10.3 几个三角恒等式 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（苏教版2019）

§10.3　几个三角恒等式 第10章　三角恒等变换 学习目标 1.理解积化和差、和差化积、半角公式的推导过程. 2.掌握积化和差、和差化积、半角公式的结构特征. 3.能利用所学三角公式进行三角恒等变换. 前面，我们学习了两角和与差的正弦、余弦公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β　(S(α＋β)) ① sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β　(S(α－β)) ② cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β　(C(α＋β)) ③ cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β　(C(α－β)) ④ 如果我们对①②③④式做些运算，会得到什么呢？这节课我们来研究一下. 导语 内容索引 一、三角函数的积化和差公式 二、三角函数的和差化积公式 课时对点练 三、半角公式 随堂演练 四、三角函数式的化简与证明 三角函数的积化和差公式 一 问题1　公式S(α＋β)和S(α－β)可用角α，β的正弦、余弦表示，那么sin αcos β，cos αsin β如何用sin(α＋β)和sin(α－β)表示呢？ 提示　由S(α＋β)＋S(α－β)，得 sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β， 由S(α＋β)－S(α－β)，得 sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cos αsin β， 问题2　类似地，你可以表示出cos αcos β和sin αsin β吗？ 积化和差公式 sin αcos β＝ . cos αsin β＝ . cos αcos β＝ . sin αsin β＝ . 知识梳理 8 注意点： (1)积化和差公式中的“积”与“和、差”都是指三角函数值之间的关系. (2)公式的右端是同名三角函数； (3)公式不要死记，要理解其来龙去脉. 知识梳理 9 10 (2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°. 11 在运用积化和差公式时，如果形式为异名函数积时，化得的结果应为sin(α＋β)与sin(α－β)的和或差；如果形式为同名函数积时，化得的结果应为cos(α＋β)与cos(α－β)的和或差. 反思感悟 12 跟踪训练1　(1)化简：4sin(60°－θ)·sin θ·sin(60°＋θ). ＝－2sin θ·[cos 120°－cos(－2θ)] ＝sin θ＋2sin θcos 2θ ＝sin θ＋sin 3θ－sin θ＝sin 3θ. 13 (2)求cos 37.5°cos 22.5°的值. 14 15 二 三角函数的和差化积公式 问题3　既然能表示sin αsin β，那么能否表示sin α＋sin β？ 提示　令α＋β＝θ，α－β＝φ， 和差化积公式 sin α＋sin β＝ . sin α－sin β＝ . cos α＋cos β＝ . cos α－cos β＝ . 知识梳理 18 注意点： (1)和差化积公式中，左端必须是同名三角函数且系数绝对值相等. (2)这里“和、差”与“积”都是指三角函数值间的关系，而不是角的关系. (3)公式不要死记，要理解其来龙去脉. 知识梳理 19 例2　(1)求cos 20°＋cos 100°＋cos 140°的值. ＝2cos 60°cos 40°＋cos(180°－40°) ＝cos 40°－cos 40°＝0. 20 21 22 23 和差化积公式应用时要注意只有系数的绝对值相同的各函数的和与差才能直接运用推论化成积的形式. 反思感悟 24 跟踪训练2　把下列各式化为积的形式. (1)sin x＋sin 3x； 25 (2)cos(15°＋α)－cos(15°－α). 26 三 半角公式 问题4　由倍角公式变形我们可得正弦、余弦的降幂形式，试写出该形式. 知识梳理 29 知识梳理 30 31 利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解. (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围. 反思感悟 32 反思感悟 33 34 35 因为α为第四象限角，所以sin α<0. 36 因为α为第四象限角，所以sin α<0. 37 四 三角函数式的化简与证明 所以原等式成立. (1)三角函数式化简的要求、思路和方法 ①化简的要求：a.能求出值的应求出值.b.尽量使三角函数种数最少.c.尽量使项数最少.d.尽量使分母不含三角函数.e.尽量使被开方数不含三角函数. ②化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用.另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法. 反思感悟 41 (2)三角恒等式证明的常用方法 ①执因索果法：证明的形式一般是化繁为简. ②左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子. ③拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简而言之，即化异求同. 反思感悟 42 ⑤分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到获得已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立. 反思感悟 43 44 ∵A＋B＋C＝180°， 左边＝sin A＋sin B＋sin C 45 所以原等式成立. 46 1.知识清单： (1)积化和差与和差化积公式. (2)半角公式. (3)利用公式进行化简与证明. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：半角公式符号的判断. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 √ 2 1 2 3 4 1 2 3 4 课时对点练 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.把2sin 70°cos 20°化为和或差的形式为 A.1＋sin 50° B.1－sin 50° C.1＋cos 50° D.1－cos 50° 原式＝sin(70°＋20°)＋sin(70°－20°) ＝sin 90°＋sin 50°＝1＋sin 50°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝cos2β－cos2α＝－m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝－sin(α＋β)sin(α－β)， 所以sin(α＋β)sin(α－β)＝－m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形 D.直角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即2sin Asin B＝1＋cos C， ∵A＋B＋C＝π， ∴2sin Asin B＝1－cos Acos B＋sin Asin B， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴cos Acos B＋sin Asin B＝1， 即cos(A－B)＝1， 又∵A－B∈(－π，π)， ∴A－B＝0，即A＝B， 则△ABC是等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又α是第三象限角， 8.设直角三角形中两锐角为A和B，则cos Acos B的取值范围是________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)sin 138°－cos 12°＋sin 54°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原式＝sin 42°－cos 12°＋sin 54° ＝sin 42°－sin 78°＋sin 54° ＝－2cos 60°sin 18°＋sin 54° ＝sin 54°－sin 18°＝2cos 36°sin 18° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x＝y＝0时，sin(x－y)＝sin x－sin y，所以B为真命题； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 ______，f(x1＋x2)＝______. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴－1≤f(x)≤2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.求函数f(x)＝cos2(x＋θ)－2cos θcos xcos(x＋θ)＋cos2θ的最小正周期、值域、单调区间. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝1＋cos(x＋2θ)cos x－cos(x＋2θ)cos x－cos2x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以f(x)的最小正周期T＝π，值域为[0,1]， 所以sin αcos β＝. 所以cos αsin β＝. 提示　cos αcos β＝. sin αsin β＝－. －[cos(α＋β)－cos(α－β)] [sin(α＋β)＋sin(α－β)] [sin(α＋β)－sin(α－β)] [cos(α＋β)＋cos(α－β)] 例1　求下列各式的值： (1)cos 29°cos 31°－cos 2°； 原式＝[cos(29°＋31°)＋cos(29°－31°)]－cos 2° ＝cos 60°＋cos(－2°)－cos 2°＝. 原式＝[sin 90°＋sin(－50°)]－[cos 60°－cos(－40°)] ＝－sin 50°－＋cos 40°＝. 原式＝－[cos(60°－θ＋60°＋θ)－cos(60°－θ－60°－θ)]×4sin θ ＝－2sin θ ＝＋ ＝＋× ＝＋＝. ＝(cos 60°＋cos 15°) 原式＝ ＝ 则α＝，β＝，代入积化和差公式即可得. －2sin sin 2sin cos 2cos sin 2cos cos 原式＝2cos cos ＋cos 140° (2)已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求sin(α＋β)的值. 所以2cos sin ＝－. ② 因为sin ≠0， 所以由①②得－tan ＝－， 因为cos α－cos β＝， 所以－2sin sin ＝. ① 又因为sin α－sin β＝－， 即tan ＝. 所以sin(α＋β)＝ ＝＝＝. 原式＝2sin cos ＝2sin 2xcos x. 原式＝－2sin · sin ＝－2sin 15°sin α. 提示　cos2α＝，sin2α＝. 提示　sin2＝，cos2＝. 问题5　如果用替换公式中的α，能得到什么？ 半角公式 sin ＝±， cos ＝±， tan ＝±＝＝. 注意点： 半角公式中的“±”号不能去掉，若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留“±”；若给出α的具体范围时，则先求所在的范围，然后根据所在的范围选用符号. ∵<<， ∴cos ＝－＝－，tan ＝＝2. ∵sin θ＝，且<θ<3π， 例3　已知sin θ＝，<θ<3π，求cos 和tan . ∴cos θ＝－＝－， (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算. (4)下结论：结合(2)求值. 跟踪训练3　已知cos α＝，α为第四象限角，则tan 的值为__________. 所以tan ＝－＝－＝－＝－ ＝－＝. 方法一　 因为α为第四象限角，所以是第二或第四象限角， 所以tan <0. 方法二　 所以sin α＝－＝－＝－. 所以tan ＝＝＝. 方法三　 所以sin α＝－＝－＝－. 所以tan ＝＝＝＝. 例4　(1)化简：. 原式＝＝ ＝＝＝＝1. (2)求证：tan －tan ＝. 证明　左边＝－＝＝ ＝＝＝右边. ④比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”. 跟踪训练4　已知A＋B＋C＝180°，求证：sin A＋sin B＋sin C＝4cos cos cos . ＝2sin cos ＋2sin cos ＝2sin ∴C＝180°－(A＋B)，＝90°－， ＝2sin cos ＋sin(A＋B) ＝4cos cos cos ＝右边， ＝2sin ×2cos cos ＝2sin×2cos cos 原式＝2cos 45°sin 30°＝2××＝. 1.sin 75°－sin 15°的值为 A. B. C. D.－ ∴∈，sin ＝＝. ∵α∈， 2.已知cos α＝，α∈，则sin 等于 A. B.－ C. D. 又<α<π，∴cos α＝－. ∴tan ＝＝＝2. ∵2＝， 3.已知sin －cos ＝，<α<π，则tan ＝______. ∴1－sin α＝，∴sin α＝. －cos 所以＝＝＝－cos . 因为α∈(π，2π)，所以∈， 4.已知α∈(π，2π)，则＝________. 1.(多选)下面说法正确的是 A.存在α∈R，使cos ＝cos α B.任意α∈R，sin ≠sin α C.cos ＝ D.若α是第一象限角，则tan ＝ B中，当α＝0时，sin ＝sin α， C中，cos ＝±，A，D正确. 原式＝＝＝tan 2α. 3.化简的结果为 A.tan α B.tan 2α C. D. 4.已知cos2α－cos2β＝m，那么sin(α＋β)sin(α－β)等于 A.－ B. C.－m D.m 方法一　原式＝－(cos 2α－cos 2β) ＝－(2cos2α－1－2cos2β＋1) 方法二　m＝－ ＝ ＝ 5.已知α－β＝，且cos α＋cos β＝，则cos(α＋β)等于 A. B.－ C. D.－ ∵cos α＋cos β＝，∴2cos cos ＝. ∵α－β＝，∴＝， ∴cos ＝. ∴cos ＝， ∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝－. 6.在△ABC中，若sin Asin B＝cos2，则△ABC是 由sin Asin B＝cos2，得 sin Asin B＝(1＋cos C)， ∴cos C＝cos＝－cos(A＋B)， 7.若α是第三象限角，且sin(α＋β)cos β－sin β·cos(α＋β)＝－，则tan ＝_____. ∵sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)＝sin[(α＋β)－β]＝sin α＝－， ∴cos α＝－. ∴tan ＝＝＝－5. 由已知可得A＋B＝C＝， 则cos Acos B＝[cos(A－B)＋cos(A＋B)]＝cos(A－B). 又因为A－B∈， 所以cos(A－B)∈. 9.已知sin α＝－，π<α<，求sin ，cos ，tan 的值. ∵π<α<，sin α＝－， ∴cos α＝－，且<<， ∴sin ＝＝，cos ＝－＝－， tan ＝＝－2. 原式＝2cos ·cos －cos 10.求下列各式的值： (1)cos ＋cos －2sin cos ； ＝2cos cos －cos ＝cos －cos ＝0. ＝ ＝＝ ＝＝. 11.已知cos α＝－且α为第三象限角，则等于 A.－ B. C.2 D.－2 由cos α＝－，α为第三象限角，可得sin α＝－， tan ＝＝＝－3， 故＝＝－. 12.(多选)下列命题是真命题的有 A.∃x∈R，sin2＋cos2＝ B.∃x，y∈R，sin(x－y)＝sin x－sin y C.∀x∈[0，π]，＝sin x D.sin x＝cos y⇒x＋y＝ 因为sin2＋cos2＝1≠，所以A为假命题； 因为＝＝|sin x|＝sin x，x∈[0，π]， 所以C为真命题； 当x＝，y＝2π时，sin x＝cos y，但x＋y≠，所以D为假命题. 13.已知cos θ＝－，θ∈(π，2π)，则sin ＋cos 的值为_____. 因为θ∈(π，2π)，所以∈， 所以sin ＝＝， cos ＝－＝－， 所以sin ＋cos ＝. 14.化简：(0<α<π)＝____________. －2cos ∵0<α<π，∴0<<， ∴sin >0，tan ＝， ∴(1＋cos α)tan ＝sin α. 又∵cos＝－sin α，且1－cos α＝2sin2， ∴原式＝＝＝－＝－2cos . 15.已知函数f(x)＝2sin cos ＋2cos2－1(ω>0)的最小正周期为π，当x∈0，时，方程f(x)＝m恰有两个不同的实数解x1，x2，则x1＋x2＝ 函数f(x)＝2sin cos ＋2cos2－1 ＝sin ωx＋cos ωx＝2sin. 由T＝＝π，可得ω＝2，∴f(x)＝2sin. ∵x∈，∴≤2x＋≤， 画出f(x)的图象(图略)，结合图象知x1＋x2＝， 则f(x1＋x2)＝f ＝2sin＝2sin ＝1. f(x)＝[1＋cos(2x＋2θ)]－[cos(x＋2θ)＋cos x]cos x＋(1＋cos 2θ) ＝1＋[cos(2x＋2θ)＋cos 2θ]－cos(x＋2θ)cos x－cos2x ＝1－cos2x＝， 减区间为(k∈Z)，增区间为(k∈Z). $$