9.3 培优课 向量数量积的综合应用-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（苏教版2019）

培优课　向量数量积的综合应用 平面向量的数量积是考查的热点内容，主要考查平面向量数量积的运算、求模问题、求夹角问题等，在考查时重视数形结合与转化化归思想，培养数学运算及直观想象等核心素养．在解决涉及几何图形的向量数量积运算时，可先利用向量的加法、减法或数乘运算化简后再运算，求模和求夹角的问题应注意公式|a|＝及cos θ＝(θ为a与b的夹角)的应用，把模和夹角转化为数量积运算． 一、向量数量积 例1　(1)在△ABC中，已知与的夹角是90°，||＝2，||＝1，M是BC上的一点，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，且·＝0，则的值为________． 答案　 解析　根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)， 所以＝(0,2)，＝(1,0)， ＝(1，－2)． 设M(x，y)，则＝(x，y)， 所以·＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0， 所以x＝2y， 又＝λ＋μ， 即(x，y)＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)， 所以x＝μ，y＝2λ， 所以＝＝. (2)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________. 答案　12 解析　因为·＝2·， 所以·－·＝·， 所以·＝·. 因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝， 所以2||＝||||cos ， 化简得||＝2. 故·＝·(＋)＝||2＋· ＝(2)2＋2×2×cos ＝12. 反思感悟　向量数量积的运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ(θ为非零向量a，b的夹角)． (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. 提醒：解决涉及几何图形的向量的数量积问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算．但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补． 跟踪训练1　在△ABC中，AC＝BC＝3，AB＝2，点M，N分别是边BC和AB上的点，且满足＝2，＝，则·＝________. 答案　－ 解析　以N为坐标原点，AB所在的直线为x轴，CN所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(－1,0)，B(1,0)，N(0,0)， 由AC＝BC＝3，AN＝1， 可得CN＝＝2， 所以C(0,2)，＝(1,2)，＝(2,0)， 所以＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋ ＝(1,2)＋(2,0)＝， 又＝(0，－2)， 所以·＝×(－2)＝－. 二、向量数量积的应用 角度1　求模 例2　已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC的中点，则||＝______. 答案　2 解析　因为＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b， 所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2a·b＋b2)＝4×＝4， 则||＝2. 角度2　求夹角 例3　已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2＝，设向量，的夹角为θ，则cos θ＝________. 答案　－ 解析　因为2＝， 所以E为BC的中点． 设正方形的边长为2， 则||＝，||＝2， ·＝·(－)＝||2－||2＋·＝×22－22＝－2， 所以cos θ＝＝＝－. 角度3　垂直问题 例4　已知O为坐标原点，＝(2,5)，＝(3,1)，＝(6,3)，则在线段OC上是否存在点M，使得⊥？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 解　假设存在点M， 且＝λ＝(6λ，3λ)(0≤λ≤1)． 则＝(2－6λ，5－3λ)，＝(3－6λ，1－3λ)， ∵⊥，∴·＝0. ∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0， 即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝或λ＝， ∴＝(2,1)或＝， ∴存在M(2,1)或M满足题意． 反思感悟　(1)求向量的模的方法 ①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算转化为数量积的运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，然后求解． (2)求平面向量的夹角的方法 ①定义法：由向量数量积的定义知，cos θ＝，其中两个向量的夹角θ的范围为[0，π]，求解时应求出三个量：a·b，|a|，|b|或者找出这三个量之间的关系； ②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝. (3)两向量垂直的应用 a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)． 跟踪训练2　在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝，D是AC的中点，E在BC上，且AE⊥BD，则·等于(　　) A．16 B．12 C．8 D．－4 答案　A 解析　以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)， 则A(4,0)，B(0,0)，C(0,6)，D(2,3)， 设E(0，t)(0≤t≤6)， 则＝(2,3)，＝(－4，t)，＝(0,6)， 所以·＝(2,3)·(－4，t)＝－8＋3t＝0，解得t＝，即E， 所以·＝·(0,6)＝－4×0＋×6＝16. 1．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b等于(　　) A. B. C. D．(1,0) 答案　B 解析　设b＝(x，y)，其中y≠0， 则a·b＝x＋y＝. 由题意得解得 即b＝. 2．已知向量m＝(1－a，－1)，n＝(b－2，－2)(a>0，b>0)，若向量m，n共线，则m·n的取值范围是(　　) A．(2,4) B．(0，＋∞) C．[2，＋∞) D．[2,4) 答案　D 解析　∵向量m，n共线，∴设m＝λn， 即(1－a，－1)＝λ(b－2，－2)， 则解得λ＝， 则1－a＝(b－2)，即2a－2＝－b＋2， ∴2a＋b＝4. b＝4－2a>0，则0<a<2， 又m·n＝(1－a)(b－2)＋2＝2a＋b－ab ＝4－ab＝4－a(4－2a)＝2a2－4a＋4 ＝2(a－1)2＋2∈[2,4)． 3.如图，在正方形ABCD中，已知AB＝2，M为BC的中点，若N为正方形内(含边界)的任意一点，则·的最大值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．8 答案　C 解析　以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则M(2,1)，＝(2,1)，设N点坐标为(x，y)，则＝(x，y)，0≤x≤2,0≤y≤2，·＝2x＋y，所以当x＝2，y＝2时，·取最大值为6. 4．(多选)已知a，b，c为非零向量，下列说法不正确的是(　　) A．若|a·b|＝|a||b|，则a∥b B．若a·c＝b·c，则a＝b C．若|a|＝|b|，则|a·c|＝|b·c| D．(a·b)|c|＝|a|(b·c) 答案　BCD 解析　选项A中，|a·b|＝|a||b||cos θ|＝|a||b|，∴cos θ＝±1，∴θ＝0°或θ＝180°，A正确； 选项B中，设a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2，∵cos θ1与cos θ2不一定相等，∴B错误； C项中，a和c的夹角与b和c的夹角不相等且不互补时，结论不成立，∴C错误； D项中，a和b的夹角与b和c的夹角不一定相等，∴结论不一定成立，D错误． 5．已知A，B，C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝(sin A，1)，q＝(1，－cos B)，则p与q的夹角是(　　) A．锐角 B．钝角 C．直角 D．不确定 答案　A 解析　因为△ABC是锐角三角形， 所以A＋B>，即>A>－B>0， 又因为函数y＝sin x在上单调递增， 所以sin A>sin＝cos B， 所以p·q＝sin A－cos B>0， 设p与q的夹角为θ，所以cos θ＝>0， 又因为p与q不共线，所以p与q的夹角是锐角． 6．设O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，点P是线段AB上的一个动点，＝λ，若·≥·，则实数λ的取值范围是(　　) A.≤λ≤1 B．1－≤λ≤1 C.≤λ≤1＋ D．1－≤λ≤1＋ 答案　B 解析　∵O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)， ∴＝λ＝(－λ，λ)， 又∵＝－，＝－， ∴＝(1－λ)＋λ＝(1－λ，λ)， ∵·≥·， ∴(1－λ，λ)·(－1,1)≥(λ，－λ)·(λ－1,1－λ)， ∴2λ2－4λ＋1≤0，解得1－≤λ≤1＋， ∵点P是线段AB上的一个动点， ∴0≤λ≤1， 即满足条件的实数λ的取值范围是1－≤λ≤1. 7.如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，∠BAC＝θ，点D为BC的三等分点且靠近点B.则·的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋， ∴·＝·(－) ＝－||2＋||2＋· ＝－×4＋×9＋×2×3cos θ＝2cos θ＋. ∵－1<cos θ<1，∴－<2cos θ＋<. ∴·∈. 8．已知向量a，b，c，|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为120°，a＋b＋c＝0，则b与c的夹角为________． 答案　150° 解析　设b与c的夹角为θ，由a＋b＋c＝0得a＋b＝－c， 又(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4cos 120°＋4＝3， ∴|a＋b|＝，∴|c|＝. 又b＋c＝－a，∴(b＋c)2＝b2＋2b·c＋c2＝a2， 即4＋4cos θ＋3＝1，解得cos θ＝－， 又0°≤θ≤180°，∴θ＝150°. 9．已知|a|＝|b|＝a·b＝2，c＝(2－4λ)a＋λb，则(c－a)·(c－b)的最小值为________． 答案　－ 解析　∵c－a＝(1－4λ)a＋λb， c－b＝(2－4λ)a＋(λ－1)b， ∴(c－a)·(c－b) ＝[(1－4λ)a＋λb]·[(2－4λ)a＋(λ－1)b] ＝(16λ2－12λ＋2)a2＋(－8λ2＋7λ－1)a·b＋(λ2－λ)b2， 代入|a|＝|b|＝a·b＝2， 得(c－a)·(c－b)＝52λ2－38λ＋6， ∴当λ＝时，原式取得最小值为－. 10．在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则||＝________. 答案　 解析　如图，以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 则A(0,0)，B(0，)，C(3，)，D(3,0)，＝(3，)， 设＝λ(λ∈R)， 则点E的坐标为(3λ，λ)， 故＝(3λ，λ－)． 因为BE⊥AC，所以·＝0， 即9λ＋3λ－3＝0，解得λ＝， 所以E. 故＝， 则||＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$