6.3.5 平面向量数量积的坐标表示-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（人教A版2019）

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 [学习目标]　1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题． 导语　 同学们，前面我们学习了平面向量数量积及其性质，我们也学会了用“坐标语言”去描述向量的加法、减法、数乘运算，那么，我们能否用坐标去表示两向量的数量积呢？ 一、平面向量数量积的坐标表示 问题1　在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，求i·i，j·j，i·j和j·i的值？ 提示　i·i＝j·j＝1，i·j＝j·i＝0. 问题2　a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b为多少？ 提示　a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j) ＝x1x2i·i＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j·j ＝x1x2＋y1y2. 知识梳理　 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a·b＝x1x2＋y1y2.这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 例1　(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于(　　) A．10 B．－10 C．3 D．－3 答案　B 解析　a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)， 所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. (2)已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x等于(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 答案　C 解析　由题意可得，8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30，解得x＝4. 反思感悟　进行向量数量积的坐标运算的注意点 (1)要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系： ①|a|2＝a·a； ②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2； ③(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2. (2)在解决平面几何中的数量积的运算时，对于规则的图形，一定要先建立恰当的平面直角坐标系，用向量的坐标法解决平面几何中的数量积的问题． 跟踪训练1　已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2，则·＝________. 答案　 解析　建立平面直角坐标系如图所示， 则A(0,2)，E(2,1)，D(2,2)，B(0,0)，C(2,0)， 因为＝2，所以F. 所以＝(2,1)， ＝－(2,0)＝， 所以·＝(2,1)· ＝2×＋1×2＝. 二、平面向量的模 问题3　设a＝(x，y)，探究|a|的值． 提示　|a|2＝a2＝(xi＋yj)·(xi＋yj)＝x2i·i＋2xyi·j＋y2j·j＝x2＋y2，故|a|＝. 知识梳理　 1．若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝. 2．如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 那么a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝. 例2　设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　∵a∥b，∴1×y－2×(－2)＝0， 解得y＝－4，从而3a＋b＝(1,2)，|3a＋b|＝. 反思感悟　求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法 a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． 跟踪训练2　已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于(　　) A. B. C．5 D．25 答案　C 解析　∵a＝(2,1)，∴a2＝5， 又|a＋b|＝5，∴(a＋b)2＝50， 即a2＋2a·b＋b2＝50， ∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5. 三、平面向量的夹角、垂直问题 知识梳理　 设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角． (1)cos θ＝＝. (2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 注意点： (1)两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆． (2)两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角，同样余弦值小于0的夹角也不一定是钝角． 例3　已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)． (1)求a与b夹角的余弦值； (2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值． 解　(1)因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2， |a|＝＝5，|b|＝＝，设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝＝＝. (2)因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)， 又(a－λb)⊥(2a＋b)， 所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，解得λ＝. 反思感悟　解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ. (2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意当cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；当cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 跟踪训练3　(1) 设P(－3，－2)，Q(x,2)，则与的夹角为钝角时，x的取值范围为_____． 答案　∪(3，＋∞) 解析　因为P(－3，－2)，Q(x,2)， 所以＝(－3，－2)，＝(x,2)， 当与的夹角为钝角时， ·＝－3x－4<0， 解得x>－， 当与反向共线时，(－3，－2)＝k(x,2)(k<0)，解得k＝－1，x＝3， 所以x的取值范围为∪(3，＋∞)． (2)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________. 答案　7 解析　∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)， ∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3)． 又a＋b与a垂直， 所以(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7. 1．知识清单： (1)平面向量数量积的坐标表示． (2)平面向量的模． (3)平面向量的夹角、垂直问题． 2．方法归纳：转化与化归． 3．常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错． 1．若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于(　　) A．3 B．－3 C. D．－ 答案　A 解析　a·b＝－x＋6＝3，故x＝3. 2．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　|a|＝＝5，|b|＝＝13. a·b＝3×5＋4×12＝63. 设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝＝＝. 3．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于(　　) A．1 B. C．2 D．4 答案　C 解析　由题意2a－b＝(3，n)， ∵2a－b与b垂直，∴3×(－1)＋n2＝0， ∴n2＝3，∴|a|＝＝2. 4．已知点A(0,1)，B(1，－2)，向量＝(4，－1)，则·＝________，||＝________. 答案　7　 解析　由题意得＝(1，－3)， ∴·＝1×4＋(－3)×(－1)＝7， ＝－＝(4，－1)－(1，－3)＝(3,2)， ∴||＝＝. 1．(多选)设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论中正确的是(　　) A．|a|＝b2 B．a·b＝0 C．a∥b D．(a－b)⊥b 答案　AD 解析　|a|＝b2＝2，故A正确，B，C显然错误； a－b＝(1，－1)，所以(a－b)·b＝1－1＝0， 所以(a－b)⊥b，故D正确． 2．已知向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|等于(　　) A. B. C．2 D．10 答案　B 解析　由题意可得a·b＝x·1＋1×(－2)＝x－2＝0，解得x＝2. 再由a＋b＝(x＋1，－1)＝(3，－1)， 可得|a＋b|＝. 3．已知A(－2,1)，B(6，－3)，C(0,5)，则△ABC的形状是(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 答案　A 解析　由题设知＝(8，－4)，＝(2,4)，＝(－6,8)，所以·＝8×2＋(－4)×4＝0，即⊥.所以∠BAC＝90°，故△ABC是直角三角形． 4．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于(　　) A. B．2 C．4 D．12 答案　B 解析　a＝(2,0)，|b|＝1， ∴|a|＝2，a·b＝2×1×cos 60°＝1. ∴|a＋2b|＝＝2. 5．设点A(4,2)，B(a,8)，C(2，a)，O为坐标原点，若四边形OABC是平行四边形，则向量与的夹角为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵四边形OABC是平行四边形， ∴＝，即(4－0,2－0)＝(a－2,8－a)， ∴a＝6，∵＝(4,2)，＝(2,6)， 设向量与的夹角为θ， ∴cos θ＝＝＝， 又θ∈(0，π)，∴与的夹角为. 6．若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝3，则b等于(　　) A．(－3,6) B．(3，－6) C．(6，－3) D．(－6,3) 答案　A 解析　由题意，设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ<0)， 则|b|＝＝|λ|＝3， 又λ<0，∴λ＝－3，故b＝(－3,6)． 7．已知a＝(－1,1)，b＝(1,2)，则a·(a＋2b)＝________. 答案　4 解析　∵a＋2b＝(1,5)，∴a·(a＋2b)＝－1×1＋1×5＝4. 8．设向量a＝(2,3)，b＝(6，t)，若a与b的夹角为锐角，则实数t的取值范围为________． 答案　(－4,9)∪(9，＋∞) 解析　因为a与b的夹角为锐角， 所以a·b>0，且a与b不共线， 所以解得t>－4且t≠9， 所以实数t的取值范围为(－4,9)∪(9，＋∞)． 9．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)． (1)若c＝(2，λ)，且c∥a，求|c|； (2)若b＝(1,1)，且ma－b与2a－b垂直，求实数m的值． 解　(1)因为c∥a，a＝(1,2)，c＝(2，λ)， 所以2×2－1×λ＝0，解得λ＝4，即c＝(2,4)， 所以|c|＝＝2. (2)因为a＝(1,2)，b＝(1,1)， 所以ma－b＝(m－1,2m－1)，2a－b＝(1,3)． 因为ma－b与2a－b垂直， 所以(ma－b)·(2a－b)＝0， 即(m－1)×1＋(2m－1)×3＝0，解得m＝. 10．已知向量a＝(1，)，b＝(－2,0)． (1)求a－b的坐标以及a－b与a的夹角； (2)当t∈[－1,1]时，求|a－tb|的取值范围． 解　(1)因为向量a＝(1，)，b＝(－2,0)， 所以a－b＝(1，)－(－2,0)＝(3，)， |a－b|＝＝2，|a|＝＝2， 设a－b与a的夹角为θ， 所以cos θ＝＝＝. 因为θ∈[0，π]，所以向量a－b与a的夹角为. (2)由题意得，|a|＝2，|b|＝2，a·b＝－2，所以|a－tb|2＝a2－2ta·b＋t2b2＝4t2＋4t＋4＝42＋3.易知当t∈[－1,1]时，|a－tb|2∈[3,12]，所以|a－tb|的取值范围是[，2]． 11．若平面向量a与b＝(1，－1)方向相同，且|a|＝2，则a等于(　　) A．(－，) B．(，－) C．(－2,2) D．(2，－2) 答案　B 解析　因为平面向量a与b＝(1，－1)方向相同， 所以设a＝λ(1，－1)＝(λ，－λ)(λ>0)， 又因为|a|＝2， 所以＝2，解得λ＝(舍负)． 所以a＝(，－)． 12．已知点A(－2，－3)，B(2,1)，C(0,1)，则下列结论正确的是(　　) A．A，B，C三点共线 B.⊥ C．A，B，C是等腰三角形的顶点 D．A，B，C是钝角三角形的顶点 答案　D 解析　＝(4,4)，＝(－2,0)，∴≠λ，所以A，B，C三点不共线，所以选项A错误； ·＝－8≠0，所以选项B错误； 因为·＝(2,0)·(－2，－4)＝－4<0，且A，B，C三点不共线，所以∠C是钝角，所以选项D正确； 因为||＝＝2，||＝＝2，∴||≠||，所以A，B，C不是等腰三角形的顶点，所以选项C错误． 13．已知O为坐标原点，向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P使得·有最小值，则点P的坐标是(　　) A．(－3,0) B．(2,0) C．(3,0) D．(4,0) 答案　C 解析　设点P的坐标为(x,0)， 则＝(x－2，－2)， ＝(x－4，－1)． 所以·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1) ＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1， 所以当x＝3时，·有最小值1. 此时点P的坐标为(3,0)． 14.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且＝2，则·的值是________． 答案　 解析　以A为原点，AB，AD所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系． ∵AB＝，BC＝2， ∴A(0,0)，B(，0)，C(，2)，D(0,2)， ∵点E在边CD上， 且＝2， ∴E. ∴＝，＝， ∴·＝－＋4＝. 15．已知A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角，向量p＝(sin A，1)，q＝(1，－cos B)，则p与q的夹角是(　　) A．锐角 B．钝角 C．直角 D．不确定 答案　A 解析　因为△ABC是锐角三角形， 所以A＋B>， 即0<－B<A<， 又因为函数y＝sin x在上单调递增， 所以sin A>sin＝cos B， 所以p·q＝sin A－cos B>0， 设p与q的夹角为θ，所以cos θ＝>0， 又因为p与q不共线，所以p与q的夹角是锐角． 16．已知向量＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)． (1)若∥，求x与y之间的关系式； (2)在(1)的条件下，若⊥，求x，y的值及四边形ABCD的面积． 解　(1)∵＝＋＋＝(x＋4，y－2)， ∴＝－＝(－x－4,2－y)． 又∥，且＝(x，y)， ∴x(2－y)－y(－x－4)＝0， 即x＋2y＝0. (2)＝＋＝(x＋6，y＋1)， ＝＋＝(x－2，y－3)． ∵⊥，∴·＝0， 即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0. 由(1)知x＋2y＝0，与上式联立， 化简得y2－2y－3＝0， 解得y＝3或y＝－1. 当y＝3时，x＝－6， 此时＝(0,4)，＝(－8,0)； 当y＝－1时，x＝2， 此时＝(8,0)，＝(0，－4)； ∴S四边形ABCD＝||||＝16. 学科网（北京）股份有限公司 $$