7.2.1 三角函数的定义 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第三册学习笔记（人教B版2019）

7.2.1　三角函数的定义 第七章　§7.2　任意角的三角函数 学习目标 1.理解任意角的三角函数的定义. 2.掌握三角函数值在各个象限的符号. 3.掌握由角或角终边上点的坐标求角的正弦、余弦、正切. 游乐园是人们常去的地方，各种神奇的游乐器械吸引着人们去玩耍，尤其是那高大的摩天轮，带着人们在空中旋转，既好玩又刺激，我们假设一摩天轮的中心离地面h米，它的半径为r米，按逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，我们建立如图所示的直角坐标 系，假设你现在的位置在A处，经过30秒，你离地面 有多高？经过210秒呢？经过570秒呢？带着这些问 题，开始我们今天的新课. 导语 内容索引 一、任意角的正弦、余弦与正切的定义 二、正弦、余弦与正切在各象限的符号 课时对点练 随堂演练 任意角的正弦、余弦与正切的定义 一 问题1　初中我们学习过锐角的三角函数，正弦、余弦和正切，这三个三角函数分别是怎样定义的？ 提示　在初中，我们是在直角三角形中定义的，正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边. 问题2　之前学习了任意角，我们也把任意角放到了平面直角坐标系中，那么角的终边和半径为r的圆是否有交点？交点唯一吗？ 提示　有交点，交点唯一. 任意角的正弦、余弦与正切的定义 前提 如图，设P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，r＝   知识梳理 8 定义 正弦 称___为角α的正弦，记作sin α，即sin α＝___ 余弦 称___为角α的余弦，记作cos α，即cos α＝___ 正切 当角α的终边不在y轴上时，称___为角α的正切，记 作tan α，即tan α＝___(α≠kπ＋ ，k∈Z) 角α的正弦、余弦、正切都称为α的_________ 三角函数 知识梳理 9 注意点： (1)三角函数值是比值，是一个实数. (2)三角函数值的大小与点P的位置无关，只与角α的终边位置有关. 知识梳理 10 例1　(1)已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝ ，求sin θ，tan θ. 11 ∵x≠0，∴x＝±1. 当x＝1时，P(1,3)， 12 当x＝－1时，P(－1,3)， 13 (2)已知角α的终边落在射线y＝3x(x≥0)上，求sin α，cos α的值. 14 延伸探究 15 2.若将本例(2)中条件“α的终边落在射线y＝3x(x≥0)上”换为“α的终边落在直线y＝3x上”，其结论又如何呢？ 16 ①若α的终边落在第一象限内， 设点P(a,3a)(a>0)是其终边在第一象限内任意一点， ②若α的终边在第三象限内， 设点P(a,3a)(a<0)是其终边在第三象限内任意一点， 17 利用三角函数的定义求值的策略 (1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，应分两种情况来处理，把直线看成两条射线，在两条射线上各任取一点坐标(a，b)(a≠0)，则对 应角的正弦值 (2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 反思感悟 18 跟踪训练1　(1)已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，则2sin α＋cos α＝________. 1或－1 19 ①若a>0，则r＝5a，角α的终边在第二象限. ②若a<0，则r＝－5a，角α的终边在第四象限， 20 21 则在Rt△POM中， 22 二 正弦、余弦与正切在各象限的符号 问题3　根据三角函数的定义，大家猜测一下三角函数值在各个象限内的符号. 提示　三角函数值的符号是根据三角函数的定义和各象限内的坐标符号 导出的.根据三角函数的定义可知 ，正弦的 符号取决于纵坐标y的符号，余弦的符号取决于横坐标x的符号，正切的符号是由纵坐标y和横坐标x共同决定的，同号为正，异号为负. 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 (1)图示： (2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”. 知识梳理 25 例2　(1)若sin αtan α<0，且 <0，则角α是 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 √ 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α是第二或第三象限角. 综上可知，α是第三象限角. 26 (2)(多选)下列选项中，符号为负的是 A.sin(－100°) B.cos(－220°) C.tan 10 D.cos π √ －100°是第三象限角，故sin(－100°)<0； －220°是第二象限角，故cos(－220°)<0； cos π＝－1<0. √ √ 27 判断三角函数值符号的两个步骤 (1)定象限：确定角α是第几象限角. (2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断. 反思感悟 28 跟踪训练2　已知点P(sin α，cos α)在第三象限，则角α的终边在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ∵点P(sin α，cos α)在第三象限， √ 29 1.知识清单： (1)三角函数的定义及求法. (2)三角函数值在各象限内的符号. 2.方法归纳：由特殊到一般、转化与化归、分类讨论. 3.常见误区：三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关； 正切函数的定义域为 课堂小结 随堂演练 三 1.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于 由题意可知，x＝－4，y＝3，r＝5， 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 √ 3.若sin θcos θ>0，则θ的终边在 A.第一或第四象限 B.第一或第三象限 C.第一或第二象限 D.第二或第四象限 因为sin θcos θ>0， 所以sin θ>0，cos θ>0或sin θ<0，cos θ<0， 所以θ的终边在第一象限或第三象限. 1 2 3 4 √ 4.已知角α的终边过点P(12，a)，且tan α＝ ，则sin αcos α的值为____. 所以a＝5，所以P(12,5)，r＝13， 1 2 3 4 课时对点练 四 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ∵cos α<0，sin α>0， ∴α的终边在第二象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4.如果sin αcos α<0，sin αtan α<0，那么角α的终边位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 因为sin αcos α<0，所以α是第二或第四象限角， 又sin αtan α<0，所以α是第二或第三象限角， 故α为第二象限角，α的终边位于第二象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.(多选)下列函数值的符号为正的是 A.sin 105° B.cos 325° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ ∵105°为第二象限角，∴sin 105°>0； ∵325°为第四象限角，∴cos 325°>0； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)角α的终边上有一点P(a，a)，a∈R，且a≠0，则sin α的值可以是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 7.点P(tan 2 023°，cos 2 023°)位于第_____象限. 因为2 023°＝5×360°＋223°， 223°是第三象限角， 所以tan 2 023°>0，cos 2 023°<0， 所以点P位于第四象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 四 8.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是________. 解得－2<a≤3，故实数a的取值范围是(－2,3]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (－2,3] 9.已知角α的终边在直线y＝ 上，求sin α＋cos α的值. 在角α的终边上任取一点P(x，y)(x≠0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为α是第三象限角， 11.式子sin 1·cos 2·tan 4的符号为 A.正 　　　　B.负 　　　　C.零 　　　　D.不能确定 ∵1,2,4分别为第一、二、三象限角， ∴sin 1>0，cos 2<0，tan 4>0，∴sin 1·cos 2·tan 4<0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 12.(多选)已知函数y＝loga(x－4)－12(a＞0且a≠1)的图象过定点P，且角θ的终边经过点P，则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 因为y＝loga(x－4)－12(a＞0且a≠1)， 令x－4＝1，即x＝5，得y＝loga1－12＝－12， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为______三角形.(填“锐角”“钝角”或“直角”) ∵sin αcos β<0，且α，β∈(0，π)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 钝角 ∴此三角形必为钝角三角形. 14.若角α的终边上有一点P(－4，a)，且sin αcos α＝ 　，则实数a的值为 ______________. 因为角α的终边上有一点P(－4，a)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.{－1,1,3} B.{1,3} C.{－1,3} D.R 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 由题意知sin x≠0，cos x≠0，所以x的终边不在坐标轴上.当x是第一象限角时，y＝3； 当x是第二象限角时，y＝1－1－1＝－1； 当x是第三象限角时，y＝－1－1＋1＝－1； 当x是第四象限角时，y＝－1＋1－1＝－1. 综上，函数的值域是{－1,3}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)试判断角α的终边所在的象限； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由lg(cos α)有意义可知cos α>0， ∴角α是第四象限角，即角α的终边在第四象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16             x ∴＝x. 此时sin θ＝＝，tan θ＝＝3. 由题意知r＝OP＝， 由三角函数定义得cos θ＝＝ . 又∵cos θ＝x， 此时sin θ＝＝，tan θ＝＝－3. 设射线y＝3x(x≥0)上任一点P(x0，y0)(原点除外)，则OP＝r＝， ∵y0＝3x0，∴r＝x0， ∴sin α＝＝，cos α＝＝. ∴sin θ＝＝，tan θ＝＝3. 1.若将本例(1)中“cos θ＝x”改为“cos θ＝”，求sin θ，tan θ. 依题意＝，解得x＝1， ∴点P(1,3)，r＝， 所以sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝－. 因为r＝OP＝＝a， 所以sin α＝＝＝，cos α＝＝＝. 因为r＝OP＝＝－a(a<0)， sin α＝，余弦值cos α＝，正切值tan α＝. sin α＝＝－，cos α＝＝. 所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1. 因为r＝＝5|a|， sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－， 所以2sin α＋cos α＝－＝1. (2)求的正弦、余弦和正切. 所以点P的坐标为(1，－)， 因此sin ＝－，cos ＝，tan ＝－. 如图，在的终边上取点P，使OP＝2，作PM⊥Ox， ∠POM＝2π－＝， 所以∠OPM＝，则OM＝1，MP＝. 由<0可知cos α，tan α异号，从而α是第三或第四象限角. 10∈，是第三象限角，故tan 10>0； ∴∴α为第三象限角. . 所以cos α＝＝－. A. 　　　　B. 　　　　C.－ 　　　　D.－ 2.cos 的值是 A. 　　　　B.－ 　　　　C. 　　　　D.－ 所以sin α＝，cos α＝，从而sin αcos α＝. 根据三角函数的定义，tan α＝＝， ∵r＝＝13， 1.已知角α的终边过点(12，－5)，则sin α＋cos α等于 A.－ 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D.－ ∴sin α＝－，cos α＝， ∴sin α＋cos α＝－＋×＝. 2.已知cos α＝－，sin α＝，则α的终边在 因为cos α＝－<0，所以x<0， 3.若cos α＝－，且角α的终边经过点P(x,2)，则P点的横坐标x是 A.2 　　　　B.±2 　　　　C.－2 　　　　D.－2 又r＝，由题意得＝－， 所以x＝－2. C.tan  D.tan  ∵∈，∴为第二象限角，∴tan <0； ∵∈，∴为第三象限角，∴tan >0. 当a>0时，r＝a，由三角函数的定义得sin α＝＝； A. 　　　　B.－ 　　　　C. 　　　　D.－ 当a<0时，r＝－a，由三角函数的定义得sin α＝＝－. 由cos α≤0，sin α>0，可知 则y＝x. x 当x>0时，r＝＝x， sin α＋cos α＝＋＝＋＝； 当x<0时，r＝＝－x， sin α＋cos α＝＋＝－－＝－. 10.α是第三象限角，且＝－cos ，试判断的终边所在象限. 所以是第二或第三象限角， 所以是第二象限角，的终边在第二象限. 所以2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z. 所以kπ＋<<kπ＋，k∈Z. 所以的终边在第二或第四象限. 又因为＝－cos ，所以cos <0. A.P(4，－12) B.sin θ＝－ C.cos θ＝－ D.tan θ＝－ 即P(5，－12)，sin θ＝＝－， cos θ＝＝，tan θ＝－. ∴必有sin α>0，cos β<0，即β∈， 因为sin αcos α＝，所以·＝， 即3a2＋16a＋48＝0，解得a＝－4或－. －4或－ 所以sin α＝，cos α＝. 15.函数y＝＋＋的值域是 16.已知＝－，且lg(cos α)有意义. 由＝－，可知sin α<0， (2)若M 是角α的终边上一点，且OM＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值. ∵OM＝1，∴2＋m2＝1，解得m＝±. 又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－. 由正弦函数的定义可知sin α＝＝＝＝－. $$