11.4.1.2 直线与平面垂直的性质及线面角 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第四册学习笔记（人教B版2019）

第十一章　11.4.1　直线与平面垂直 第2课时　直线与平面垂直 的性质及线面角 学习目标 1.理解直线与平面垂直的性质定理. 2.掌握直线与平面所成的角，并会运用直线与平面垂直求点到平面的距离. 导语 日常生活中我们观察到地面上直立的电线杆和地面的位置关系，联想到立体几何中直线和平面的位置关系，猜想当两条直线都垂直于同一平面时，这两条直线有怎样的位置关系？ 内容索引 一、直线与平面垂直的性质定理 二、直线和平面所成的角 课时对点练 三、直线与平面垂直的综合问题 随堂演练 直线与平面垂直的性质定理 一 问题1　我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，在空间中是否有类似的性质呢？ 提示　在空间中，垂直于同一直线的两直线不一定平行，但是垂直于同一平面的两直线一定平行. 6 文字语言 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线____ 符号语言   图形语言   直线与平面垂直的性质定理 平行 知识梳理 7 例1　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，点M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 8 ∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD， ∴AE⊥AB， 又AB∥CD，∴AE⊥CD. ∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD. 又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD， ∴AE⊥平面PCD. ∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD. 又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD， ∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN. 9 (1)证明线线平行的常用方法 ①利用平行线的定义； ②利用平行线的传递性； ③利用线面平行的性质定理； ④利用线面垂直的性质定理； ⑤利用面面平行的性质定理. 反思感悟 10 (2)重要结论 ①两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，即a∥b，a⊥α⇒b⊥α； ②一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，即α∥β，a⊥α⇒a⊥β； ③垂直于同一条直线的两个平面互相平行，即a⊥α，a⊥β⇒α∥β. 反思感悟 11 跟踪训练1　如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为点由A，B，a⊂α，a⊥AB.求证：a∥l. 12 ∵PA⊥α，l⊂α， ∴PA⊥l.同理PB⊥l. ∵PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB， ∴l⊥平面PAB. 又∵PA⊥α，a⊂α， ∴PA⊥a. ∵a⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， ∴a⊥平面PAB. ∴a∥l. 13 二 直线和平面所成的角 问题2　当一支铅笔一端放在桌面上，另一端逐渐离开桌面，铅笔和桌面所成角逐渐增大，观察思考铅笔和桌面所成角怎样定义？ 提示　铅笔和它在桌面上的射影所成的角. 15 对应图形   直线与平面所成的角 称为直线PA与平面α所成的角 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，_____________ 直线与平面所成的角 ∠PAO 0°≤θ≤90° 知识梳理 16 例2　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， (1)求A1B与平面AA1D1D所成的角； 17 ∵AB⊥平面AA1D1D， ∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角， 在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1， ∴∠AA1B＝45°， ∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°. 18 (2)求A1B与平面BB1D1D所成的角. 19 连接A1C1交B1D1于点O，连接BO. ∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1⊂平面BB1D1D， ∴A1O⊥平面BB1D1D， ∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角. 设正方体的棱长为1， 20 又0°≤∠A1BO≤90°， ∴∠A1BO＝30°， ∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°. 21 求斜线与平面所成的角的步骤 反思感悟 22 跟踪训练2　如图所示，在三棱锥A－SBC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，则直线AS与平面SBC所成的角为 A.120° B.60° C.45° D.30° √ 23 因为∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC， 所以△ASB与△SAC都是等边三角形，所以AB＝AC. 如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，则AD⊥BC. 则AD2＋SD2＝SA2，所以AD⊥SD. 又BC∩SD＝D，BC，SD⊂平面SBC， 所以AD⊥平面SBC. 24 因此∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角. 所以∠ASD＝45°， 即直线AS与平面SBC所成的角为45°. 25 三 直线与平面垂直的综合问题 例3　如图所示，在三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD. (1)求证：CD⊥平面ABD； 27 ∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD， ∴AB⊥CD. 又∵CD⊥BD，AB∩BD＝B， AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD， ∴CD⊥平面ABD. 28 (2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD的中点，求三棱锥A－MBC的体积. 29 由AB⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，得AB⊥BD. ∵AB＝BD＝1， ∵M是AD的中点， 由(1)知，CD⊥平面ABD， ∴三棱锥C－ABM的高h＝CD＝1， 30 求点到平面的距离的两种方法 (1)构造法：根据定义构造垂直于面的直线，确定垂足位置，将所求线段化归到三角形中求解. (2)等积变换法：将所求距离看作某个几何体(多为棱锥)的高，利用体积相等建立方程求解. 反思感悟 31 跟踪训练3　如图所示，已知P为△ABC外一点，PA，PB，PC两两垂直，PA＝PB＝PC＝a，求点P到平面ABC的距离. 32 如图所示，过点P作PO⊥平面ABC于点O， 连接AO，BO，CO， ∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC. ∵PA＝PB＝PC＝a， ∴△PAO≌△PBO≌△PCO， ∴OA＝OB＝OC， ∴O为△ABC的外心. 又PA，PB，PC两两垂直， 33 34 1.知识清单： (1)直线与平面垂直的性质定理. (2)直线与平面所成的角. (3)直线与平面垂直的综合应用. 2.方法归纳：转化思想. 3.常见误区：直线与平面所成的角寻找不准确. 课堂小结 随堂演练 四 若a⊂β，b⊥平面β，可证得a⊥b； 若a∥β，过a作平面α，α∩β＝c，b⊥平面β，c⊂β， 则b⊥c，a∥c，于是b⊥a. 1.直线a⊥直线b，直线b⊥平面β，则a与β的关系是 A.a⊥β B.a∥β C.a⊂β D.a⊂β或a∥β √ 1 2 3 4 如图，AC⊥α，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α内的射影， 2.线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为 A.30° B.45° C.60° D.120° √ ∴∠ABC＝60°， 即AB与平面α所成的角为60°. 1 2 3 4 3.如图，设平面α∩β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是 A.EF⊥平面α B.EF⊥平面β C.PQ⊥GE D.PQ⊥FH 1 2 3 4 √ 因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ. 若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ. 又EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EFG，所以PQ⊥平面EFG. 因为EG⊥平面α，FH⊥平面α，所以EG∥FH， 所以E，F，H，G四点共面， 所以PQ⊥平面EFHG，因为GH⊂平面EFHG， 所以PQ⊥GH. 1 2 3 4 4.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，E是CC1的中点，则E到A1B的距离为________. 1 2 3 4 如图，取BB1的中点F，过点F作FH⊥A1B于点H，连接EF，EH. 在正方形BCC1B1中，E，F分别是CC1，BB1的中点， ∴EF∥BC，又BC⊥平面ABB1A1， ∴EF⊥平面ABB1A1， ∴EF⊥A1B，又FH⊥A1B，FH∩EF＝F， ∴A1B⊥平面EFH， ∴A1B⊥EH，故EH为点E到直线A1B的垂线段. 1 2 3 4 1 2 3 4 在Rt△FEH中，EF＝a， 课时对点练 五 1.已知直线a，b，c和平面β，能使a∥b成立的条件是 A.a∥β，b∥β B.a⊥β，b⊥β C.a⊥c，b⊥c D.a与c，b与c所成的角相等 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 2.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 连接EB(图略)，由BB1⊥平面ABCD， 知∠FEB即为直线EF与平面ABCD所成的角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 3.已知平面α∥β，a是直线，则“a⊥α”是“a⊥β”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 充分性：因为平面α∥β，若a⊥α，由线面垂直的性质可知a⊥β，充分性成立； 必要性：因为平面α∥β，若a⊥β，由线面垂直的性质可知a⊥α，必要性成立. 因此，“a⊥α”是“a⊥β”的充要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 如图，根据圆锥的性质得SO⊥底面圆O， 所以∠OAS即为母线与底面所成角， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 5.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，且AP＝2AB＝4，M为PC上一动点.若PC⊥DM，则MB的长度为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 如图所示，连接AC，BD. 由底面ABCD为正方形得BD⊥AC， 由PA⊥底面ABCD得PA⊥BD. 又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， 所以BD⊥平面PAC. 因为PC⊂平面PAC， 所以BD⊥PC. 又因为PC⊥DM，BD∩DM＝D，BD，DM⊂平面BDM， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 所以PC⊥平面BDM， 所以MB⊥PC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 所以PC2＝PB2＋BC2，即PB⊥BC， 6.(多选)已知m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是 A.若m⊥α，n⊂α，则m⊥n B.若m，n都与l相交且m∥n，则直线m，n，l共面 C.若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β D.若m，n，l两两相交，且交于同一点，则直线m，n，l共面 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 √ 11 √ √ 对于选项A，因为m⊥α，n⊂α，所以由直线垂直于平面的定义知，m⊥n，选项A正确； 对于选项B，因为m∥n，则m，n确定平面α，又m，n都与l相交.不妨令l∩m＝A，l∩n＝B，则A∈α，B∈α，所以l⊂α，即直线m，n，l共面，选项B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 对于C选项，令相交直线a，b在平面α内，且a∩b＝P，因为m⊥α，则m⊥a，m⊥b，又m∥n，必有n⊥a，n⊥b，所以n⊥α，而n⊥β，故有α∥β，选项C正确； 对于选项D，正方体的共顶点的三条棱所在直线，符合题设条件，而这三条直线却不共面，选项D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 7.已知点A，B到平面α的距离分别为4 cm和6 cm，则线段AB的中点M到平面α的距离为____________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 cm或5 cm 作AC⊥α，BD⊥α，垂足分别为点C，D. 若A，B两点在平面α的两侧(如图)， 过点M作MN⊥α，垂足为N. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 若A，B两点在平面α的同侧，过点M作MN⊥α，垂足为点N(图略)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 综上，线段AB的中点M到平面α的 距离为1 cm或5 cm. 8.若三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为1，D是A1C1的中点，则点A到平面B1CD的距离为______；直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 ∵正三棱柱的棱长为1， 设点A到平面B1DC的距离为h，则有 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 设直线AD与平面B1DC所成的角为θ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 9.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF与异面直线AC，A1D都垂直.求证：EF∥BD1. 如图所示，连接AB1，B1D1，B1C，BD， ∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， ∴DD1⊥AC. 又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，DD1，BD⊂平面BDD1B1， ∴AC⊥平面BDD1B1， 又BD1⊂平面BDD1B1， ∴AC⊥BD1. 同理可证BD1⊥B1C， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 又AC∩B1C＝C，AC，B1C⊂平面AB1C， ∴BD1⊥平面AB1C. ∵EF⊥A1D，A1D∥B1C， ∴EF⊥B1C. 又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，AC，B1C⊂平面AB1C， ∴EF⊥平面AB1C， ∴EF∥BD1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 10.如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2. (1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角. 因为AD⊥平面PDC，PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 (2)求证：PD⊥平面PBC； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD. 因为BC∥AD， 所以PD⊥BC， 又因为PD⊥PB，BC∩PB＝B，BC，PB⊂平面PBC， 所以PD⊥平面PBC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 (3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF， 则直线DF与平面PBC所成的角等于直线AB与平面PBC所成的角. 因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影， 所以∠DFP为直线DF与平面PBC所成的角. 因为AD∥BC，DF∥AB， 所以四边形ABFD为平行四边形，所以BF＝AD＝1. 由已知得CF＝BC－BF＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 又因为AD⊥平面PDC，DC⊂平面PDC， 所以AD⊥DC， 所以BC⊥DC， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 11.(多选)如图所示，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的是 A.AC⊥SB B.AB∥平面SCD C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 综合运用 11 √ √ 对于选项A，由题意得SD⊥AC，AC⊥BD，SD∩BD＝D，SD，BD⊂平面SBD，∴AC⊥平面SBD，故AC⊥SB，故A正确； 对于选项B，∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂ 平面SCD， ∴AB∥平面SCD，故B正确； 对于选项C，由对称性知SA与平面SBD所成的 角与SC与平面SBD所成的角相等，故C正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 12.如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB∶BB1＝ ∶1，则AB1与平面BB1C1C所成角的大小为 A.45° B.60° C.30° D.75° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 如图，取BC的中点D，连接AD，B1D， ∵AD⊥BC且AD⊥BB1，BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面BCC1B1， ∴AD⊥平面BCC1B1， ∴∠AB1D即为AB1与平面BB1C1C所成的角. 即AB1与平面BB1C1C所成角为45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 13.在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝60°.已知PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB边上一动点，则PM的最小值为 √ 因为PC⊥平面ABC， 故要使PM的值最小，只需PM在平面ABC内的射影CM最短. 过点C作CM⊥AB，垂足为点M，此时CM最短(图略). 在Rt△ACB中，AB＝8，∠BAC＝60°， 所以AC＝AB·cos 60°＝4， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 14.如图，在正四棱锥S－ABCD中，E是BC的中点，点P在△SCD内及其边界上运动，并且总有PE⊥AC，则动点P的轨迹与△SCD组成的图形是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 √ ∵在正四棱锥S－ABCD中，SB在平面ABCD内的射影在BD上， 且AC⊥BD， ∴AC⊥SB，故AC⊥EQ. 又AC⊥BD， ∴AC⊥EF，又EQ∩EF＝E， ∴AC⊥平面EQF， ∴当点P在FQ上移动时，总有AC⊥PE. 取CD的中点F，SC的中点Q，连接BD，EQ，FQ，EF(图略)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 15.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为6，P是AA1的中点，Q是△BDC1内的动点，若PQ⊥BC1，则点Q到平面A1B1C1D1的距离的取值范围是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 拓广探究 11 √ 如图，在正方体中分别取BB1，BD的中点P1，O， 及BC1的四等分点M(靠近点B)， 因为PP1⊥BC1，P1M⊥BC1，P1M∩PP1＝P1，P1M，PP1⊂平面PP1M， 所以BC1⊥平面PP1M，则BC1⊥PM. 又OM⊥BC1，OM∩PM＝M， 故BC1⊥平面POM， 所以当点Q在线段OM上时，PQ⊥BC1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 则点Q到平面A1B1C1D1的距离最大为6， 16.如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点.   (1)求证：MN∥平面PAD； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 取PD的中点E，连接NE，AE，如图. 又∵N是PC的中点， 又∵DC∥AB且DC＝AB， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 ∴NE∥AM，且NE＝AM， ∴四边形AMNE是平行四边形， ∴MN∥AE. ∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD， ∴MN∥平面PAD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 (2)若PD与平面ABCD所成的角为α，当α为多少度时，MN⊥平面PCD? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 当α＝45°时，MN⊥平面PCD. 证明如下： ∵PA⊥平面ABCD， ∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角， ∴∠PDA＝45°， ∴AP＝AD，∴AE⊥PD. 又∵MN∥AE，∴MN⊥PD. ∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD， ∴PA⊥CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD， ∴CD⊥平面PAD. ∵AE⊂平面PAD， ∴CD⊥AE， ∴CD⊥MN. 又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD， ∴MN⊥平面PCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 11 ⇒a∥b 则A1B＝，A1O＝. 又∵∠A1OB＝90°，∴sin∠A1BO＝＝， 设SA＝a，则在Rt△BSC中，BC＝a，CD＝SD＝a. 在Rt△ADC中，AD＝＝a， 在Rt△ASD中，SD＝AD＝a， ∴S△ABD＝. ∴S△ABM＝S△ABD＝. ∴三棱锥A－MBC的体积VA－MBC＝VC－ABM＝S△ABM·h＝. ∴点P到平面ABC的距离为a. ∴AB＝BC＝CA＝a，∴△ABC为正三角形， ∴OA＝AB＝a. ∴PO＝＝a. 则BC＝AB，∠ABC为AB所在直线与平面α所成的角. 在Rt△ABC中，cos∠ABC＝＝， a 在Rt△FHB中，FB＝，∠FBH＝， 故FH＝FB·sin∠FBH＝a，  EH＝＝＝a， ∴E到A1B的距离等于a. A.2 B.1 C. D. 在Rt△FBE中，BF＝1，BE＝， 则tan∠FEB＝＝. 4.已知圆锥SO的底面半径为r，当圆锥的体积为πr3时，该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为 A. B. C. D. 所以母线的长为l＝＝＝r. 则圆锥的母线与底面所成角的正弦值为sin∠OAS＝＝＝. 设圆锥的高为h，则由题意，有VSO＝πr2h＝πr3， 所以h＝r， A. B. C. D. 因为BC＝2，BP＝＝2， 在△PAC中，PC＝＝2， 所以MB＝＝＝. 又CA＝4 cm，BD＝6 cm，所以＝，所以＝，所以＝. 在Rt△OMN中，MN＝OM·sin∠MON＝OB·＝1(cm)； 由M为线段AB的中点，可得＝1. 则易知MN＝(AC＋BD)＝5 (cm). 则有AD＝，B1D＝，DC＝， ∴ ＝××＝，S△ADC＝×1×1＝. 又B1C＝，∴B1D2＋DC2＝B1C2， 则sin θ＝＝. ∴ ＝·B1D·S△ADC. ∴h＝＝. ∴·h·＝××， 在Rt△PDA中，由已知得AP＝＝， 所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为. 故cos∠DAP＝＝， 故在Rt△DCF中，DF＝＝2. 所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为. 在Rt△DPF中，sin∠DFP＝＝. 设AB＝，则AA1＝1，AD＝，AB1＝， ∴sin∠AB1D＝＝，∴∠AB1D＝45°. A.2 B. C. D. 所以CM＝AC·sin 60°＝2. 又PC⊥CM，所以PM＝＝＝2. 则EQ綉SB，EF綉BD. A.[3,5] B. C.[4,5] D.[2，6] 最小为6×＝， 所以点Q到平面A1B1C1D1的距离的取值范围为.  AM＝AB， ∴AM∥CD且AM＝CD， ∴NE∥DC且NE＝DC， $$