11.1.3 多面体与棱柱 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修第四册学习笔记（人教B版2019）

11.1.3　多面体与棱柱 [学习目标]　1.通过对实物模型的观察，归纳认知多面体的概念和棱柱的结构特征.2.能运用棱柱的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算． 导语 日常生活中常见到一些多面体，如棱柱、棱锥．它们可以是我们日常用到的物品，也可以是建筑物的形状．你能举例说出各种几何体的特征吗？ 一、多面体 知识梳理 1．多面体的定义及特征 类别 多面体 定义 由若干个平面多边形所围成的封闭几何体 图形 相关概念 面：围成多面体的各个多边形 棱：相邻两个面的公共边 顶点：棱与棱的公共点 面对角线：一个多面体中，连接同一面上两个顶点的线段，除去多面体的棱 体对角线：连接不在同一面上两个顶点的线段 截面：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部) 2.命名：多面体可以按照围成它的面的个数来命名． 3．表面积(或全面积)：多面体所有面的面积之和． 二、棱柱的结构特征 知识梳理 1．棱柱的定义及表示 名称 棱柱 特征性质或定义 条件：①有两个面互相平行； ②顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形 图形表示及相关名称 棱柱ABCDE－A′B′C′D′E′(或棱柱AC′) 2.棱柱的侧面积：所有侧面的面积之和． 3．棱柱的分类 (1)按底面多边形的边数 棱柱 (2)按侧棱与底面是否垂直 棱柱 (3)特殊的四棱柱 例1　(1)(多选)下列关于棱柱的说法正确的是(　　) A．所有的面都是平行四边形 B．每一个面都不会是三角形 C．两底面平行，并且各侧棱也平行 D．被平面截成的两部分可以都是棱柱 答案　CD 解析　A错误，棱柱的底面不一定是平行四边形； B错误，棱柱的底面可以是三角形； C正确，由棱柱的定义易知； D正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱． (2)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点． ①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ ②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由． 解　①是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义． ②截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1. 反思感悟　棱柱结构的辨析方法 (1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是棱柱的定义． ①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形． ②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行． (2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除． 跟踪训练1　下列命题中正确的是(　　) A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 答案　D 解析　如图，该几何体上、下两个底面互相平行，其余各面都是四边形，但不是棱柱，故A错误；正六棱柱中有互相平行的两个侧面，但不能作为棱柱的底面，故B错误；长方体的各个面都是平行四边形，故C错误． 三、棱柱的计算问题 例2　现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积． 解　如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O， 体对角线A1C＝15，B1D＝9， ∴a2＋52＝152，b2＋52＝92， ∴a2＝200，b2＝56. ∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB2＝2＋2＝＝＝64， ∴AB＝8. ∴直四棱柱的侧面积S侧＝4×8×5＝160. S表＝S侧＋S四边形ABCD＋＝160＋2×BD·AC＝160＋40. 反思感悟　棱柱侧面积、表面积求法技巧 多面体的侧面积是所有侧面的面积之和，表面积是各个面的面积之和，计算面积时，需要将几何体展开为平面图形求解． 跟踪训练2　底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案　D 解析　根据题意，画出图形，如图所示，底面为正方形ABCD和正方形A′B′C′D′，底面对角线为BD＝，所以底面边长为AB＝1，又体对角线为BD′＝，所以高DD′＝2，所以这个棱柱的侧面积是4·S四边形ABB′A′＝4×1×2＝8. 四、棱柱展开图及其应用 例3　如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点记为M，则从点B经点M到C1的最短路线长为(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 答案　B 解析　沿侧棱BB1将正三棱柱的侧面展开，得到一个矩形BB1B1′B′(如图)． 由侧面展开图可知，当B，M，C1三点共线时，从点B经过点M到达C1的路线最短． 所以最短路线长为BC1＝＝2. 反思感悟　求几何体表面上两点间的最小距离 (1)将几何体沿着某棱剪开后展开，画出其侧面展开图． (2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题． (3)结合已知条件求得结果． 跟踪训练3　长方体ABCD－A1B1C1D1的长、宽、高分别为3,2,1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为________． 答案　3 解析　结合长方体的三种展开图，如图，不难求得AC1的长分别是＝＝2，＝＝3，＝，显然最小值为3. 1．知识清单： (1)多面体的定义． (2)棱柱的结构特征． (3)棱柱的计算问题． (4)棱柱展开图及其应用． 2．方法归纳：类比与化归． 3．常见误区：多面体的基本定义和棱柱的结构特征等基本概念问题混淆不清． 1．(多选)下面的几何体中，是棱柱的有(　　) 答案　AB 解析　棱柱有三个特征：(1)有两个面相互平行；(2)其余各面是四边形；(3)侧棱相互平行．CD不完全符合棱柱的三个特征，而AB符合． 2．(多选)对于棱柱而言，下列说法正确的是(　　) A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形 B．所有的棱长都相等 C．棱柱中至少有两个面的形状完全相同 D．相邻两个面的交线叫做侧棱 答案　AC 解析　A正确，根据棱柱的定义可知；B错误，因为侧棱与底面上棱长不一定相等；C正确，根据棱柱的特征知，棱柱中上、下两个底面一定是全等的，棱柱中至少有两个面的形状完全相同；D错误，因为底面和侧面的交线不是侧棱． 3．四棱柱的体对角线的条数为(　　) A．6 B．7 C．4 D．3 答案　C 解析　共有4条体对角线，一个底面上的每个顶点与另一个底面上不在同一面上的顶点连成一条体对角线． 4．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长相等且和为60 cm，则每条侧棱长为________cm. 答案　12 解析　该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，所以每条侧棱长为12 cm. 1．下列关于多面体的说法正确的是(　　) A．有多个面的几何体叫多面体 B．多面体最少有3个面 C．多面体最少有3个顶点 D．多面体是由若干个平面多边形所围成的封闭几何体 答案　D 解析　多面体最少有4个顶点，4个面． 2．用一个平面去截正方体，截面的形状不可能是(　　) A．三角形 B．正方形 C．等腰梯形 D．直角梯形 答案　D 3．下列说法正确的是(　　) A．底面是矩形的四棱柱是长方体 B．有两个面平行，其余四个面都是平行四边形的四棱柱是平行六面体 C．棱柱的各个侧面都是平行四边形 D．一个棱柱至少有六个面 答案　C 解析　底面是矩形的四棱柱有可能是斜棱柱，不一定是长方体，故A错误； 因为平行的两个面不一定是平行四边形，故有两个面平行，其余四个面都是平行四边形的四棱柱不一定是平行六面体，故B错误； 根据棱柱的结构特征可知，C正确； 底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故D错误． 4．设集合M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}，则这四个集合之间的关系是(　　) A．PNMQ B．QMNP C．PMNQ D．QNMP 答案　B 解析　根据定义知，正方体是特殊的正四棱柱，正四棱柱是特殊的长方体，长方体是特殊的直四棱柱，所以{正方体}{正四棱柱}{长方体}{直四棱柱}． 5．(多选)下列图形中，是三棱柱展开图的是(　　) 答案　ABD 解析　本题考查三棱柱展开图的形状，显然C无法将其折成三棱柱，ABD可以． 6．将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了(　　) A．6a2 B．12a2 C．18a2 D．24a2 答案　B 解析　原来正方体的表面积为S1＝6a2，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长为a，表面积为6×2＝a2，总表面积S2＝27×a2＝18a2，所以增加的表面积为S2－S1＝12a2. 7.如图所示，关于该几何体的正确说法有________．(填序号) ①这是一个六面体； ②这是一个四棱柱； ③此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到； ④此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到． 答案　①②③④ 解析　①正确，因为有六个面，属于六面体的范畴；②正确，若把几何体放倒就会发现是一个四棱柱；③④都正确，如图所示． 8．一个长方体共顶点的三个面的面积分别是，，，则这个长方体的体对角线长是________． 答案　 解析　设长方体长、宽、高分别为x，y，z， 取yz＝，xz＝，yx＝， 三式相乘得x2y2z2＝6， 即xyz＝， 解得x＝，y＝，z＝1， 所以＝＝. 9．如图，三棱柱ABC－A1B1C1，其中E，F，G，H是三棱柱对应棱上的中点，过此四点作截面EFGH，把三棱柱分成两部分，各部分形成的几何体是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由． 解　截面以上的几何体是三棱柱AEF－A1HG，截面以下的几何体是四棱柱BEFC－B1HGC1. 10.如图是一个正方体的表面展开图，A，B，C均为所在棱的中点，D为正方体的顶点．若正方体的棱长为2，求封闭折线ABCDA的长． 解　如图，AB＋BC＋CD＋DA ＝＋＋＋ ＝＋2＋， 即折线ABCDA的长为＋2＋. 11．1750年，欧拉在给哥德巴赫的一封信中列举了多面体的一些性质，其中一条是：如果用V，E和F表示凸多面体的顶点数、棱数和面数，则有如下关系：V－E＋F＝2.已知正十二面体有20个顶点，则正十二面体的棱有(　　) A．30条 B．14条 C．20条 D．26条 答案　A 解析　由已知条件得出V＝20，F＝12，由欧拉公式V－E＋F＝2可得E＝V＋F－2＝20＋12－2＝30，故选A. 12．在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，∠AA1B1＝∠AA1C1＝60°，∠BB1C1＝90°，侧棱长为b，则其侧面积为(　　) A.ab B.ab C．(＋)ab D.ab 答案　C 解析　如图，由已知条件可知，侧面AA1B1B和侧面AA1C1C为平行四边形，侧面BB1C1C为矩形． 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a， ∴BC＝a， ∴＝a·b＝ab. ∵∠AA1B1＝∠AA1C1＝60°，AB＝AC＝a， ∴点B到直线AA1的距离为asin 60°＝a. ∴＝＝ab， ∴S侧＝2×ab＋ab＝(＋)ab. 13.如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为(　　) A．2 cm B．13 cm C．11 cm D．17 cm 答案　B 解析　沿棱AA1将三棱柱展开，再拼接一次，如图所示，由图可知所求最短路线的长为＝13(cm)． 14．(多选)在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下平面图形或空间几何体的4个顶点，其中选项正确的是(　　) A．矩形 B．不是矩形的平行四边形 C．每个面都是等边三角形的四面体 D．每个面都是直角三角形的四面体 答案　ACD 解析　在正方体ABCD－A1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是：A矩形，如四边形ACC1A1；C每个面都是等边三角形的四面体，如A－CB1D1；D每个面都是直角三角形的四面体，如A－A1DC. 15.如图，往透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法： ①水的部分始终呈棱柱状； ②水面四边形EFGH的面积不改变； ③当E在AA1上时，AE＋BF是定值． 其中，正确的说法是________．(填序号) 答案　①③ 解析　显然水的部分呈棱柱状，故①正确；易知四边形EFGH是矩形，且EH保持不变，随着倾斜度的不同，EF长度也变化，所以四边形EFGH的面积也变化，故②不正确；由于水的体积不变，四棱柱ABFE－DCGH的高不变，所以梯形ABFE的面积不变，所以AE＋BF是定值，故③正确． 16．有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的边长分别为3a,4a,5a(a>0)，且它们拼成一个三棱柱或四棱柱，若在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，求实数a的取值范围． 解　若拼成一个四棱柱，有以下三种情况：以含3a边的侧面相接，新四棱柱底面如图①；以含4a边的侧面相接，新四棱柱底面如图②；以含5a边的侧面相接，新四棱柱的底面如图③，④. 相接的面积不在表面积中，故相接面的面积越大，得到的表面积越小， 所以上述三种情况中以含5a边的侧面相接时得到的四棱柱的表面积最小，此时表面积为S2＝4a×3a×2＋2×·(4a＋3a)＝24a2＋28. 若拼成一个三棱柱，则可将原三棱柱的底面相接，此时表面积为S1＝2××3a×4a＋2×(3a＋4a＋5a)＝12a2＋48.也可拼成底面形状如图⑤，⑥的三棱柱．由拼成四棱柱情况知，图⑤⑥时的表面积不是最小的． 为使S2<S1，需24a2＋28<12a2＋48， 解得0<a<. 即a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$