9.3.1 平面向量基本定理-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（苏教版2019）

9.3.1　平面向量基本定理 [学习目标]　1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义.2.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题． 导语 音乐是人们在休闲时候的一种选择，不管是通俗的流行歌曲、动感的摇滚音乐，还是高雅的古典音乐，它们都给了人们不同的享受、不一样的感觉．事实上，音乐有基本音符：Do Re Mi Fa So La Si，所有的乐谱都是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此． 在多样的向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？ 一、平面向量基本定理 问题1　如图，光滑斜面上的一个木块受到了哪些力的作用？这些力之间有什么关系？ 提示　该木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力F1的作用沿斜面下滑；二是木块产生垂直于斜面的压力F2，也就是说，重力G的效果等价于力F1和F2的合力的效果，即G＝F1＋F2. 问题2　如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量． 请你将向量a分解成图中所给的两个方向上的向量． 提示　＝e1，＝λ1e1，＝e2，＝λ2e2，＝a＝＋＝λ1e1＋λ2e2. 问题3　问题2中的分解方法是否唯一？为什么？ 提示　分解方法唯一．如果a还可以表示成μ1e1＋μ2e2的形式，那么λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，可得(λ1－μ1)e1＋(λ2－μ2)e2＝0，由此式可推出λ1－μ1，λ2－μ2全为0(假设λ1－μ1，λ2－μ2不全为0，不妨假设λ1－μ1≠0，则e1＝－e2.由此可得e1，e2共线，这与e1，e2不共线矛盾)，即λ1＝μ1，λ2＝μ2，因此，分解方法是唯一的． 问题4　如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？ 提示　不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示． 知识梳理 1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2．基底：我们把两个不共线的向量e1，e2叫作这个平面的一组基底． 3．向量的正交分解 平面内任一向量a可以用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称λ1e1＋λ2e2为向量a的分解．当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解． 注意点： (1)组成基底的两向量不共线． (2)基底的选取不唯一． 问题5　平面向量基本定理与前面所学的向量共线定理，在内容和表述形式上有什么区别和联系吗？ 提示　由平面向量共线定理可知，任意一个向量可以用一个与它共线的非零向量来线性表示，而且这种表示是唯一的．因此平面向量基本定理是向量共线定理的推广，它们都是向量分解“唯一性”定理． 例1　(1)设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，则以下各组向量中不能作为基底的是(　　) A．e1，e2 B．e1＋e2，3e1＋3e2 C．e1，5e2 D．e1，e1＋e2 答案　B 解析　B中，3e1＋3e2＝3(e1＋e2)， ∴e1＋e2与3e1＋3e2共线， ∴e1＋e2，3e1＋3e2不可作为基底； A，C，D中各组向量均可作为基底． (2)(多选)如果e1，e2是平面α内的一组基底，λ，μ是实数，下列说法正确的是(　　) A．若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0 B．对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对 C．线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量 D．当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量 答案　AC 解析　A正确，若λ≠0，则e1＝－e2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可知μ＝0； B不正确，由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定； C正确，平面α内的任一向量a可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立； D不正确，结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe1和μe2确定后，其和向量λe1＋μe2便唯一确定． 反思感悟　(1)对于平面内任一向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解成两个不共线的向量的和的形式． (2)向量的基底是指平面内不共线的两个向量，事实上，若e1，e2是基底，则必有e1≠0，e2≠0且e1与e2不共线． 跟踪训练1　(1)如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是(　　) A.， B.， C.， D.， 答案　B 解析　由题中图形可知与，与，与共线，不能作为一组基底，与不共线，可作为一组基底． (2)设向量e1，e2是平面内的一组基底，若向量a＝－3e1－e2与b＝e1－λe2共线，则λ等于(　　) A. B．－ C．－3 D．3 答案　B 解析　因为a与b共线， 所以存在μ∈R，使得a＝μb， 即－3e1－e2＝μ(e1－λe2)． 故μ＝－3，－λμ＝－1，解得λ＝－. 二、用基底表示向量 例2　如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b，试用基底a，b表示，. 解　因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点， 所以＝＝＝b. ＝＋＋ ＝－－＋ ＝－×b－a＋b＝b－a. 延伸探究　本例中，若设BC的中点为G，则＝________.(用a，b的线性组合表示) 答案　a＋b 解析　＝＋＋＝－b＋a＋b＝a－b， 所以＝＋＝＋＝b＋a－b＝a＋b. 反思感悟　平面向量基本定理的作用以及注意点 (1)由平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一组基底都可以表示该平面内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算． (2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量． 跟踪训练2　如图，在平行四边形ABCD中，设对角线＝a，＝b，试用基底a，b表示，. 解　方法一　由题意知，＝＝＝a，＝＝＝b. 所以＝＋＝－＝a－b， ＝＋＝a＋b. 方法二　设＝x，＝y，则＝＝y， 又 所以 解得 即＝a－b，＝a＋b. 三、平面向量基本定理的应用 例3　如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值． 解　设＝e1，＝e2， 则＝＋＝－3e2－e1， ＝＋＝2e1＋e2. ∵A，P，M和B，P，N分别共线， ∴存在实数λ，μ使得 ＝λ＝－λe1－3λe2， ＝μ＝2μe1＋μe2. 故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2. 而＝＋＝2e1＋3e2， 由平面向量基本定理， 得解得 ∴＝，＝， ∴AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2. 反思感悟　若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再利用待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得． 跟踪训练3　已知在△ABC中，点D在BC边上，且＝4＝r＋s，则3r＋s等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如图所示， ＝－， ＝－， ∵＝4， ∴－＝4(－)， ∴＝＋， ∴＝－＝－. 又＝r＋s， ∴r＝，s＝－， ∴3r＋s＝3×－＝. 1．知识清单： (1)平面向量基本定理． (2)用基底表示向量． (3)平面向量基本定理的应用． 2．方法归纳：数形结合法，待定系数法． 3．常见误区：忽视基底中的向量必须是不共线的两个向量． 1．若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面内的基底的是(　　) A．e1－e2，e2－e1 B．2e1－e2，e1－e2 C．2e2－3e1，6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2 答案　D 解析　选项A，B，C中的向量都是共线向量，不能作为平面向量的基底． 2．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，以b，c作为基底，则等于(　　) A.b＋c B.c－b C.b－c D.b＋c 答案　A 解析　∵＝2， ∴－＝2(－)， ∴－c＝2(b－)， ∴＝b＋c. 3．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________． 答案　(－∞，4)∪(4，＋∞) 解析　若a，b能作为平面内一组基底，则a与b不共线．又a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，故由a≠kb(k∈R)，得λ≠4. 4.如图，在▱ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________. 答案　 解析　设＝a，＝b， 则＝a＋b，＝a＋b， 又∵＝a＋b，∴＝(＋)， 即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝. 1．设点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组可作为该平面内的一组基底的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 答案　C 解析　与不共线，故与可作为基底． 2.如图，在△ABC中，＝a，＝b，＝4，以a，b作为基底，则等于(　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a－b 答案　C 解析　＝＋＝＋ ＝＋(－)＝a＋b. 3．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，e1＝，e2＝，若＝xe1＋ye2，则x＋y的值为(　　) A．7 B．8 C．4 D．12 答案　B 解析　如图，＝＋＝3e1＋5e2， 又＝xe1＋ye2， ∴x＝3，y＝5， 即x＋y＝8. 4．设D为△ABC所在平面内一点，＝－＋，若＝λ(λ∈R)，则λ等于(　　) A．2 B．3 C．－2 D．－3 答案　D 解析　∵＝－＋＝－＋＋， ∴－＝(－)，即＝， ∴＝3＝－3，∴λ＝－3. 5.如图，已知＝a，＝b，C为线段AB上距A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则用a，b表示为(　　) A.(4a＋5b) B.(9a＋7b) C.(2a＋b) D.(3a＋b) 答案　A 解析　＝＋， ＝＋＝＋＝＋＝. 而＝b－a， 所以＝b－a， 所以＝＋＝a＋＝a＋b＝(4a＋5b)． 6．(多选)设a是已知的平面向量且a≠0，关于向量a的分解，有如下说法(向量b，c和a在同一平面内且两两不共线)，其中正确的是(　　) A．给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c B．给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc C．给定单位向量b和正数λ，总存在单位向量c和实数μ，使a＝λb＋μc D．给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc 答案　ABC 解析　利用向量加法的三角形法则，易得A正确； 利用平面向量基本定理，易得B正确； 根据向量加法的三角形法则，总存在单位向量c和μ，满足a＝λb＋μc成立，故C正确； 由向量加法的三角形法则(不共线两边的和大于第三边)， 即|λb|＋|μc|＝λ＋μ>|a|，而给定的λ和μ不一定满足此条件，所以D错误． 7．已知非零向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则x＝________，y＝________. 答案　－15　－12 解析　∵向量e1，e2不共线， ∴解得 8.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，7＝5，＝4，EF交AC于点K，＝λ，则实数λ的值为________． 答案　－ 解析　因为＝λ＝－λ＝－(＋)， 所以＝－. 又E，F，K三点共线，所以－＝1， 解得λ＝－. 9.如图，在▱ABCD中，＝a，＝b，E，F分别是AB，BC的中点，＝，试以a，b为基底表示向量与. 解　＝＋＝＋＝＋＝a＋b. ＝＋＋＝－＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b. 10．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)证明：a，b可以作为一组基底； (2)以a，b为基底表示向量c＝3e1－e2. (1)证明　假设a＝λb(λ∈R)， 则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)． 由e1，e2不共线，得 方程无解，所以λ不存在． 故a与b不共线，可以作为一组基底． (2)解　设c＝ma＋nb(m，n∈R)， 则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2. 所以解得 所以c＝2a＋b. 11．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系式是(　　) A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0 答案　A 解析　由＝λ得－＝λ(－)， 即＝(1＋λ)－λ， 即2＝2(1＋λ)－2λ， 因为，不共线， 所以所以x＋y－2＝0. 12．点M是△ABC所在平面内的一点，且满足＝＋，则△ABM与△ABC的面积之比为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　如图，分别在，上取点E，F， c 使＝，＝， 在上取点G， 使＝，则EG∥AC，FG∥AE， ∴＝＋＝，∴M与G重合， ∴＝＝. 13.如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则等于(　　) A．a－b B.a－b C．a＋b D.a＋b 答案　D 解析　连接CD，OD(图略)， ∵点C，D是半圆弧的两个三等分点， ∴＝＝， ∴∠CAD＝∠DAB＝∠CDA＝30°，∴CD∥AB. ∵OA＝OD，∠ADO＝∠DAO＝30°， ∴∠CAD＝∠ADO＝30°，∴AC∥OD， ∴四边形ACDO为平行四边形， ∴＝＋. ∵＝＝a，＝b， ∴＝a＋b. 14．已知在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，＝y，＝x，其中x，y∈R，且均不为0.若∥，则＝________. 答案　 解析　＝－＝x－y， 由∥，可设＝λ， 即x－y＝λ(－) ＝λ＝－＋λ， 所以则＝. 15.如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝3，F为AE的中点，则等于(　　) A.－ B.－ C．－＋ D．－＋ 答案　C 解析　＝＋＝＋ ＝－＋ ＝－＋ ＝－＋＋＋ ＝－＋＋＋ ＝－＋＋＋ ＝－＋＋＋－ ＝－＋. 16.如图，在▱ABCD中，＝a，＝b，＝，＝. (1)试用向量a，b来表示，； (2)AM交DN于点O，求AO∶OM的值． 解　(1)因为＝＝a， 所以＝－＝a－b. 因为＝＝＝b， 所以＝＋＝a＋b. (2)因为A，O，M三点共线，所以∥， 设＝λ， 则＝－＝λ－＝λ－b＝λa＋b. 因为D，O，N三点共线， 所以∥，存在实数μ使＝μ， 则λa＋b＝μ. 由于向量a，b不共线， 则解得 所以＝，＝， 所以AO∶OM＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$