′∶S△ABC＝(A′B′∶AB)2＝(PA′∶PA)2＝4∶25. 4∶25 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.(多选)若α∥β，a⊂α，b⊂β，则下列说法中正确的是 A.a∥b B.a与β内无数条直线平行 C.a与β内的任何一条直线都不垂直 D.a∥β √ ∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a∥β，且a与β内无数条直线平行. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.(多选)设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，则下列四个命题中正确的是 A.若α∥β，γ∥β，则α∥γ B.若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β C.若α∥β，l⊂α，则l∥β D.若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，由面面平行的传递性可知A正确； 对于B，若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β或α与β相交，所以B错误； 对于C，若两个平面平行，则其中一个平面内的任一直线都与另一个平面平行，所以C正确； 对于D，因为α∩β＝l，β∩γ＝m，l∥γ，所以l∥m，又γ∩α＝n，则l∥n，由平行线的传递性可得m∥n，所以D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知AB，CD是夹在两个平行平面间的线段，若两线段的长度相等，则直线AB，CD的位置关系是 A.平行 B.相交 C.异面 D.以上均有可能 √ 当A，B，C，D四点共面时，AB与CD平行或相交，当A，B，C，D四点不共面时，AB与CD异面，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则“直线AC∥直线BD”的充要条件是 A.AB∥CD B.AD∥BC C.AB与CD相交 D.A，B，C，D四点共面 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若直线AC∥直线BD，则AB与CD平行或相交，AD与BC平行或相交，A，B，C选项都不满足要求； 若直线AC∥直线BD，则A，B，C，D四点共面，即“直线AC∥直线BD” ⇒“A，B，C，D四点共面”； 若A，B，C，D四点共面，设这四点确定的平面为γ， 因为平面α∥平面β，平面α∩平面γ＝AC，平面β∩平面γ＝BD， 由面面平行的性质可得AC∥BD， 即“直线AC∥直线BD”⇐“A，B，C，D四点共面”. 因此，“直线AC∥直线BD”的充要条件是“A，B，C，D四点共面”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，每个平面内以交点为顶点的两个三角形是 A.相似但不全等的三角形 B.全等三角形 C.面积相等的不全等三角形 D.以上结论都不对 √ 由面面平行的性质定理得AC∥A′C′， 则四边形ACC′A′为平行四边形，∴AC＝A′C′. 同理BC＝B′C′，AB＝A′B′，∴△ABC≌△A′B′C′. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面ABB1A1＝A1F，则AF的长为 A.1 B.1.5 C.2 D.3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵平面α∥平面BC1E，平面α∩平面ABB1A1＝A1F，平面BC1E∩平面ABB1A1＝BE， ∴A1F∥BE，又A1E∥FB， ∴四边形A1FBE为平行四边形， ∴FB＝A1E＝3－1＝2， ∴AF＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是____________. 由夹在两平行平面间的平行线段相等可得. 平行四边形 ∵平面MNE∥平面ACB1， 由面面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A， 又∵E为BB1的中点， ∴M，N分别为BA，BC的中点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为BE∥AA1， AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D， 所以BE∥平面AA1D. 因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D， BC⊄平面AA1D，所以BC∥平面AA1D. 又BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE， 所以平面BCE∥平面AA1D. 又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D， 所以EC∥A1D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在平面α和平面β之间，若AB＝2，AC＝2，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，求△A′B′C′的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，则该截面的面积为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意作截面如图所示，易知该截面唯一，且E，F分别为AB，D1C1的中点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 连接B1D1，FG(图略)，∵平面AEF∥平面BD1G，且平面AEF∩平面BB1D1D＝EF，平面BD1G∩平面BB1D1D＝BD1，∴EF∥BD1， ∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1， 又BG⊂平面BCC1B1，∴BG∥平面ADD1A1， 又∵平面AEF∥平面BD1G，BG⊂平面BD1G，∴BG∥平面AEF， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵平面AEF∩平面ADD1A1＝AF， ∴BG∥AF，∴BG，AF可确定平面ABGF， 又知平面ABB1A1∥平面CDD1C1， 平面ABGF∩平面ABB1A1＝AB， 平面ABGF∩平面CDD1C1＝FG， ∴AB∥FG，又AB∥CD，∴CD∥FG. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E，F分别是AB，CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G， 且PG＝λGD，则λ＝_____，ED与AF相交于点H，则GH＝_____. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，且AB＝CD. 又E，F分别是AB，CD的中点，∴AE＝FD. 又∠EAH＝∠DFH，∠AEH＝∠FDH， ∴△AEH≌△FDH，∴EH＝DH. ∵平面AGF∥平面PEC，平面PED∩平面AGF＝GH，平面PED∩平面PEC＝PE， ∴GH∥PE，则G是PD的中点，即PG＝GD， ∴λ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵PA＝AB＝PB＝2， 14.已知直线l与平面α，β，γ分别交于点A，B，C，直线m与平面α，β，γ 分别交于点D，E，F，若α∥β∥γ，AB＝EF＝3，BC＝4，则DE＝_____. 如图，连接CD交平面β于点G，连接EG，BG，AD，CF，设l与CD确定的平面为α1，因为α∩α1＝AD，β∩α1＝BG，且α∥β，所以AD∥BG， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的形状是__________，截面的面积 是____. 等腰梯形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，取AA1的中点N，连接MN，NB，MC1，BC1，AD1， 因为MN∥AD1，AD1∥BC1， 故MN∥BC1， 16.如图所示，在矩形ABCD和矩形ABEF中，AF＝AD，AM＝DN，矩形ABEF可沿AB任意翻折. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求证：当点F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面ADF； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在平面图形中，连接MN，设MN与AB交于点G(图略). ∵四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形且AD＝AF， ∴AD∥BE且AD＝BE， ∴四边形ADBE是平行四边形，∴AE∥DB. 又AM＝DN，∴根据比例关系可得MN∥AD， 由翻折不变性可知，MG∥AF，NG∥AD， 又MG∩NG＝G，AD∩AF＝A， ∴平面ADF∥平面GNM. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又MN⊂平面GNM，∴MN∥平面ADF. ∴当点F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面ADF. (2)不管怎样翻折矩形ABEF，线段MN总和线段FD平行，这个结论正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立，并给出理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 这个结论不正确. 要使上述结论成立，M，N应分别为AE和DB的中点.理由如下： 当点F，A，D共线时，易证得MN∥FD. 当点F，A，D不共线时，如图， 由(1)知平面MNG∥平面FDA，则要使MN∥FD总成立， 根据面面平行的性质定理，只要FD与MN共面即可. 若要使FD与MN共面，连接FM，只要FM与DN相交即可. ∵FM⊂平面ABEF，DN⊂平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD＝AB， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴若FM与DN相交，则交点只能为点B，此时只有M， N分别为AE，DB的中点才满足. 由FM∩DN＝B，可知它们确定一个平面，即F，D， N，M四点共面. ∵平面FDNM∩平面MNG＝MN，平面FDNM∩平面FDA＝FD，平面MNG∥平面FDA，∴MN∥FD. 所以△SAC∽△SBD，所以＝， 即＝，所以CS＝17. 所以＝，所以AC＝·AB＝×6＝15. 则有FO1∥B1C1且FO1＝B1C1. 又BE∥B1C1且BE＝B1C1， ∴MN＝AC，即＝. 8.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于点M，交BC于点N，则＝ ________. 因为AA′，BB′相交于O，所以AA′，BB′确定的平面与平面α，平面β的交线分别为AB，A′B′，且有 AB∥A′B′，＝＝，同理可得＝ ＝，＝＝， 所以△ABC，△A′B′C′的面积之比为9∶4，又△ABC的面积为，所以△A′B′C′的面积为. A.2 B.2 C.2 D.4 又因为正方体的棱长为2，所以A1E＝CE＝CF＝FA1＝，所以四边形A1ECF为菱形. 又因为A1C＝2，EF＝2，故截面面积为2. 12.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且＝，G在CC1上，且平面AEF∥平面BD1G，则等于 A. B. C. D. ∴＝＝， ∴＝. ∴＝＝. ∴PE＝，GH＝PE＝. 所以＝，同理可得，GE∥CF，＝， 所以＝，则DE＝＝＝. 且MN＝BC1＝. 则截面MNBC1为梯形，且为等腰梯形，MC1＝BN＝，可得梯形的高为，所以梯形的面积为×(＋2)×＝. $$