7.2.2 单位圆与三角函数线 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第三册学习笔记（人教B版2019）

7.2.2　单位圆与三角函数线 第七章　§7.2　任意角的三角函数 学习目标 1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切. 2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题. 前面我们学习了三角函数的坐标法定义，三角函数在各象限内的符号，由三角函数的定义我们知道，对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，那么正弦、余弦、正切函数能否用图形表示出来呢？带着这一问题来开启这一节课的学习吧. 导语 内容索引 一、单位圆 二、三角函数线 课时对点练 三、利用三角函数线比较大小 随堂演练 四、利用三角函数线解不等式(组) 单位圆 一 问题1　设点P(x，y)，点P到原点的距离为1，那么x与y具有怎样的关系？若点P是角α终边上的点，则点P的坐标又可以如何表示？ 提示　x2＋y2＝1，P(cos α，sin α). 1.在平面直角坐标系中，坐标满足_________的点组成的集合称为单位圆. 2.角α的终边与单位圆的交点为P，则P的坐标为(cos α，sin α)，也就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的_______和_______. x2＋y2＝1 横坐标 纵坐标 知识梳理 7 二 三角函数线 问题2　在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，过点A(1,0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，结合三角函数的定义，sin α，cos α，tan α与MP，OM，AT有什么关系？ 提示　MP，OM，AT三线段的长度分别为|sin α|，|cos α|，|tan α|. 问题3　如何体现出三角函数值的符号？ 1.如果过角α的终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M，点A(1,0)，角α的终边所在直线与直线x＝1交于点T，如图. 2.正弦线、余弦线和正切线都称为___________. 三角函数线 知识梳理 11 A.正弦线 B.余弦线 C.正切线 D.不能确定 √ 12 13 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线. (2)作正切线时，应从点A(1,0)引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线 . 反思感悟 14 跟踪训练1　在单位圆中画出满足sin α＝ 的角α的终边，并求角α的取值集合. 15 则射线OP1，OP2是角α的终边， 16 三 利用三角函数线比较大小 例2　比较下列各组数的大小. 18 19 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步 (1)角的位置要“对号入座”. (2)比较三角函数线的长度. (3)由有向线段的方向确定三角函数值的正负. 反思感悟 20 跟踪训练2　利用三角函数线，比较： (1)sin 75°与sin 146°的大小； ∴sin 75°>sin 146°. 21 如图， 22 四 利用三角函数线解不等式(组) 例3　在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合. 则OA与OB围成的区域(如图(1)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围. 24 则OC与OD围成的区域(如图(2)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围. 25 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角函数不等式，应注意以下两点 (1)先找到“正值”区间，即0～2π内满足条件的角θ的范围，然后再加上周角的整数倍. (2)注意区间是开区间还是闭区间. 反思感悟 26 跟踪训练3　求函数y＝ 的定义域. 由题意知，自变量x应满足1－2cos x≥0， 则不等式的解集如图(阴影部分，包括边界)所示， 27 1.知识清单： (1)单位圆. (2)三角函数线. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：三角函数线是有方向的线段，方向决定正负. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 √ A.正弦线 B.余弦线 C.正切线 D.不能确定 ∴有相同的正切线. 1 2 3 4 √ A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.b<a<c 1 2 3 4 √ 4.不等式sin x≤ 的解集为________________________________. 1 2 3 4 课时对点练 六 依题意，点A的坐标为(cos 60°，sin 60°)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 2.如图，在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.(多选)下列四个命题中，正确的是 A.当α一定时，单位圆中的正弦线一定 B.在单位圆中，有相同正弦线的角相等 C.α和α＋π有相同的正切线 D.具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 由三角函数线的定义知ACD正确，B错误. A.1 　　　　B.2 　　　　C.3 　　　　D.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.已知θ∈ ，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线的长度分 别是a，b，c，则它们的大小关系是 A.a>b>c B.c>a>b C.c>b>a D.b>c>a 由三角函数线易得正切线的长度>正弦线的长度>余弦线的长度，即c>a>b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 点P从点(1,0)开始逆时针旋转到点P′， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.比较大小：tan 1_____tan .(填“>”或“<”) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 < 8.若角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线的长度相等，且符号相异，则α的值 为________. 根据角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线的长度相等，且符号相异可知sin α＝－cos α， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线. (1)70°； 如图，设70°角的终边与单位圆的交点为P，过点P 作x轴的垂线，垂足为M； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在直角坐标系中作单位圆，如图所示， 解集为图中阴影重叠的部分， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.若函数f(x)＝2cos x－1，且f(x)的最大值为m，最小值为n，则m＋n等于 A.－1 　　　　B.2 　　　　C.0 　　　　D.－2 由三角函数线知cos x最大为1，最小为－1， ∴f(x)max＝2－1＝1. f(x)min＝2×(－1)－1＝－3. 故m＝1，n＝－3，所以m＋n＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 13.如图所示，在平面直角坐标系中，　，　，　，　 　是圆x2＋y2＝1上的四段弧，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边.若tan α<cos α<sin α，则点P所在的圆弧是 A. 　　　　　B. 　　　　　C. 　　　　　D. 分别在几段圆弧上画出其三角函数线(图略)，可知C正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由图可知， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.点P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 所以sin 3>0，cos 3<0.所以sin 3－cos 3＞0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故点P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又S△AOP<S扇形AOP<S△AOT， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 提示　用有向线段表示三角函数值，也就是用表示sin α，表示 cos α，表示tan α，规定其方向与x轴(或y轴)的正方向同向时，表示三角函数值为正值，与x轴(或y轴)的正方向相反时，表示三角函数值为负值. 习惯上，称为角α的余弦线，为角α的正弦线，为角α的正切线. 角和角的终边互为反向延长线，所以正切线相同. 例1　(1)角和角有相同的 则角的正弦线为，余弦线为，正切线为. 作角的终边(如图)，与单位圆的交点为P， 作PM垂直于x轴，垂足为M， (2)作出角的正弦线、余弦线和正切线. 过A(1,0)作单位圆的切线AT，与角的终边 的反向延长线交于点T，   已知角α的正弦值为，所以在y轴上取点 ，过该点作x轴的平行线，交单位圆 于P1，P2两点， 因而角α的取值集合为. 因为||>||，且角和角的余弦均 为负数，所以cos >cos . 如图，在单位圆中分别作出角和角的 余弦线和. (1)cos 和cos ； 因为||<||，且的正弦和正切均为正数， 所以tan >sin . 如图，分别作出的正弦线和正切线. (2)sin 和tan . 由图知，角的正弦线和正切线分别为，， 如图，在单位圆中，分别作出75°和146°的 正弦线，. ∵||>||，且符号皆正， (2)tan 与tan 的大小. ∴tan <tan . ∵||>||，且符号皆负， 故满足要求的角α的集合为. 作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB， (1)sin α≥； 故满足条件的角α的集合为. 作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC，OD， (2)cos α≤－. ∴函数的定义域为. 即cos x≤， 所以sin α－cos α＝. 依题意cos α＝－，sin α＝， 1.角α的终边与单位圆交于点P，则sin α－cos α等于 A.－ 　　　　B.－ 　　　　C. 　　　　D. ∵角－是第四象限角，角是第二象限角，角－和的终边在同一条直线上， 2.角－和角有相同的 ∵<<， ∴||<||<||，∴b<a<c. 作的三角函数线，的正弦线、余弦线、 正切线分别为，，. 3.设a＝sin ，b＝cos ，c＝tan ，则 当角的终边位于图中阴影部分时满足sin x≤， 因此不等式sin x≤的解集为. 如图，作出满足sin x＝的角的正弦线 和，∠M2OP2＝，∠M2OP1＝. 即A，所以＝＝. 1.点A(x，y)是60°角的终边与单位圆的交点，则的值为 A. 　　　　B.－ 　　　　C. 　　　　D.－ A.正弦线为，正切线为 B.正弦线为，正切线为 C.正弦线为，正切线为 D.正弦线为，正切线为 根据三角函数线的定义可知，和的正弦线相等；和的正切线相等；③和的余弦线相反. 4.有三个命题：①和的正弦线相等；②和的正切线相等；③和的余弦线相等.其中真命题的个数为 6.点P为单位圆x2＋y2＝1与x轴正半轴的交点，将点P沿圆周逆时针旋转至点P′，当转过的弧长为时，点P′的坐标为 A. B. C. D. 转过的角度为θ，则θ＝＝， 从而可知P′. 因为1<，且都是第一象限角，由它们的正切线知tan 1<tan . 即角α的终边为二、四象限的角平分线，所以α＝或. 或 延长OP，交直线x＝1于点T，则向量为70°角的 正弦线，向量为70°角的余弦线，向量为70°角 的正切线. 如图，作角－的终边与单位圆的交点为P，过 点P作x轴的垂线，垂足为M， (2)－. 延长OP，交直线x＝1于点T，则向量为角 －的正弦线，向量为角－的余弦线，向量 为角－的正切线. 10.已知函数f(α)＝＋lg(2cos α－1)，求函数f(α)的定义域. 所以函数f(α)的定义域为. 依题意即 由三角函数线可得 故原不等式组的解集为. 12.若0<α<2π，且sin α<，cos α>，则角α的取值范围是 A. B. C. D.∪ 由题意，角α的取值范围为图中阴影部分 (不含边界)，即∪. 的正弦线为，的正弦线为， 14.把sin ，sin ，cos ，tan 由小到大排列为________________________. cos <sin <sin <tan  的余弦线为，的正切线为. ∴cos <0<sin <sin <tan . ∴cos <sin <sin <tan . 因为<＜3＜π，作出单位圆如图所示. 3弧度的正弦线、余弦线分别为，， 因为||＜||， 所以sin 3＋cos 3＝||－||＜0. 16.当α∈时，求证：sin α<α<tan α. S扇形AOP＝αOA2＝α， S△AOT＝OA·AT＝tan α， 所以sin α<α<tan α，即sin α<α<tan α. 如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于点P，α的正弦线、正切线为有向线段，，则||＝sin α，||＝tan α. 因为S△AOP＝OA·MP＝sin α， $$