7.3.1 正弦函数的性质与图象(1) （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第三册学习笔记（人教B版2019）

7.3.1　正弦函数的性质 与图象(一) 第七章　§7.3　三角函数的性质与图象 学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义. 2.利用正弦线理解正弦函数的性质. 3.掌握正弦函数的性质及其应用. 根据三角函数的定义可知，“单位圆上点的坐标就是三角函数”，因此，单位圆的性质与三角函数的性质有天然的联系，因此，可以借助单位圆研究三角函数的性质，这节课就从单位圆入手开启正弦函数性质的学习吧！ 导语 内容索引 一、正弦函数 二、函数的周期性 课时对点练 三、正弦函数y＝sin x的性质 随堂演练 四、正弦函数的奇偶性与周期性 五、正弦函数的值域与最值 六、正弦函数的单调性及应用 正弦函数 一 问题1　角α的终边与单位圆的交点是否唯一？该交点的纵坐标是什么？ 提示　唯一，纵坐标y＝sin α. 正弦函数 对于任意一个角x，都有唯一确定的正弦sin x与之对应，因此y＝sin x是一个函数，一般称为正弦函数. 知识梳理 7 二 函数的周期性 问题2　角α与α＋2kπ(k∈Z)两者的正弦值有怎样的关系？2kπ，k∈Z且k≠0的最小正值为多少？ 提示　相等，2π. 1.周期性：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的_________，都满足f(x＋T)＝_____，那么就称函数f(x)为周期函数，非零常数____称为这个函数的周期. 2.最小正周期：如果函数f(x)的所有周期中存在一个___________，那么这个最小的正数就称为f(x)的最小正周期. 每一个x f(x) T 最小的正数 知识梳理 10 注意点： (1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立. (2)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期. (3)三角函数的周期是函数的整体性质，我们在研究函数时，只需研究一个周期上的图象和性质即可. (4)若不加特殊说明，一般求三角函数的周期的问题，求的是函数的最小正周期. 知识梳理 11 三 正弦函数y＝sin x的性质 名称 性质 y＝sin x 定义域 ____ 值域 _______ 最值 当且仅当_______________时，函数y＝sin x的最大值ymax＝__； 当且仅当_______________时，函数y＝sin x的最小值ymin＝___ 1 －1 [－1,1] R 知识梳理 13 奇偶性 ________ 周期性 最小正周期：2π 单调性 在_______________________上递增； 在_______________________上递减 零点 ___________ 奇函数 kπ，k∈Z 知识梳理 14 注意点： (1)正弦函数的单调性只针对区间，不能针对象限. (2)正弦函数不是单调函数，但它有无数个单调区间. (3)利用单调性，可以比较同一个单调区间内的同名三角函数值的大小. 知识梳理 15 四 正弦函数的奇偶性与周期性 例1　(1)f(x)＝ ＋x2sin x的奇偶性是________. f(x)＝sin x＋x2sin x， ∵x∈R，f(－x)＝sin(－x)＋(－x)2sin(－x) ＝－sin x－x2sin x＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数. 奇函数 17 18 所以上述等式成立， 19 (1)定义法求函数的周期：紧扣周期函数的定义，寻求对定义域内的任意x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T，该方法主要适用于抽象函数. (2)定义法判断函数的奇偶性：从f(－x)的解析式中拼凑出f(x)的解析式，再依据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)来判断. 反思感悟 20 跟踪训练1　(1)函数y＝|sin x|，x∈R的最小正周期为____. π 设f(x)＝|sin x|， ∵f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝f(x)， ∴y＝|sin x|的最小正周期为π. 21 (2)函数f(x)＝xsin(π＋x) A.是奇函数，但不是偶函数 B.是偶函数，但不是奇函数 C.既是奇函数，又是偶函数 D.既不是奇函数，也不是偶函数 √ 易知函数f(x)的定义域R关于原点对称， ∵f(x)＝xsin(π＋x)＝－xsin x， f(－x)＝(－x)sin(π－x)＝－xsin x＝f(x)≠－f(x)， ∴f(x)是偶函数，不是奇函数. 22 五 正弦函数的值域与最值 例2　(1)函数f(x)＝－2sin x＋1，x∈ 的值域是 A.[1,3] B.[－1,3] C.[－3,1] D.[－1,1] √ ∴f(x)＝－2sin x＋1∈[－1,3]. 24 (2)求函数f(x)＝sin(π＋x)－cos2x的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时x的值. 25 f(x)＝sin(π＋x)－cos2x＝－sin x－1＋sin2x＝sin2x－sin x－1， 令t＝sin x， 26 ∵－1≤sin x≤1， 27 与正弦函数有关的最值 (1)一次型：如果是关于正弦函数的一次式，要根据一次项系数的正负确定最值. (2)二次型：如果是关于正弦函数的二次式，则通过换元转化为一元二次函数配方求最值. (3)分式型：含有sin x或cos x的分式型函数求值域，往往先分离常量，进而求解，有时用反解法求出sin x或cos x，利用有界性建立不等式求解. 反思感悟 28 跟踪训练2　(1)(多选)已知函数f(x)＝2asin x＋a＋b的定义域是 值域为[－5，－1]，则a，b的值为 A.a＝2，b＝－7 B.a＝－2，b＝2 C.a＝－2，b＝1 D.a＝1，b＝－2 √ √ 29 30 f(x)＝－2(1－sin2x)＋2sin x＋3 ＝2sin2x＋2sin x＋1 当sin x＝1时，y取最大值ymax＝5； 31 六 正弦函数的单调性及应用 例3　(1)y＝－3sin x＋1的单调递减区间为__________________________， 若x∈[0，π]，则y＝－3sin x＋1的单调递减区间为______. 33 y＝－3sin x＋1单调递减， 若x∈[0，π]， 34 (2)比较sin 196°与cos 156°的大小. sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°， cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°. ∵当0°≤x≤90°时，y＝sin x单调递增， ∴sin 16°<sin 66°， 故sin 196°>cos 156°. 35 (1)求形如y＝asin x＋b的三角函数的单调性，当a<0时，要求y＝asin x＋b的单调递增区间，即求y＝sin x的单调递减区间. (2)用正弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小. 反思感悟 36 37 在y＝Asin x中(A>0)，单调区间与A无关，仍为sin x的单调区间， 38 1.知识清单： (1)正弦函数的奇偶性、单调性、最值、零点. (2)函数的周期性，正弦函数的周期性. 2.方法归纳：分类讨论、数形结合. 3.常见误区：求形如y＝asin x＋b(a<0)的单调性时，忽略a<0的影响. 课堂小结 随堂演练 七 1.函数y＝－2sin x是 A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数 设f(x)＝－2sin x，x∈R， ∵f(－x)＝－2sin(－x)＝2sin x＝－f(x)， ∴函数y＝－2sin x是奇函数. 1 2 3 4 √ 2.已知2a－1－3sin x＝0，则a的取值范围是 A.(－1,2) 　　　　B.[0,1] 　　　　C.(0,1) 　　　　D.[－1,2] 2a－1＝3sin x，∵sin x∈[－1,1]， ∴－3≤2a－1≤3，即－1≤a≤2. 1 2 3 4 √ 3.y＝sin x－1在以下哪个区间上单调递减 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 课时对点练 八 1.函数f(x)＝sin(－x)是 A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 由于x∈R，且f(－x)＝sin x＝－sin(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 2.使函数f(x)＝sin(2x＋φ)为奇函数的φ的值可以是 由函数f(x)是R上的奇函数，知f(0)＝0，即sin(2×0＋φ)＝sin φ＝0，故φ＝kπ(k∈Z)，故C符合. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是 对于D，当x∈(－1,1)时的图象与其他区间图象不同，不是周期函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4.函数y＝9－sin x的单调递增区间是 y＝9－sin x的单调递增区间与y＝sin x的单调递减区间相同. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C.[2kπ，π＋2kπ](k∈Z) D.[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z) √ 5.下列关系式中正确的是 A.sin 11°<cos 10°<sin 168° B.sin 168°<sin 11°<cos 10° C.sin 11°<sin 168°<cos 10° D.sin 168°<cos 10°<sin 11° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°， cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°. ∴由正弦函数的单调性， 得sin 11°<sin 12°<sin 80°， 即sin 11°<sin 168°<cos 10°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 7.函数y＝2sin x－ 　的零点为_______________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若x是三角形的最小角，则y＝sin x的值域是________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.比较下列各组值的大小： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.函数y＝asin x＋1的最大值为1－a，最小值为－3. (1)求实数a的值； ∵ymax＝1－a，∴a<0， 故ymin＝1＋a＝－3，∴a＝－4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求该函数的单调递增区间； 由(1)得y＝－4sin x＋1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 函数y＝－4sin x＋1单调递增， (3)若x∈[－π，π]，求该函数的单调递增区间. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)已知函数f(x)＝ (x∈R)，下面结论正确的是 A.函数f(x)的最小正周期为2π B.函数f(x)在区间 上单调递减 C.函数f(x)的图象关于原点对称 D.函数f(x)是偶函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ y＝f(x)＝cos2x＋sin x＝－sin2x＋sin x＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋1)＝ (f(x)≠0). (1)求证：函数f(x)是周期函数； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以f(x)是周期函数，2就是它的一个周期. (2)若f(x)满足在[－4，－3]上单调递增，且α，β为锐角三角形的两个内角，试判断f(sin α)与f(cos β)的大小关系. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为2是f(x)的一个周期，且f(x)在[－4，－3]上单调递增， 所以f(x)在[0,1]上单调递增. 又因为sin α∈(0,1)，cos β∈(0,1)， 所以f(sin α)>f(cos β). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x＝＋2kπ，k∈Z x＝＋2kπ，k∈Z (k∈Z) (k∈Z) cos (2)判断等式sin＝sin是否成立？如果成立，能否说明是函数y＝sin x的周期？ 理由如下，若是函数y＝sin x的周期， 则对任意的实数x，都有sin＝sin x， 但当x＝0时，sin≠sin x，所以不是函数y＝sin x的周期. sin＝sin ＝sin＝－sin ， 而sin＝－sin ， 但不能说明是函数y＝sin x的周期， ∵x∈，∴sin x∈[－1,1]， ymin＝－，此时sin x＝，x＝＋2kπ，k∈Z或x＝＋2kπ，k∈Z. 则y＝t2－t－1＝2－，t∈[－1,1]. 因为－1≤t≤1，所以－≤y≤1， 所以ymax＝1，此时sin x＝－1，x＝－＋2kπ，k∈Z； 所以函数y＝的值域为. (3)求函数y＝的值域. 原式可化为y＝1－， ∴≤≤2，得－1≤y≤， ， 因为f(x)＝2asin x＋a＋b的定义域是，所以0≤sin x≤1. 当a<0时，由题意解得 当a>0时，由题意解得 当sin x＝时，y取最小值ymin＝. (2)求函数y＝－2cos2x＋2sin x＋3，x∈的最大值和最小值. ＝22＋. ∵x∈，∴≤sin x≤1. (k∈Z) ∴当x∈[0，π]时，y＝－3sin x＋1的单调递减区间为. 当－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z时， ∴y＝－3sin x＋1的单调递减区间为(k∈Z). ∵(k∈Z)∩[0，π]＝. ∵y＝sin x在上单调递增， 且－<－<<， ∴sin<sin ，即sin<sin . 跟踪训练3　(1)比较sin与sin 的大小. sin＝sin＝sin， sin ＝sin＝sin . (2)y＝sin x＋1的单调递减区间为_________________________. ，k∈Z 故y＝sin x＋1的单调递减区间为，k∈Z. ∴y＝sin x－1在上单调递减. ∵y＝sin x－1的单调递减区间为，k∈Z， A. 　　B. 　　C. 　　D. sin>sin sin＝sin＝sin ， 因为0<<<，且y＝sin x在上单调递增， 所以sin >sin ，即sin>sin. sin＝sin＝sin ＝sin＝sin ， 4.sin与sin的大小关系为__________________.(用“>”连接) A. 　　　　B. 　　　　C.π 　　　　D. A.(k∈Z) B.(k∈Z) 6.定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f 等于 A.－ 　　　　B. 　　　　C.－ 　　　　D.  f ＝f ＝f  ＝f ＝f ＝sin ＝. 令2sin x－＝0，得sin x＝. ＋2kπ或＋2kπ，k∈Z 所以x＝＋2kπ或＋2kπ，k∈Z. 由三角形内角和为π可知，若x为三角形中的最小角，则0<x≤，所以y∈. sin ＝sin＝sin . (1)sin 和sin ； ∵0<<<， 且y＝sin x在区间上单调递增， ∴sin <sin ，即sin <sin . ∵－<－<－<， (2)sin和sin； 且y＝sin x在区间上单调递增， ∴sin>sin. sin ＝sin＝sin ， (3)sin 和sin . sin ＝sin＝sin . ∵0<<<，且y＝sin x在区间上单调递增， ∴sin <sin ，即sin <sin . 当＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z时， ∴y＝－4sin x＋1的单调递增区间为(k∈Z). ∵x∈[－π，π]，(k∈Z)∩[－π，π]＝∪. ∴当x∈[－π，π]时，y＝－4sin x＋1的单调递增区间为，. ∵f(x)＝cos＝－sin x，结合函数y＝－sin x的性质知A，B，C正确. cos 12.设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)＝则f 的值等于 A.1 　　　　B. 　　　　C.0 　　　　D.－  f ＝f ＝f ＝sin ＝. 令t＝sin x，∵|x|≤， 13.已知|x|≤，则函数f(x)＝cos2x＋sin x的最小值为________. ∴－≤sin x≤，即－≤t≤. 则y＝－t2＋t＋1＝－2＋， ∴当t＝－，即x＝－时，f(x)有最小值，且最小值为. 由y＝＝2－， 14.y＝的最小值是_____. 当sin x＝－1时，y＝取得最小值－2. 15.若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω的最小正值为 A.3 　　　　B.2 　　　　C. 　　　　D. 由题意知函数在x＝时取最大值. ∴＝2kπ＋，k∈Z， ∴ω＝6k＋，k∈Z，当k＝0时，ω最小正值为. － 因为f(x＋1)＝－， 所以f(x＋2)＝－＝－＝f(x)， 所以sin α>sin＝cos β， 又α，β为锐角三角形的两个内角，且α＋β>， 所以0<－β<α<， 因为y＝sin x在上单调递增， $$