10.2 事件的相互独立性(1)-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（人教A版2019）

[学习目标]　1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题． 导语　 我们知道，积事件AB就是事件A与事件B同时发生．因此，积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关．那么，这种关系会是怎样的呢？ 一、相互独立事件的概念 问题1　分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A＝“第一枚硬币正面朝上”，B＝“第二枚硬币反面朝上”．计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？ 提示　用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω＝{(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)}，包含4个等可能的样本点．而A＝{(1,1)，(1,0)}，B＝{(1,0)，(0,0)}，所以AB＝{(1,0)}．由古典概型概率公式，得 P(A)＝P(B)＝，P(AB)＝. 于是P(AB)＝P(A)P(B)． 知识梳理　 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 例1　判断下列事件是否为相互独立事件： (1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”； (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”． 解　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件． (2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件． 反思感悟　两个事件是否相互独立的判断 (1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． (2)公式法：若P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A，B为相互独立事件． 跟踪训练1　一个不透明的口袋内装有大小相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球． (1)从口袋内有放回地抽取2个球，记事件A＝“第一次抽到红球”，B＝“第二次抽到黄球”； (2)从口袋内无放回地抽取2个球，记事件A＝“第一次抽到红球”，B＝“第二次抽到黄球”． 试分别判断(1)(2)中的事件A，B是否为相互独立事件． 解　(1)有放回地抽取小球，事件A是否发生对事件B是否发生没有影响，它们是相互独立事件． (2)无放回地抽取小球，记红、黄、蓝球的号码分别为1,2,3，则样本空间 Ω＝{(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,2)}，共包含6个样本点， A＝{(1,2)，(1,3)}，B＝{(1,2)，(3,2)}． 因为P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝， 所以P(AB)≠P(A)P(B)， 所以事件A，B不是相互独立事件． 二、相互独立事件的性质 问题2　互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系. 如果事件A 与事件B 相互独立， 那么它们的对立事件是否也相互独立？ 以课本实验2有放回摸球试验为例， 分别验证A与，与B，与是否独立，你有什么发现？ 提示　对于A与，因为A＝AB∪A，而且AB与A互斥，所以P(A)＝P(AB∪A)＝P(AB)＋P(A)＝P(A)P(B)＋P(A)，所以P(A)＝P(A)－P(A)P(B)＝P(A)[1－P(B)]＝P(A)P()．由事件的独立性定义，A与相互独立．类似地，可以证明事件与B，与也都相互独立． 知识梳理　 1．如果事件A与事件B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立． 2．一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的乘积． 例2　(多选)设M，N为两个随机事件，给出以下命题正确的是(　　) A．若P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件 B．若P()＝，P(N)＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件 C．若P(M)＝，P()＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件 D．若P(M)＝，P(N)＝，P( )＝，则M，N为相互独立事件 答案　ABD 解析　若P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝， 则P(MN)＝P(M)P(N)， 则M，N为相互独立事件，故A正确； 若P()＝，P(N)＝，P(MN)＝， 则P(M)＝1－P()＝，P(MN)＝P(M)P(N)， 则M，N为相互独立事件，故B正确； 若P(M)＝，P()＝， 则P(N)＝1－P()＝，P(MN)＝×＝≠，则M，N不是相互独立事件，故C错误； 若P(M)＝，P(N)＝，P()＝， 则P(MN)＝1－P()＝＝P(M)P(N)， 则M，N为相互独立事件，故D正确． 反思感悟　互斥事件与相互独立事件都描述了两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响． 跟踪训练2　若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是(　　) A．事件A与B互斥 B．事件A与B对立 C．事件A与B相互独立 D．事件A与B既互斥又相互独立 答案　C 解析　因为P()＝，所以P(A)＝，又P(B)＝，P(AB)＝，所以有P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立但不一定互斥． 三、相互独立事件概率的计算 例3　某校团委举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，，在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． (1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ (2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率． 解　(1)记事件A1表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件A2表示“甲在第二轮比赛中胜出”， 事件B1表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件B2表示“乙在第二轮比赛中胜出”， 所以A1A2表示“甲赢得比赛”，P(A1A2)＝P(A1)·P(A2)＝×＝， B1B2表示“乙赢得比赛”，P(B1B2)＝P(B1)P(B2)＝×＝， 因为<，所以派乙参赛赢得比赛的概率更大． (2)记C表示“甲赢得比赛”，D表示“乙赢得比赛”， 由(1)知P()＝1－P(A1A2)＝1－＝，P()＝1－P(B1B2)＝1－＝， 所以C∪D表示“两人中至少有一个赢得比赛”， P(C∪D)＝1－P( )＝1－P()P()＝1－×＝， 所以两人中至少有一人赢得比赛的概率为. 反思感悟　(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤 ①首先确定各事件之间是相互独立的． ②求出每个事件的概率，再求积． (2)使用相互独立事件同时发生的概率公式计算时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的． 跟踪训练3　甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和，两人能否破译密码相互独立，求两人破译时，以下事件发生的概率： (1)两人都能破译的概率； (2)恰有一人能破译的概率； (3)至多有一人能破译的概率． 解　记事件A为“甲独立地破译出密码”，事件B为“乙独立地破译出密码”． (1)两个人都破译出密码的概率为 P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝. (2)恰有一人破译出密码分为两类：甲破译出乙破译不出，乙破译出甲破译不出，即A＋B， ∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B) ＝P(A)P()＋P()P(B) ＝×＋×＝. (3)至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码， ∴其概率为1－P(AB)＝1－＝. 1．知识清单： (1)相互独立事件的判断． (2)相互独立事件概率的计算． 2．方法归纳：列举法、定义法． 3．常见误区：对事件是否相互独立判断错误． 1．掷一枚正方体骰子一次，设事件A＝“出现偶数点”，事件B＝“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是(　　) A．互斥但不相互独立 B．相互独立但不互斥 C．互斥且相互独立 D．既不相互独立也不互斥 答案　B 解析　事件A＝{2,4,6}，事件B＝{3,6}，事件AB＝{6}，样本空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}． 所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝＝×，即P(AB)＝P(A)P(B)，因此事件A与B相互独立．当“出现6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件． 2．一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为(　　) A．1 B．0.629 C．0 D．0.74或0.85 答案　B 解析　设“甲保险丝熔断”为事件A，“乙保险丝熔断”为事件B， 则P(A)＝0.85，P(B)＝0.74， 由事件A与B相互独立， 得“两根保险丝都熔断”为事件AB， ∴P(AB)＝P(A)P(B)＝0.85×0.74＝0.629. 3．甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B，C三种医用外科口罩，甲、乙购买A，B，C三种医用口罩的概率分别如表： 购买A种医用外科口罩 购买B种医用外科口罩 购买C种医用外科口罩 甲 0.1 0.4 乙 0.3 0.2 则甲、乙购买同一种医用外科口罩的概率为(　　) A．0.24 B．0.28 C．0.30 D．0.32 答案　B 解析　由表知，甲购买A种口罩的概率为0.5，乙购买B种口罩的概率为0.5， 所以甲、乙购买同一种口罩的概率P＝0.5×0.3＋0.1×0.5＋0.4×0.2＝0.28. 4．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为，，，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________． 答案　 解析　加工出来的零件的正品率是××＝，因此加工出来的零件的次品率为1－＝. 1．设A，B，C为三个随机事件，其中A与B互斥，B与C相互独立，则下列命题一定成立的是(　　) A．A与B相互独立 B．A与C互斥 C．B与C互斥 D.与相互独立 答案　D 解析　注意“互斥事件”与“相互独立事件”的区别，前者指的是不可能同时发生的事件，后者指的是在两个事件中，一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响．因为B与C相互独立，由两事件相互独立的性质易知D正确． 2．(多选)下列各对事件中，不是相互独立事件的有(　　) A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标” D．甲、乙两运动员各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标” 答案　ACD 解析　在A中，甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件，不相互独立；在B中，甲、乙各射击一次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响，二者是相互独立事件；在C中，甲、乙各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件，不相互独立；在D中，设“至少有1人射中目标”为事件A，“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B，则AB＝B，因此当P(A)≠1时，P(AB)≠P(A)P(B)，故事件A，B不相互独立． 3．某射击运动员每次射击命中目标的概率都为0.9，则他连续射击两次都命中的概率是(　　) A．0.64 B．0.56 C．0.81 D．0.99 答案　C 解析　Ai表示“第i次击中目标”，i＝1,2， 则P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝0.9×0.9＝0.81. 4．(多选)已知事件A，B相互独立，且P(A)＝，P(B)＝，则(　　) A．P()＝ B．P(A)＝ C．P(A＋B)＝ D．P(A＋B)＝ 答案　AC 解析　根据事件A，B相互独立，且P(A)＝， P(B)＝，可得P()＝1－P(A)＝1－＝，故A正确； 而P()＝1－P(B)＝1－＝， 所以P(A)＝P(A)P()＝×＝，故B错误； P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝， 所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝＋－＝，故C正确； 由概率加法公式可得 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝×＋×＝，故D错误． 5．从甲袋中摸出1个红球的概率是，从乙袋中摸出1个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则可能是(　　) A．2个球不都是红球的概率 B．2个球都是红球的概率 C．至少有1个红球的概率 D．2个球中恰有1个红球的概率 答案　C 解析　记4个选项中的事件分别为A，B，C，D，则 P(A)＝1－×＝， P(B)＝×＝， P(C)＝1－×＝， P(D)＝×＋×＝. 6．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为(　　) A．0.12 B．0.42 C．0.46 D．0.88 答案　D 解析　设“甲被录取”记为事件A，“乙被录取”记为事件B，则两人至少有一人被录取的概率P＝1－P()＝1－[1－P(A)][1－P(B)]＝1－0.4×0.3＝0.88. 7．设P(A)＝0.7，P(B)＝0.8，且A与B相互独立，则P(AB)＝________，P(A∪B)＝________. 答案　0.56　0.94 解析　P(AB)＝P(A)P(B)＝0.7×0.8＝0.56. P(A∪B)＝1－P()P()＝1－0.3×0.2＝0.94. 8．小明去参加法制知识答题比赛，比赛共有A，B，C三道题且每个问题的回答结果相互独立．已知三道题的分值和小明答对每道题的概率如表： A题分值：3分 B题分值：3分 C题分值：4分 答对的概率 0.6 0.5 0.4 记小明所得总分为X(分)，则＝________. 答案　 解析　由已知得 P(X＝3)＝0.6×0.5×0.6＋0.4×0.5×0.6＝0.3， P(X＝10)＝0.6×0.5×0.4＝0.12， 所以＝. 9．甲、乙两名篮球运动员进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为，在每次投篮中，甲和乙投篮是否命中相互没有影响． (1)求甲、乙各投篮一次，恰好有1人命中的概率； (2)求甲、乙各投篮一次，至少有1人命中的概率． 解　(1)记“甲投篮命中”为A事件，“乙投篮命中”为B事件， 则P(A)＝，P(B)＝， 因为甲和乙投篮是否命中相互没有影响，所以A与B相互独立， 那么恰好有1人命中的概率P＝P(A)＋P(B)＝×＋×＝. (2)由(1)知，两人都没有命中的概率P()＝×＝， 所以至少有1人命中的概率P1＝1－P()＝. 10．某次考试共有四个环节，只有通过前一个环节才能进入后一个环节．现已知某人能够通过第一、二、三、四环节的概率依次是，，，，且每个环节是否通过互不影响．求： (1)此人进入第四环节才被淘汰的概率； (2)此人至多进入第三环节的概率． 解　(1)由独立事件的概率乘法公式可得，此人进入第四环节才被淘汰的概率为 ×××＝. (2)方法一　此人进入第一环节被淘汰的概率为 1－＝； 此人进入第二环节被淘汰的概率为 ×＝； 此人进入第三环节被淘汰的概率为 ××＝， 所以此人至多进入第三环节的概率为 ＋＋＝. 方法二　此人进入第四环节的概率为××＝，所以此人至多进入第三环节的概率为1－＝. 11. 同时转动如图所示的两个质地均匀的转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y(若指针停在边界上则重新转)，x，y构成数对(x，y)，则在所有数对(x，y)中，满足xy＝4的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　满足xy＝4的所有可能如下： x＝1，y＝4；x＝2，y＝2；x＝4，y＝1. ∴所求事件的概率为 P＝P(x＝1，y＝4)＋P(x＝2，y＝2)＋P(x＝4，y＝1) ＝×＋×＋×＝. 12．某单位入职面试中有三道题目，有三次答题机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．若求职者小王答对每道题目的概率都是0.7，则他最终通过面试的概率为(　　) A．0.7 B．0.91 C．0.973 D．0.981 答案　C 解析　由题意知，小王最终通过面试的概率为 P＝0.7＋0.3×0.7＋0.3×0.3×0.7＝0.973. 13．某学校冰壶队举行冰壶投掷测试，规则为： ①每人至多投3次，先在点M处投第一次，冰壶进入营垒区得3分，未进营垒区不得分； ②自第二次投掷开始均在点A处投掷冰壶，冰壶进入营垒区得2分，未进营垒区不得分； ③测试者累计得分高于3分即通过测试，并立即终止投掷． 已知投掷一次冰壶，甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5.则甲通过测试的概率为(　　) A．0.1 B．0.25 C．0.3 D．0.35 答案　C 解析　由题知甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5，若甲通过测试，则有以下可能： 点M处进入营垒区，两次点A处投掷中，前一次进，投掷结束，则概率为0.1×0.5＝0.05； 点M处进入营垒区，两次点A处投掷中，前一次不进，后一次进，则概率为0.1×0.5×0.5＝0.025； 点M处未进营垒区，两次点A处投掷中，进入两次，则概率为0.9×0.5×0.5＝0.225， 故甲通过测试的概率为0.05＋0.025＋0.225＝0.3. 14．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________． 答案　0.128 解析　由已知条件知，第2个问题答错，第3,4个问题答对，记“问题回答正确”为事件A，则P(A)＝0.8，故P＝P[(A＋)AA]＝[1－P(A)]·P(A)·P(A)＝0.128. 15．(多选)如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，盒中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，则下列结论正确的是(　　) A．A，B两个盒子串联后畅通的概率为 B．D，E两个盒子并联后畅通的概率为 C．A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为 D．当开关合上时，整个电路畅通的概率为 答案　ACD 解析　设5个盒子分别被断开为事件A，B，C，D，E.由题意知，P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，P(E)＝，所以A，B两个盒子串联后畅通的概率为×＝，因此A正确；D，E两个盒子并联后畅通的概率为1－×＝1－＝，因此B错误；A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为1－×＝1－＝，因此C正确；当开关合上时，电路畅通的概率为×＝，因此D正确． 16．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时． (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率． 解　甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为 1－－＝，1－－＝. (1)租车费用相同可分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况． 都付0元的概率为P1＝×＝； 都付2元的概率为P2＝×＝； 都付4元的概率为P3＝×＝. 所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝. (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ元，则ξ＝4表示两人的租车费用之和为4元，其可能的情况是甲、乙的租车费用分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元． 所以可得P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝， 即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $$