7.3.2 正弦型函数的性质与图象(1) （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第三册学习笔记（人教B版2019）

7.3.2　正弦型函数的性 质与图象(一) 第七章　§7.3　三角函数的性质与图象 学习目标 1.理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω，φ，A对图象的影响.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变 换关系. 2.理解用五点法作图作y＝Asin(ωx＋φ)的图象. 3.了解y＝Asin(ωx＋φ)图象的物理意义，能指出振幅、周期、频率、初相. 如图是观缆车的示意图，设缆车转轮半径长为A，角速度为ω rad/s.点P0表示座椅的初始位置.此时∠xOP0＝φ.当转轮转动t s后，点P0到达点P的位置，于是，以Ox为始边，OP为终边的角为ωt＋φ，由正弦函数的定义，得点P的纵坐标y与时间t的函数关系为y＝Asin(ωt＋φ). 导语 这种函数我们称为正弦型函数，那么正弦型函数的图象与正弦曲线有何关系呢？ 内容索引 一、平移变换：φ对函数y＝sin(x＋φ)图象的影响 二、伸缩变换：A和ω(A>0，ω>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ) 图象的影响 课时对点练 三、用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)的图象 随堂演练 四、正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)中，A，ω，φ的物理意义 平移变换：φ对函数y＝sin(x＋φ)图象的影响 一 问题1　你能在同一坐标系下画出y＝sin x和y＝sin 的函数图象吗？ 它们之间有什么关系？ φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响 左 右 知识梳理 8 √ 9 √ 10 对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数.再观察x前的系数，当x前的系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和 方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为 个单位. 反思感悟 11 √ 12 13 二 伸缩变换：A和ω(A>0，ω>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 1.ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响 知识梳理 19 2.A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 伸长 缩短 知识梳理 20 伸长 21 22 由函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种不同路径： 注意先平移后伸缩和先伸缩后平移，平移的量是不同的，应用时要区分清楚，以免混乱而导致错误. 反思感悟 23 √ 24 25 三 用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)的图象 例3　利用五点法作出函数y＝3sin 在一个周期内的草图. 描点作图，如图所示. 27 (1)用“五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx＋φ分别为0， 2π，解出x，从而确定这五点. (2)作给定区间上y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，若x∈[m，n]，则应先求出ωx＋φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x，y的值，描点(有时会六个点)、连线并作出函数的图象. 反思感悟 28 29 列表如下. 30 描点作图，如图所示. 31 四 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)中，A，ω，φ的物理意义 1.振幅：当函数y＝Asin(ωx＋φ)表示一个物体做简谐运动的位移时，|A|表示物体能偏离平衡位置的最大距离. 2.初相：____在决定x＝0时物体的位置(即Asin φ)中起关键作用. 3.周期：T＝____表示物体完成一次运动所需要的时间. 4.频率：f＝_____＝_____表示单位时间内能够完成的运动次数. φ 知识梳理 33 1.知识清单： (1)平移变换. (2)伸缩变换. (3)五点法作图. (4)y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：先平移和先伸缩时平移的量不一样. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 √ 由三角函数伸缩变换法则可知选A. 3.利用“五点法”作函数y＝2sin 的图象时，所取的五个点的坐标 为______________________________________. 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 课时对点练 六 1.函数y＝sin x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝sin ωx，则ω的值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 2.(多选)下列说法正确的是 A.将y＝sin x的图象向右平移π个单位，得到y＝－sin x的图象 B.将y＝sin x的图象向右平移2个单位，得到y＝sin(x＋2)的图象 C.将y＝sin(－x)的图象向左平移2个单位，得到y＝sin(－x－2)的图象 D.为得到函数y＝sin x－1的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有点向 右平移1个单位 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 将y＝sin x的图象向右平移π个单位所得图象的解析式为y＝sin(x－π)＝－sin(π－x)＝－sin x，所以A正确； 将y＝sin x的图象向右平移2个单位所得图象的解析式为y＝sin(x－2)，所以B不正确； 将y＝sin(－x)的图象向左平移2个单位所得图象的解析式为y＝ sin[－(x＋2)]＝sin(－x－2)，所以C正确； 只需把y＝sin x的图象上所有点向下平移1个单位，便可得到函数y＝sin x－1的图象，所以D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4.将函数y＝sin 2x的图象向右平移 个单位，所得图象对应的函数是 A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 因为－sin(－2x)＝sin 2x，所以所得图象对应的函数是奇函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.把函数y＝sin 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位，再向下平移1个单位，得到的图象是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 把函数y＝sin 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin x＋1的图象，然后把所得函数图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位，得到函数y＝sin(x＋1)的图象，故B满足题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ A，D中的变换方式满足要求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 将函数y＝sin x的图象向左平移φ个单位后，得y＝sin(x＋φ)的图象， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 列表. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 描点作图，如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由题意，可采用逆向思维. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.下列函数中：①y＝－sin 2x；②y＝cos 2x；③y＝3sin ，其图象 仅通过向左(或向右)平移就能与函数f(x)＝sin 2x的图象重合的是_______. (填上符合要求的函数对应的序号) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ①② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.已知函数f(x)＝Asin ωx(A>0，ω>0)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数 为y＝g(x). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 ∵f(x)的最小正周期为π， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 所得图象对应的函数为g(x)＝Asin x， ∴A＝2，∴f(x)＝2sin 2x， 16.已知函数f(x)＝2sin ωx，其中常数ω>0.令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移 个单位，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且a<b)满足：y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b－a的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由f(x)＝2sin 2x可得， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点， 提示　画出函数图象，如图所示.我们分别在这两条曲线上选取纵坐标相同的点A，B，沿两条曲线同时移动这两点，并保持它们的纵坐标相等，在上述移动的过程中，线段AB的长度保持不变.可以发现，y＝sin的图象上的点的横坐标总是等于y＝sin x的图象上的点的横坐标加，这说明y＝sin的 图象可以看作是把正弦函数y ＝sin x的图象上所有的点向右 平移个单位而得到的. 因为y＝sin＝sin， 例1　要得到函数y＝sin的图象，只要将函数y＝sin 2x的图象 A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 所以将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位， 就可得到函数y＝sin的图象. 因为y＝sin＝sin，只需将函数的图象向右平移个单位， 延伸探究　要得到函数y＝sin 2x的图象，只要将函数y＝sin的图象 A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 就得到y＝sin＝sin 2x的图象. 因为y＝cos＝sin＝sin＝sin， 跟踪训练1　(1)要得到y＝cos的图象，只要将y＝sin 2x的图象 A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 所以只需将y＝sin 2x的图象向左平移个单位即可得到y＝cos的图象. 将函数y＝sin的图象向右平移个单位， (2)将函数y＝sin的图象向右平移个单位，则所得图象的解析式为______________. y＝－sin 2x 所得图象对应的函数为y＝sin＝sin(2x－π)＝－sin 2x. 问题2　借助多媒体，在同一坐标系下画出y＝sin和y＝sin的函数图象如图所示，结合问题1，你能得到什么？ 提示　可以发现，对于同一个y值，y＝sin的图象上的点的横坐标总是等于y＝sin的图象上的点的横坐标的，这说明y＝sin的图象可以看作是把正弦曲线y＝sin上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)而得到的. 问题3　借助多媒体，在同一坐标系下画出y＝sin和y＝3sin的图象，如图所示，你能发现什么？ 提示　可以发现对于同一个x值，y＝3sin的图象上的点的纵坐标总是等于y＝sin的图象上的点的纵坐标的3倍，这说明y＝3sin的图象可以看作是把正弦曲线y＝sin上所有点的纵坐标变为原来的3倍(横坐标不变)得到的. 例2　(1)函数y＝2sin图象上所有点的横坐标保持不变，将纵坐标______(填“伸长”或“缩短”)为原来的_____倍，将会得到函数y＝3sin的图象. A＝3>2，故函数y＝2sin图象上所有点的横坐标保持不变，将纵坐标伸长为原来的倍，即可得到函数y＝3sin的图象. (2)将函数y＝sin的图象经过怎样的变换能得到函数y＝sin x的图象？ 方法一　把函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再把所得各点向左平移个单位，就得到y＝sin x的图象. 方法二　把函数y＝sin＝sin的图象上所有的点向左平移个单位，得到y＝sin x的图象，再把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，就得到y＝sin x的图象. 跟踪训练2　将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是 A.y＝sin B.y＝sin C.y＝sin D.y＝sin 将y＝sin x的图象向右平移个单位得到y＝sin的图象， 再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y＝sin的图象. 依次令x－＝0，，π，，2π，列出下表. x－ 0 π 2π x y＝3sin 0 3 0 －3 0 ，π，， 跟踪训练3　已知y＝1＋sin，画出y在x∈上的图象. ∵x∈，∴2x－∈. 2x－ － －π － 0 x － － － y＝1＋sin 2 1 1－ 1 1＋ 2 所以周期T＝＝4π，振幅A＝2，初相φ＝－.  y＝－2sin＝2sin， 1.函数y＝－2sin的周期、振幅、初相分别是 A.2π，－2， B.4π，－2， C.2π，2，－ D.4π，2，－ 2.为了得到函数y＝4sin，x∈R的图象，只需将函数y＝4sin， x∈R的图象上所有点的 A.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 ，，，， 故五个点的坐标为，，，，. 令2x－＝0，，π，，2π得x＝，，，，， 4.将函数f(x)＝sin的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，则所得图象对应的函数解析式为 ______________.  y＝sin 再将图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象. 将函数f(x)＝sin的图象向左平移个单位后，得到函数y＝sin＝sin的图象， 由题意可知得到图象的解析式为y＝sin x，所以ω＝. A.2 　　　　B. 　　　　C.4 　　　　D. 函数y＝sin＝sin，所以将y＝sin＝sin的图象向右平移个单位，可得函数y＝sin＝sin的图象. 3.为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝sin的图象 A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位  y＝sin 2x  y＝sin＝sin＝－sin(π－2x)＝－sin 2x. 6.(多选)以下四种变换方式，能将函数y＝sin x的图象变换成函数y＝sin的图象的是 A.向左平移个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的 B.向右平移个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的 C.将每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位 D.将每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位 B中的变换得到y＝sin的图象； C中的变换得到y＝sin的图象. 而y＝sin＝sin，所以φ＝. 7.将函数y＝sin x的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y＝sin的图象，则φ＝_____. 8.将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位得到y＝sin x的图象，则f ＝_____. 把函数y＝sin x的图象向左平移个单位得到y＝sin的图象，再把函数y＝sin图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f(x)＝sin的图象，所以f ＝sin ＝. 9.函数f(x)＝5sin－3的图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的？ 先把函数y＝sin x的图象向右平移个单位， 得到函数y＝sin的图象； 再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象； 然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)得到函数y＝5sin的图象，最后将所得函数图象向下平移3个单位，得到函数y＝5sin－3的图象. 10.已知函数y＝sin，x∈R.用五点法作出它在一个周期内的简图. 2x＋ 0 π 2π x － y＝sin 0 0 － 0 令4x－＝，得x＝， 11.用“五点法”作函数y＝sin在一个周期内的图象时，第四个关键点的坐标是 A. B. 　　C. 　　D. ∴该点坐标为. 12.先将y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后将图象向右平移个单位，所得图象恰与y＝sin的图象重合，则f(x)等于 A.sin B.sin C.sin D.sin 首先将函数y＝sin的图象向左平移个单位， 得到y＝sin＝sin的图象， 然后把图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到y＝sin的图象. 13.设ω>0，函数y＝sin＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的值可以为 A. 　　　　B.2 　　　　C.3 　　　　D. 函数y＝sin＋2的图象向右平移个单位后，得到函数y＝sin＋2＝sin＋2的图象，因为两图象重合， 所以ωx＋＝ωx－＋＋2kπ，k∈Z， 解得ω＝k，k∈Z，又ω>0，所以当k＝2时，ω＝3. 将y＝－sin 2x的图象向左平移个单位，可得到y＝－sin＝sin 2x的图象，故①符合要求； 将y＝cos 2x＝sin的图象向右平移个单位，可得到y＝sin＝sin 2x的图象，故②符合要求； 对于③，y＝3sin，无论向左还是向右平移，纵坐标不变，故不符合条件. 若g＝，则f 的值为______. ∴＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝Asin 2x， ∵g＝，∴g＝Asin ＝A＝， ∴f ＝2sin ＝2×＝. g(x)＝2sin＋1＝2sin＋1， g(x)＝0⇒sin＝－⇒x＝kπ－或x＝kπ－，k∈Z， 即g(x)的零点相邻间隔依次为和， 则b－a的最小值为14×＋15×＝. $$