1.6.3 解三角形应用举例 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

1.6.3 解三角形应用举例 第1章　§1.6　解三角形 学习目标 1.能利用余弦定理、正弦定理解决简单的生产、生活中的实际问题. 2.巩固深化余弦定理、正弦定理有关的知识与方法. 在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题，解决这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量.具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案. 导语 内容索引 一、距离问题 二、高度问题 课时对点练 三、角度问题 随堂演练 距离问题 一 例1　如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，求A，B两点的距离. 6 在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°， ∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD， 在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°， ∴∠CAD＝180°－(30°＋105°)＝45°. 在△ACD中，由正弦定理， 7 在△ABC中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠BCA 8 求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是 (1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形. (2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解. 反思感悟 9 跟踪训练1　位于灯塔A处正西方向相距15 n mile的B处有一艘甲船，需要海上加油.位于灯塔A处北偏东45°有一与灯塔A相距5　 n mile的乙船(在C处).求乙船前往支援B处的甲船航行的距离和方向(角度精确到1°). 10 根据题意，画出示意图如图， 由余弦定理得， BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 135° 11 因为0°<∠C<90°，所以∠C≈31°. 方向约为南偏西76°. 12 二 高度问题 例2　如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是 √ 14 在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°， ∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°， 15 测量高度问题的解题策略 (1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题. (2)“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路. 反思感悟 16 跟踪训练2　某学生想要测量宿舍楼的高度MN，为此他进行了如下测量：首先选定观测点A和B，测得A，B两点之间的距离为33米，然后在观测点A处测得仰角∠MAN＝30°，进而测得∠MAB＝105°，∠MBA＝45°.根据此同学测得的数据，该宿舍楼的高度为______米. 17 由题意画出示意图如图所示， 在△ABM中，因为∠MAB＝105°，∠MBA＝45°， 所以∠AMB＝30°，又AB＝33， 18 三 角度问题 20 如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D， 则B，C，D在同一直线上，且AD＝20海里， AC＝20海里. 在△ADC中，因为DC2＝AD2＋AC2， 所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°. 在△ABC中，由余弦定理得 21 所以∠BAC＝30°，又因为B位于A的南偏东60°， 60°＋30°＋90°＝180°，所以点D位于A的正北方向， 又因为∠ADC＝45°， 所以台风移动的方向为北偏西45°. 22 求解实际应用中的角度问题时，一般把求角的问题转化为解三角形的问题，基本方法是 (1)明确各个角的含义. (2)分析题意，分析已知与所求，画出正确的示意图. (3)将图形中的已知量与未知量之间的关系转化为三角形的边与角的关系，运用正、余弦定理求解. 反思感悟 23 跟踪训练3　如图，我舰在岛A南偏西50°，相距12海里的B处，发现敌舰正由岛沿北偏西10°的方向以10海里/时的速度航行，我舰要用2小时在C处追上敌舰，则需要的速度大小为多少海里/时？ 24 依题意知∠BAC＝120°，AB＝12(海里)， AC＝10×2＝20(海里)， 在△ABC中，由余弦定理得 BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos∠BAC ＝202＋122－2×20×12cos ∠BAC＝784， 解得BC＝28(海里)， 25 1.知识清单： (1)不可到达的距离问题. (2)高度问题. (3)角度问题. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：方位角是易错点. 课堂小结 随堂演练 四 1.若点A在点C的北偏东30°方向上，点B在点C的南偏东60°方向上，且AC＝BC，则点A在点B的 A.北偏东15°方向上 B.北偏西15°方向上 C.北偏东10°方向上 D.北偏西10°方向上 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 如图所示，∠ACB＝90°. 又因为AC＝BC，所以∠CBA＝45°. 因为β＝30°，所以α＝90°－45°－30°＝15°. 所以点A在点B的北偏西15°方向上. 2.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，可以计算出A，B两点的距离为 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 ∠ABC＝180°－45°－105°＝30°， 1 2 3 4 3.如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山腰A处测得AC＝60 m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为 √ 1 2 3 4 由题图，可得∠B＝45°，∠BAC＝30°， 故在△ABC中，由正弦定理， 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 由题意，可得∠ABC＝180°－45°＝135°， 在△ABC中，∠ACB＝45°－15°＝30°， 在△ADC中，∠ADC＝θ＋90°， 课时对点练 五 1.如图，在河岸一侧取A，B两点，在河岸另一侧取一点C，若AB＝12 m，借助测角仪测得∠CAB＝45°，∠CBA＝60°， 则河面宽CD为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2.甲骑电动车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由余弦定理，得 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°， 所以∠CAD＝∠CDA＝15°， 从而CD＝CA＝10海里， 在Rt△ABC中，由正弦定理，可得AB＝5海里， 所以这艘船的速度是10海里/时. 5.世界上有很多国家的著名城市都是沿河而建的，某城市在南北流向的河流两岸修建了风光带用于改善城市人居环境.已知小徐步行到岸边A点时，测得河对面的某地标建筑物P在其北偏东60°的方向上，往正北方向步行500 m到达B点后，测得该地标建筑物在其南偏东75°方向上.则此时小徐与该地标建筑物的距离BP等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图， 在△ABP中，∠PAB＝60°，∠ABP＝75°， 所以∠APB＝180°－60°－75°＝45°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝45°－30°＝15°，AB＝60 m， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.为捍卫国家南海主权，我国海军在南海海域进行例行巡逻，某天，一艘巡逻舰从海岛A出发，沿南偏东75°的方向航行到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东45°的方向航行了60　 海里到达海岛C，若巡逻舰从海岛A以北偏东60°的航向出发沿直线到达海岛C，则航行路程AC为________海里. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.如图是改革开放四十周年大型展览的展馆——国家博物馆.现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P离地面的高度OP(点O在柱楼底部).在地面上的A，B两点测得点P的仰角分别为30°，45°，且∠ABO＝60°，AB＝50米，则OP的长为_____米. 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示， 设OP＝x， 在Rt△AOP中， 在△ABO中，由余弦定理，得 OA2＝OB2＋AB2－2OB·AB·cos∠ABO， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 化简得x2＋25x－1 250＝0， 解得x＝25或x＝－50(舍去)，故OP的长为25米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　在△ACD中， ∠ADC＝60°－∠DAC＝60°－30°＝30°， ∠ACD＝180°－60°＝120°， 在△ABC中，∠ACB＝60°，∠ABC＝75°－60°＝15°， 在△ADB中，∠BAD＝180°－75°－30°＝75°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由余弦定理， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　如图，过点D作DH垂直水平线于点H，过点B作BE垂直水平线于点E，记AD与BC的交点为M. 由外角定理，得∠CDA＝60°－∠DAC＝60° －30°＝30°， 所以AC＝DC. 又易知∠MCD＝∠MCA＝60°， 所以△AMC≌△DMC， 所以M为AD的中点，所以BA＝BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站AB，已知基站高AB＝50 m，该同学眼高1.5 m(眼睛到地面的距离)，该同学在初始位置C处(眼睛所在位置)测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为45°， 求出山高BE(结果保留整数). (参考数据：sin 8°≈0.14，sin 37°≈0.6，sin 45° ≈0.7，sin 127°≈0.8，　 ≈1.4) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题知∠ACB＝8°，∠BAC＝45°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以BD≈250×0.6＝150(m)， 所以山高BE＝BD＋DE＝150＋1.5＝151.5≈152(m). 11.(多选)如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，则一定能确定A，B间距离的所有方案为 A.测量∠A，∠B，b 　B.测量a，b，∠C C.测量∠A，∠B，a 　D.测量∠A，∠B，∠C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于B，直接利用余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C即可解出c； 对于D，不知道长度，显然不能求c. 12.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离d1和第二辆车与第三辆车的距离d2之间的关系为 A.d1>d2 B.d1＝d2 C.d1<d2 D.不能确定大小 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，B，C，D分别是第一、二、三辆车所在的位置，由题意可知α＝β. ∵sin α＝sin β，sin∠PCB＝sin∠PCD， 13.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 A.30° B.45° C.60° D.75° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又CD＝50(m)，所以在△ACD中， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又0°<∠CAD<180°， 所以∠CAD＝45°， 所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世.如图，在滕王阁旁地面上共线的三点A，B，C处测得阁顶端点P的仰角分别为30°，60°，45°.且AB＝BC＝75米，则滕王阁高度OP＝________米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为∠PAO＝30°，∠PBO＝60°，∠PCO＝45°， 在△OBC中，OC2＝OB2＋BC2－2OB·BC·cos∠OBC， 即3h2＝h2＋752－2×75hcos∠OBC， ① 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在△OAB中，OA2＝OB2＋AB2－2OB·AB·cos∠OBA， 即9h2＝h2＋752－2×75hcos∠OBA， 　② 因为cos∠OBC＋cos∠OBA＝0， 所以①②两式相加，可得12h2＝2h2＋2×752， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径，即A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝50 m，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则B，D两点的距离为______ m，A，B两点的距离为______ m. 如图，在△BCD中，∠BCD＝∠ACB＋∠DCA＝135°，∠CBD＝180°－15°－135°＝30°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在△ACD中，∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝150°， 则∠CAD＝180°－150°－15°＝15°，所以AD＝CD＝50 m， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设救援船应沿CD方向行驶t小时，才能最快追上(在D点)故障船， 在△ABC中，由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又0°<∠ABC<60°， ∴∠ABC＝45°， ∴B点在C点的正东方向上， ∴∠CBD＝90°＋30°＝120°， 在△BCD中，由正弦定理， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又∵0°<∠BCD<60°，∴∠BCD＝30°， ∴救援船沿北偏东60°的方向行驶. 又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°， ∴救援船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快追上故障船，大约需要15分钟. ∴BD＝CD＝40 (m)，BC＝＝40 (m). 得AC＝＝20(m). 故A，B两点之间的距离为20 m. ＝(20)2＋(40)2－2×20×40cos 60°＝2 400， ∴AB＝20(m)， 由正弦定理得＝， 所以sin C＝. ＝152＋(5)2－2×15×5×＝425， 于是BC＝5(n mile). 故乙船航行的距离为5 n mile， A.10 m B.10 m C.10 m D.10 m 在Rt△ABC中，tan 60°＝， 故AB＝BC×tan 60°＝10(m). 由正弦定理，得＝， 故BC＝＝10(m). 11 在Rt△AMN中，因为∠MAN＝30°，AM＝33， 所以MN＝AM·tan 30°＝11， 即该宿舍楼的高度为11米. 所以由正弦定理＝， 得＝，解得AM＝33. 例3　某海上养殖基地A接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(＋1)小时后开始影响基地持续2小时，求台风移动的方向. 由题意AB＝20(＋1) 海里，DC＝20 海里， BC＝(＋1)×10＝10(＋)(海里). cos∠BAC＝＝. 所以我舰的速度为＝14(海里/时). A.50 m B.50 m C.25 m D. m 所以AB＝100×＝50(m). 在△ABC中，由正弦定理，得＝， A.20 m B.30 m C.20 m D.30 m 得BC＝＝＝30(m). 4.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，sin 15°＝，且山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于 A. B. C.－1 D.－1 ∴AC＝100(m). 由正弦定理，得＝， ∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝＝－1. 由正弦定理，得＝， A.6(3＋) m B.6(3－) m C.6(3＋2) m D.6(3－2) m 由正弦定理，得解得 所以AB＝AD＋BD＝CD＝12， 所以CD＝6(3－) m. A.6 km B.3 km C.3 km D.3 km 由题意知，AB＝24×＝6(km)，∠BAS＝30°，∠ASB＝75°－30°＝45°. 由正弦定理，得BS＝＝＝3(km). 3.(多选)某人向正东方向走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了3 km，结果离出发点恰好 km，则x的值为 A. B.2 C.2 D.3 如图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°， 即()2＝x2＋32－2x×3×cos 30°. ∴x2－3x＋6＝0. 解得x＝2或x＝. A.5 海里/时 B.5海里/时 C.10 海里/时 D.10海里/时 A.250 m B.250 m C.250 m D.250 m 所以由正弦定理可得＝， 解得BP＝250 m. 6.如图所示，为测量一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点测得建筑物顶端的仰角分别为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，sin 15°＝，则该建筑物的高度为 A.(30＋30)m B.(30＋15)m C.(15＋30)m D.(15＋15)m 由正弦定理，得PB＝＝30(＋)m， 所以建筑物的高度为PBsin 45°＝30(＋)×＝(30＋30)m. 60 由题意可得∠BAC＝30°＋15°＝45°，∠ABC＝75°＋45°＝120°，BC＝60(海里)， 在△ABC中，运用正弦定理得＝， ∴AC＝60××＝60(海里). 故航行路程AC为60海里. OA＝＝x， 在Rt△BOP中，OB＝＝x， 即(x)2＝x2＋502－2×x×50×， 9.如图，A，B，C，D都在同一个铅垂面内(与水平面垂直的平面)，B，D为海岛上两座灯塔的塔顶.测量船于A处测得点B和点D的仰角分别为75°，30°，于C处测得点B和点D的仰角均为60°，AC＝1 km，求点B，D间的距离. 由正弦定理，得AD＝＝(km). 由正弦定理，得AB＝＝. 得BD＝ ＝(km). ＝ 即点B，D间的距离为 km. 所以BD＝(km). 又AB＝＝(km)， 所以点B，D间的距离为 km. 所以BC≈＝250(m)， 在△ABC中，由正弦定理得＝， 即＝， 在Rt△BDC中，sin∠BCD＝， 即sin 37°＝， 对于A，利用内角和定理先求出∠C＝π－∠A－∠B，再利用正弦定理＝解出c； 对于C，先利用内角和定理求出∠C＝π－∠A－∠B，再利用正弦定理＝解出c； 在△PBC中，＝， 在△PCD中，＝， ∴＝. ∵PB<PD，∴<1，即d1<d2. 依题意，可得AD＝20(m)，  AC＝30(m)， 由余弦定理，得cos∠CAD＝ ＝＝＝， 15 设OP＝h， 所以OA＝＝＝3h，OB＝＝ ＝h，OC＝＝h. 解得h＝15， 则OP＝h＝15， 故滕王阁高度OP为15米. 50 50 由正弦定理得＝， 所以BD＝＝＝50(m). 在△ABD中，AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝2 500＋5 000－2×50×50×＝12 500，所以AB＝50 m. 16.如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘故障船.在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的救援船奉命以10 海里/时的速度追赶故障船，此时故障船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向航行.问：救援船沿什么方向行驶才能最快追上故障船？并求出所需时间.(参考数据：≈2.45) 则CD＝10t，BD＝10t， ＝(－1)2＋22－2(－1)×2×cos 120°＝6. ∴BC＝. 又∵＝， ∴sin∠ABC＝＝＝， 得＝， ∴sin∠BCD＝＝＝. ∴∠CDB＝30°，∴BD＝BC，即10t＝. ∴t＝(小时)≈15(分钟). $$