7.3.2 正弦型函数的性质与图象(2) （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第三册学习笔记（人教B版2019）

第七章　§7.3　三角函数的性质与图象 7.3.2　正弦型函数的性 质与图象(二) 学习目标 1.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象求其解析式. 2.会求正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期、单调性、最值、对称性. 3.能利用y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象解决有关综合问题. 同学们，大家有没有听说过一个成语“可见一斑”，大家知道这是什么意思吗？对，它比喻见到事物的一小部分也能推知事物的整体，大家想一想，这不正是说的三角函数吗？大家知道，三角函数是周期函数，故如果我们知道了一个周期上的三角函数的性质，这个时候是不是可以“可见一斑”了？ 导语 内容索引 一、已知图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 二、函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关性质 课时对点练 三、y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象的综合应用 随堂演练 已知图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 一 问题1　确定三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，就要确定三角函数的哪些参数？ 提示　A，ω，φ的值.其中A影响的是函数的最大、最小值，ω影响的是函数的周期. 问题2　如图，你能说说这个图象有什么特点吗？ 提示　这是一个周期上的函数图象，周期为π，最大值是3，最小值是－3.除此以外，我们还可以得到函数的单调性、对称轴、对称中心、函数的零点等函数的性质.由此，我们可以推出整个函数的性质. 例1　已知问题2中函数的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图象的一部分，求此函数的解析式. 8 方法一　(逐一定参法) ∴y＝3sin(2x＋φ). 9 方法二　(待定系数法) 由图象知A＝3. 10 方法三　(图象变换法) 11 给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法 (1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最大值点时代入公式ωx＋φ＝ ＋2kπ，k∈Z，选取最小值点时代入公式ωx＋φ＝ ＋2kπ，k∈Z. 反思感悟 12 (2)待定系数法：将若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式. (3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数. 反思感悟 13 跟踪训练1　函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图所示，则 √ 14 ∵图象在x＝1处取得最高点， 15 二 函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关性质 问题3　你能用正弦函数y＝sin x的性质类比三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质吗？ 提示　可以，利用整体代换的思想，当A>0，ω>0时，用ωx＋φ整体代换正弦函数中的x即可. 函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的有关性质 名称 性质 定义域 R 值域 [－A，A] 周期性 T＝_____ 对称中心 知识梳理 18 对称轴 奇偶性 当φ＝_________时是奇函数；当φ＝____________时是偶函数 单调性 kπ(k∈Z) 知识梳理 19 (1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间； 20 (2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心； 21 (3)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合. 22 有关函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质的问题，要充分利用正弦曲线的性质，要特别注意整体代换思想的应用. 反思感悟 23 √ √ 24 25 三 y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象的综合应用 (1)求函数解析式； 27 ∴A＝5. ∴y＝5sin(2x＋φ). 28 (2)指出函数的单调递增区间； 29 (3)求使y≤0的x的取值范围. 30 形如y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合问题，一般用公式T＝ 确定周期，将ωx＋φ看作一个整体，类比y＝sin x的有关性质求y＝Asin(ωx＋φ)的有关性质. 反思感悟 31 32 33 解得－3<a<－1或a＝1. ∴a的取值范围是(－3，－1)∪{1}. 34 1.知识清单： (1)由图象求解析式. (2)正弦型函数的性质：周期性、单调性、最值、对称性. (3)正弦型函数性质与图象的综合应用. 2.方法归纳：整体代换思想、数形结合、转化. 3.常见误区： (1)单调区间漏写k∈Z，用并集符号连接. (2)由图象求解析式中的φ时，选择点时出错. 课堂小结 随堂演练 四 √ ① 1 2 3 4 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 ①②③ 1 2 3 4 课时对点练 五 所以T＝π，ω＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 2.(多选)对于函数f(x)＝sin 2x，下列选项中正确的是 A.f(x)在 上单调递减 B.f(x)的图象关于原点对称 C.f(x)的最小正周期为2π D.f(x)的最大值为2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 因为f(－x)＝sin 2(－x)＝sin(－2x)＝－sin 2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故B正确； f(x)的最小正周期为π，故C错误； f(x)的最大值为1，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.如图所示，函数的解析式为 经验证，可得D项解析式符合题目要求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 则函数f(x)的值域为[1,3]，故B错误； ① 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 8.已知函数f(x)＝ ，对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则 |x1－x2|的最小值为____. 由不等式f(x1)≤f(x)≤f(x2)对任意x∈R恒成立，不难发现f(x1)，f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求函数f(x)的解析式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由函数f(x)的图象， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以T＝2π， 所以f(x)＝2sin(x＋φ)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求函数的解析式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以A＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以g(x)∈[1,4]， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 又根据函数的对称性可知f(1)＝f(3)＝－f(5) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(8)＝0, 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023) ＝252×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(8)]＋f(2 017)＋f(2 018)＋…＋f(2 023) ＝f(2 017)＋f(2 018)＋…＋f(2023) ＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 设图象对应的函数为y＝Asin(ωx＋φ)＋B， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函 数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式应是______________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x 0 1 2 3 4 y 1 0 1 －1 －2 由题意可知(0,1)，(2,1)关于对称轴对称，且对称轴x＝1，可知第二组数据错误，函数在x＝1处取得最大值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又0<ω<12，∴取k＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求函数f(x)的解析式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求函数f(x)的单调递增区间； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴－×2＋φ＝0＋2kπ，k∈Z， ∴φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|<， ∴φ＝，∴y＝3sin. 由图象知A＝3，T＝－＝π， ∴ω＝＝2， ∵点在函数图象上， ∵图象过点和， ∴解得 ∴y＝3sin. 由A＝3，T＝π，点在图象上， 可知函数图象由y＝3sin 2x向左平移个单位而得，  y＝3sin，即y＝3sin. A.ω＝，φ＝ B.ω＝，φ＝ C.ω＝，φ＝ D.ω＝，φ＝ ∴＋φ＝＋2kπ(k∈Z)， ∴φ＝＋2kπ(k∈Z)， ∵0≤φ<2π，∴φ＝. 由所给图象可知，＝2，∴T＝8. 又∵T＝，∴ω＝. (k∈Z)  x＝＋(k∈Z) ＋kπ(k∈Z) 由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z，解得单调递增区间； 由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z，解得单调递减区间 得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， 所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z). 函数f(x)的最小正周期T＝＝π， 例2　已知函数f(x)＝sin＋. 由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)， 令2x＋＝kπ(k∈Z)，则x＝－＋(k∈Z)， 所以对称中心为(k∈Z). 令2x＋＝＋kπ(k∈Z)， 则x＝＋(k∈Z)， 所以对称轴方程为x＝＋(k∈Z)； 此时x的取值集合是. 当sin＝－1， 即2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)， 即x＝－＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值为， 跟踪训练2　(多选)函数f(x)＝3sin的图象为C，则以下结论中正确的是 A.图象C关于直线x＝对称 B.图象C关于点对称 C.函数f(x)在区间上单调递增 D.由y＝3sin 2x的图象向右平移个单位可以得到图象C 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，故C正确； 函数y＝3sin 2x的图象向右平移个单位，得到函数y＝3sin＝3sin的图象，故D错误.  f ＝3sin＝3sin＝－.  f ＝3sin＝0，故A错误，B正确； 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 例3　已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象过点P，图象上离P点最近的一个最高点的坐标为. ∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z，∴φ＝－＋2kπ，k∈Z， 又|φ|<，∴φ＝－，∴y＝5sin. ∵图象最高点的坐标为， ∵＝－＝，∴T＝π，∴ω＝＝2， 代入点，得sin＝1， ∴函数的单调递增区间为(k∈Z). ∵函数的单调递增区间满足－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)， ∴－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)， ∴－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z). 故所求x的取值范围是(k∈Z). ∵5sin≤0， ∴－π＋2kπ≤2x－≤2kπ(k∈Z)， ∴－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z). 跟踪训练3　已知方程2sin－1＝a，x∈有两解，求a的取值范围. ∵x∈， ∴t∈， 作出y1＝sin t，t∈的图象如图， 由题意sin＝. 令y1＝sin，y2＝， 令t＝2x＋， 依题意要使y1＝sin t，t∈与y2＝的图象有两个不同交点. 则由图可知－1<<0或＝1. ∴y＝sin图象的对称轴方程为x＝－π＋(k∈Z)， 当k＝1时，有x＝－，故A正确. 1.函数y＝sin图象的一条对称轴的方程是 A.x＝－ 　　　B.x＝－ 　　　C.x＝ 　　　D.x＝ 令2x＋＝＋kπ(k∈Z)， 解得x＝－π＋(k∈Z)， 2.函数f(x)＝sin的一个单调递减区间是 A. B.[－π，0] C. D. 当k＝－1时，－≤x≤－，排除ABC； 当k＝0时，≤x≤，D项符合. 令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z， 得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z， A.－ 　　　B. 　　　C.－ 　　　D. 由图象可知A＝1，＝－，故T＝π，ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ)，由图象可知当x＝时，sin＝1，所以φ＝. 3.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 的部分图象如图所示，则φ的值为 4.关于函数f(x)＝2sin，有以下3种说法： ①其最小正周期为； ②图象关于点对称； ③直线x＝－是其一条对称轴. 其中正确说法的序号是________. 当x＝时，f ＝2sin＝0， 所以图象关于点对称， 当x＝－时，f ＝2sin＝2， 所以直线x＝－是其一条对称轴. T＝＝； 由题意知＝x2－x1＝－＝， 1.若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的最值点，则ω等于 A.2 　　　　B. 　　　　C.1 　　　　D. 因为函数y＝sin x在上单调递减， 所以f(x)＝sin 2x在上单调递减，故A正确； 由函数y＝sin－1的周期为，知＝，又ω>0，所以ω＝3，则对称轴方程为3x＋＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z. 3.若函数f(x)＝sin－1(ω>0)的周期为，则函数f(x)图象的对称轴方程为 A.x＝＋kπ(k∈Z) B.x＝－＋kπ(k∈Z) C.x＝＋(k∈Z) D.x＝－＋(k∈Z) 由题图知，T＝4×＝π， A.y＝sin B.y＝sin C.y＝sin D.y＝sin 所以|ω|＝＝2.又当x＝时，y＝1， 5.函数y＝2sin(ω>0)的周期为π，则其单调递增区间为 A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) ∵周期T＝π，ω>0，∴＝π，∴ω＝2. ∴y＝2sin. 由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 6.点P是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋m图象的一个对称中心，且点P到该图象的对称轴的距离的最小值为，则 A.f(x)的最小正周期是π B.f(x)的值域为[0,4] C.f(x)图象的对称轴为x＝＋kπ，k∈Z D.f(x)在上单调递增 代入①式得φ＝＋kπ(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝. 所以f(x)＝sin＋2. 由题意，得 且函数的最小正周期为T＝4×＝2π， 所以ω＝＝1，故A错误； 由x＋＝＋kπ，k∈Z，得图象的对称轴为x＝＋kπ，k∈Z，故C错误； 由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z， 得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z， 令k＝1，得≤x≤，故D正确. ∵x∈，∴－≤2x－≤， 7.函数f(x)＝sin，x∈，则当x＝___时，f(x)有最小值为______. － ∴当2x－＝－，即x＝0时，  f(x)＝sin取得最小值－. 故|x1－x2|的最小值为函数f(x)＝2sin的半个周期. 2sin 因为f(x)＝2sin的周期为π，所以|x1－x2|的最小值为. 9.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示. 可得A＝2，T＝＋＝， 因为ω>0，可得ω＝＝1， 又因为f(x)图象过点， 可得2sin＝－2， 即sin＝－1， 所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 解得φ＝＋2kπ，k∈Z， 又0<φ<，所以φ＝， 所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin. (2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)≥的解的集合. 将f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的， 得到g(x)＝2sin， 由g(x)≥，可得sin≥， 解得＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 所以kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 即不等式g(x)≥的解集为，k∈Z. 10.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象过点P，且图象上与P点最近的一个最低点坐标为. 因为一个最低点的坐标为， 又因为＝T，所以最小正周期T＝π， 所以ω＝＝2，所以y＝2sin(2x＋φ)， 因为点在函数图象上， 所以2×＋φ＝－＋2kπ，k∈Z， 解得φ＝－＋2kπ(k∈Z)， 又|φ|<，所以φ＝－， 所以函数的解析式为y＝2sin. (2)若将此函数的图象向左平移个单位后，再向上平移2个单位得到g(x)的图象，求g(x)在上的值域. 将y＝2sin的图象向左平移个单位后得到函数y＝2sin＝2sin的图象， 再向上平移2个单位得到g(x)＝2sin＋2的图象，因为x∈， 所以2x＋∈， 所以sin∈， 故函数g(x)在上的值域为[1,4]. 11.将函数y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位后得到的函数图象关于原点中心对称，则sin 2φ等于 A.－ 　　　　B. 　　　　C.－ 　　　　D. 由题意得变换平移后得到函数y＝sin， 由条件可知y＝sin为奇函数， 所以＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z， 所以sin 2φ＝sin＝sin＝－. 12.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分 图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)等于 A. 　　　B.0 　　　C.＋2 　　　D.－2 由f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象可知，A＝2，T＝8， 故ω＝＝， 又f(0)＝0且|φ|<，则可得出φ＝0， 故f(x)＝2sin x. ＝－f(7)＝，f(2)＝－f(6)＝2，f(4)＝f(8)＝0， ＝＋2＋＋0－－2－＝0. 13.将函数f(x)＝sin＋1的图象向右平移_____个单位后，再进行周期变换可以得到如图所示的图象 A. 　　B. 　　C. 　　D. 所以所给图象为y＝sin x＋1的图象， 故将函数f(x)＝sin＋1的图象向右平移个单位后，再进行周期变换可以得到如图所示的图象. 根据函数的图象可得A＝1.5－1＝0.5，＝T＝4－0， 则ω＝，B＝＝1，即y＝sin＋1， 将(0,1)代入可得sin φ＋1＝1，解得φ＝0， 14.某同学利用描点法画函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图象，列出的部分数据如表： y＝2sin 由(2,1)，(3，－1)关于中心对称， 可知函数的周期为T＝4×＝6， 故ω＝，A＝2，又－<φ<，故φ＝， 所以y＝2sin. 15.已知函数f(x)＝sin(ω>0)，f ＝f ，且f(x)在区间上有 最小值，无最大值，则ω＝________. ∵f(x)＝sin(ω>0)，f ＝f ，且f(x)在区间上有最小值，无最大值， ∴f(x)的图象关于直线x＝对称， 即关于直线x＝对称，且－<T＝， ∴·ω＋＝＋2kπ，k∈Z， 则ω＝8k＋，k∈Z， 得ω＝. 16.如图为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象. 由题中的图象知，A＝2，＝－＝， 所以T＝π，ω＝＝2，因为图象过点， 所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 解得φ＝＋2kπ，k∈Z， 因为|φ|<，所以φ＝， 故函数解析式为f(x)＝2sin. 令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间为， k∈Z. (3)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若方程g(x)＝m在上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围. 由题意得g(x)＝2sin在上的图象如图所示， 由函数的图象可知，当m∈时，方程g(x)＝m在上有两个不相等的实数根， 故实数m的取值范围是[，2). $$