1.5.2 数量积的坐标表示及其计算 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

1.5.2 数量积的坐标表示及其计算 第1章　§1.5　向量的数量积 学习目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算. 2.能运用数量积的坐标表示计算两个向量的夹角和模，会利用数量积的坐标运算判断向量 垂直. 同学们，前面我们学习了平面向量数量积及其性质，我们也学会了用“坐标语言”去描述向量的加法、减法、数乘运算，那么，我们能否用坐标去表示两向量的数量积呢？ 导语 内容索引 一、数量积的坐标运算 二、向量的长度(模)的计算 课时对点练 三、向量的夹角及垂直问题 随堂演练 数量积的坐标运算 一 问题　设e1，e2是相互垂直的单位向量，组成平面的一组基，你能计算出e1·e2，e1·e1，e2·e2的值吗？若设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能给出a·b的值吗？ 提示　e1·e2＝0，e1·e1＝1，e2·e2＝1. ∵a＝x1e1＋y1e2，b＝x2e1＋y2e2， ∴a·b＝(x1e1＋y1e2)·(x2e1＋y2e2) ∴a·b＝x1x2＋y1y2. 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a·b＝(x1，y1)·(x2，y2)＝ .这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和. x1x2＋y1y2 知识梳理 7 例1　(1)若向量m＝(2，－1)，n＝(3,2)，则(2m＋3n)·(m－n)等于 A.－25 　　　B.25　　　 C.－19 　　　 D.19 √ 因为向量m＝(2，－1)，n＝(3,2)， 所以2m＋3n＝(4，－2)＋(9,6)＝(13,4)， m－n＝(－1，－3)， 所以(2m＋3n)·(m－n)＝(13,4)·(－1，－3)＝13×(－1)＋4×(－3)＝－25. 8 √ 9 设b＝(x，y)，其中y≠0， 10 平面向量数量积的运算方法 (1)定义法：当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ(θ为非零向量a，b的夹角). (2)坐标法：当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (3)基向量法：选择合适的基，转化为用基向量表示去解决问题. 反思感悟 11 12 建立平面直角坐标系如图所示， 则A(0,2)，E(2,1)，D(2,2)，B(0,0)，C(2,0)， 13 二 向量的长度(模)的计算 知识梳理 15 例2　已知向量a＝(2,4)，b＝(1，n)，若a∥b，则|3a－nb|等于 √ 因为向量a＝(2,4)，b＝(1，n)，且a∥b， 所以2n＝1×4，解得n＝2， 所以3a－nb＝3(2,4)－2(1,2)＝(4,8)， 16 求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方. 反思感悟 17 跟踪训练2　已知向量a＝(2，m)，b＝(3,6)，若|3a＋b|＝|3a－b|，则实数m的值为 A.1 　　　 B.－1 　　　C.4 　　　D.－4 √ 已知向量a＝(2，m)，b＝(3,6)， 则3a＋b＝(9,3m＋6)，3a－b＝(3,3m－6)， 18 三 向量的夹角及垂直问题 设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2). (1)cos〈a，b〉＝ 　　＝ . (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔ . x1x2＋y1y2＝0 知识梳理 20 注意点： (1)两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆. (2)两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角，两向量夹角的余弦值小于0的夹角不一定是钝角. 知识梳理 21 例3　(1)已知a＝(4,3)，b＝(－1,2). ①求a与b夹角的余弦值； 因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2， 设a与b的夹角为θ， 22 ②若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值. 因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)， 且(a－λb)⊥(2a＋b)， 23 (2)已知向量a＝(－2,1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为钝角，则实数k的取 值范围是_______________________. 24 此时a与b反向，夹角为180°，要使a与b的夹角为钝角， 由a·b＝－2＋k<0得k<2， 25 解决向量夹角问题的方法及注意事项 (2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是 0°≤θ≤180°.利用cos θ＝　　判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种 情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 反思感悟 26 √ 27 28 (2)若平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，且a⊥b，则|a－b|＝________. 10或2 29 ∵a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)， 且a⊥b，∴a·b＝0， ∴1×(2x＋3)－x2＝0，即(x＋1)(x－3)＝0， 解得x＝－1或x＝3， 当x＝－1时，a＝(1，－1)，b＝(1,1)， 则a－b＝(1－1，－1－1)＝(0，－2)， 30 当x＝3时，a＝(1,3)，b＝(9，－3)， 则a－b＝(1－9,3＋3)＝(－8,6)， 综上可知，|a－b|＝10或2. 31 1.知识清单： (1)平面向量数量积的坐标表示. (3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0(a，b为非零向量). 2.方法归纳：化归与转化. 3.常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错. 课堂小结 随堂演练 四 1.若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于 A.3 　 B.－3 1 2 3 4 √ a·b＝－x＋6＝3，故x＝3. 2.已知a＝(－5,5)，b＝(0，－3)，则a与b的夹角为 1 2 3 4 √ 又∵a与b的夹角范围为[0，π]， 3.若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝3　 ，则b等于 A.(－3,6) B.(3，－6) C.(6，－3) D.(－6,3) 1 2 3 4 √ 由题意，设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ<0)， 又λ<0，∴λ＝－3， 故b＝(－3,6). 1 2 3 4 4.若向量a＝(－1，k)，b＝(3,1)，且a＋b与a垂直，则实数k的值为_______. 1或－2 因为向量a＝(－1，k)，b＝(3,1)， 则a＋b＝(2，k＋1). 因为a＋b与a垂直， 所以(a＋b)·a＝－1×2＋k(k＋1)＝0， 解得k＝1或k＝－2. 所以，实数k的值为1或－2. 课时对点练 五 1.(多选)设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则 A.|a|＝|b| B.a与b的夹角是 C.(a－b)⊥b D.与b同向的单位向量是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为(a－b)·b＝(1，－1)·(1,1)＝1－1＝0，所以(a－b)⊥b，故C正确； 2.已知平面向量a＝(2，m)，b＝(1，－　 )，且|2a－b|＝|2a＋b|，则|a＋b|等于 A.1 　　　B.2　　　 C.3 　　　　 D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 且|2a－b|＝|2a＋b|， 所以|2a－b|2＝|2a＋b|2， 所以a＋b＝(3,0)， 3.平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∵a＝(2,0)，|b|＝1， ∴|a|＝2，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2×1×cos 60°＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵四边形OABC是平行四边形， 5.已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)， 对于(c＋a)∥b，有－3(1＋m)＝2(2＋n). ① 又c⊥(a＋b)，a＋b＝(3，－1)， ∴3m－n＝0. ② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 6.已知向量a，b，c，其中a＋b＝0，且a＋c＝b，a－c＝(3，－3)，则a·b等于 设a＝(x，y)，由a＋b＝0，得b＝(－x，－y). 因为a＋c＝b，则c＝(－2x，－2y)，a－c＝(3x,3y)＝(3，－3)，故x＝1，y＝－1. 故a·b＝1×(－1)＋(－1)×1＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2,4) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为向量a＝(1,2)，且a与b方向相同， 所以可设b＝(a,2a)(a>0). 所以b＝(2,4). 因为a－b＝(－1，－2)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.设向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝_____. ±3 因为(a＋λb)⊥(a－λb)， 所以(a＋λb)·(a－λb)＝0， 因为a＝(3,3)，b＝(1，－1)， 所以a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)， 所以9－λ2＋9－λ2＝0，解得λ＝±3. 9.已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1). (1)若(a＋2b)⊥(2a－b)时，求x的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为向量a＝(1,2)，b＝(x,1)， 所以a＋2b＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，2a－b＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)， 因为(a＋2b)⊥(2a－b)， 所以(a＋2b)·(2a－b)＝0， 所以(2x＋1)(2－x)＋4×3＝0， 即2x2－3x－14＝0， (2)若向量a与向量b的夹角为锐角，求x的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为向量a与向量b的夹角为锐角， 所以a·b>0，且向量a与向量b不共线， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知向量a＝(1，　 )，b＝(－2,0). (1)求a－b的坐标以及a－b与a之间的夹角； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设a－b与a之间的夹角为θ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当t∈[－1,1]时，求|a－tb|的取值范围. 因为|a|＝2，|b|＝2，a·b＝－2， 易知当t∈[－1,1]时，|a－tb|2∈[3,12]， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则∠NOM＝120°，则∠NOP＝60°，∠xOP＝30°， 12.(多选)已知点A(1,2)，B(5,2)，C(k,4)，若△ABC为直角三角形，则k的可能取值为 A.1 B.2 C.3 D.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 13.(多选)八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA＝1，则下列结论中正确的是 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由图2知，在正八边形ABCDEFGH中，中心角为45°， 故以点O为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，以B为坐标原点，建立平面直角坐标系， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.已知A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角，向量p＝(sin A，1)，q＝(1，－cos B)，则p与q的夹角是 A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以p·q＝sin A－cos B>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又因为p与q不共线，所以p与q的夹角是锐角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴x(2－y)－y(－x－4)＝0， 即x＋2y＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0. 由(1)知x＋2y＝0，与上式联立，化简得y2－2y－3＝0， 解得y＝3或y＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综上，四边形ABCD的面积为16. ＝x1x2e＋x1y2e1·e2＋x2y1e2·e1＋y1y2e. 又∵e＝1，e＝1，e1·e2＝e2·e1＝0， (2)已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b等于 A. B. C. D.(1,0) 由题意得解得 即b＝. 跟踪训练1　已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在  AD上，＝2，则·＝________. 所以·＝(2,1)· ＝2×＋1×2＝. 因为＝2，所以F. 所以＝(2,1)，＝－(2,0)＝， 1.若a＝(x，y)，则|a|＝＝ . 2.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝. A.4 　　B.12 　　 C.8 　　 D. 所以|3a－nb|＝＝4. (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.对于形如|ma＋nb|，可先求出向量ma＋nb的坐标，再利用上述公式求解. 由|3a＋b|＝|3a－b|可得＝，解得m＝－1. |a|＝＝5，|b|＝＝， 所以cos θ＝＝＝. 所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，解得λ＝. ∪ 当a与b共线时，－2k－1＝0，k＝－， 则有a·b<0，且a与b不反向，即k≠－. 所以实数k的取值范围是∪. (1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ. 跟踪训练3　(1)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m).若向量a，b的夹角为，则实数m等于 A.2 B. C.0 D.－ 所以＝cos ，即＝， 所以＋m＝， 解得m＝. 因为a＝(1，)，b＝(3，m). 所以|a|＝2，|b|＝，a·b＝3＋m， 又a，b的夹角为， |a－b|＝＝＝2； |a－b|＝＝＝10， (2)a＝(x，y)，则|a|＝＝. (4)cos θ＝＝(θ为非零向量a，b的夹角). C. D.－ ∴cos〈a，b〉＝＝＝－ . ∴a与b的夹角为. A. 　　　B. 　　　C. 　　　 D. ∵|a|＝5，|b|＝3，a·b＝－15， 则|b|＝＝|λ|＝3， 因为a＝(2,0)，b＝(1,1)，所以|a|＝2，|b|＝，故A错误； 因为cos〈a，b〉＝＝＝，〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角是，故B正确； 与b同向的单位向量是，故D错误. 因为平面向量a＝(2，m)，b＝(1，－)， 可得a·b＝0，即2－m＝0， 解得m＝. 所以|a＋b|＝＝3. A. B.2 C.4 D.12 ∴|a＋2b|＝＝2. 4.设点A(4,2)，B(a,8)，C(2，a)，O为坐标原点，若四边形OABC是平行四边形，则向量与的夹角为 A. 　　　B. 　　　 C.　　　 D. ∴＝，即(4－0,2－0)＝(a－2,8－a)， ∴a＝6，∴＝(4,2)，＝(2,6)， 设向量与的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝， 又θ∈(0，π)，∴与的夹角为. A. B. C. D. 联立①②，解得m＝－，n＝－. 故c＝. A.－ 　　 B. 　　 C.－2 　　 D.2 7.已知向量a＝(1,2)，|b|＝2，a∥b，且a与b方向相同，那么b＝________，|a－b|＝______. 又|b|＝2， 所以＝2，解得a＝2(负值舍去)， 所以|a－b|＝. 解得x＝－2或x＝. 所以 解得x>－2且x≠， 所以x的取值范围为∪. 因为向量a＝(1，)，b＝(－2,0)， 所以a－b＝(1，)－(－2,0)＝(3，)， 所以cos θ＝ ＝＝＝. 因为θ∈[0，π]，所以向量a－b与a的夹角为. 所以|a－tb|2＝a2－2ta·b＋t2b2＝4t2＋4t＋4＝42＋3. 所以|a－tb|的取值范围是[，2]. 11.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点M(，－1)和点N(0,1).若点P在∠MON的角平分线上，且||＝4，则·等于 A.－2 B.－6 C.2 D.6 如图所示.因为tan∠xOM＝， 所以∠xOM＝30°，cos∠NOM＝＝－， 所以点P的坐标为(2，2)， 即＝(2，2)，又＝(－，2)， 因此·＝2×(－)＋2×2＝－2. 由题意，＝(4,0)，＝(k－5,2)，＝(k－1,2). 若B为直角，则·＝(4,0)·(k－5,2)＝4(k－5)＝0，解得k＝5； 若C为直角，则·＝(k－5,2)·(k－1,2)＝(k－1)(k－5)＋4＝k2－6k＋9＝0，解得k＝3. 若A为直角，则·＝(4,0)·(k－1,2)＝4(k－1)＝0，解得k＝1； A.∥ B.·＝－ C.＋＝－ D.||＝ 故A(0，－1), B， C(1,0)，D，E(0,1)，F. 对于A，＝，＝， 满足×－×＝－＝0， 所以∥，故A正确； 对于B，＝(0，－1)，＝，· ＝－，故B正确； 对于C，＝(0，－1)，＝(1,0)，＝，所以＋＝(1，－1) ＝－＝－，故C正确； 对于D，＝， 所以||＝，故D错误. 14.如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝， 若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则·的最小值为________. 因为＝，且BC＝6， 所以||＝1. 则A，D，设M(x,0)，N(x＋1,0)， 所以＝，＝，x∈[0,5]， 所以·＝＋2 ＝x2－4x＋＋＝(x－2)2＋， 当且仅当x＝2时，取得最小值， 所以·的最小值为. 因为△ABC是锐角三角形，所以A＋B>， 即0<－B<A<， 又因为函数y＝sin x在上单调递增， 所以sin A>sin＝cos B， 设p与q的夹角为θ，所以cos θ＝＞0， 16.已知向量＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3). (1)若∥，求x与y之间的关系式； ∵＝＋＋＝(x＋4，y－2)， 又∥，且＝(x，y)， ∴＝－＝(－x－4,2－y). (2)在(1)的条件下，若⊥，求x，y的值及四边形ABCD的面积.  ＝＋＝(x＋6，y＋1)， ＝＋＝(x－2，y－3). ∵⊥，∴·＝0， 当y＝3时，x＝－6，此时＝(0,4)，＝(－8,0)， ∴S四边形ABCD＝||·||＝16； 当y＝－1时，x＝2，此时＝(8,0)，＝(0，－4)； ∴S四边形ABCD＝||·||＝16. $$