6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（人教A版2019）

6.3.5　平面向量数量积 　　　 的坐标表示 第六章　§6.3　平面向量基本定理及坐标表示 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算. 2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题. 学习目标 导语 同学们，前面我们学习了平面向量数量积及其性质，我们也学会了用“坐标语言”去描述向量的加法、减法、数乘运算，那么，我们能否用坐标去表示两向量的数量积呢？ 一、平面向量数量积的坐标表示 二、平面向量的模 课时对点练 三、平面向量的夹角、垂直问题 随堂演练 内容索引 平面向量数量积的坐标表示 一 问题1　在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，求i·i，j·j，i·j和j·i的值？ 提示　i·i＝j·j＝1，i·j＝j·i＝0. 问题2　a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b为多少？ 提示　a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j) ＝x1x2i·i＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j·j ＝x1x2＋y1y2. 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a·b＝ .这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的 . x1x2＋y1y2 乘积的和 知识梳理 7 例1　(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于 A.10 B.－10 C.3 D.－3 √ a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)， 所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. 8 (2)已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x等于 A.6 B.5 C.4 D.3 √ 由题意可得，8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)， ∴18＋3x＝30，解得x＝4. 9 进行向量数量积的坐标运算的注意点 (1)要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系： ①|a|2＝a·a； ②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2； ③(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2. (2)在解决平面几何中的数量积的运算时，对于规则的图形，一定要先建立恰当的平面直角坐标系，用向量的坐标法解决平面几何中的数量积的问题. 反思感悟 10 11 建立平面直角坐标系如图所示， 则A(0,2)，E(2,1)，D(2,2)，B(0,0)，C(2,0)， 12 平面向量的模 二 问题3　设a＝(x，y)，探究|a|的值. x2＋y2 (x2－x1，y2－y1) 知识梳理 15 例2　设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于 ∵a∥b，∴1×y－2×(－2)＝0， 解得y＝－4， √ 16 反思感悟 17 √ 18 ∵a＝(2,1)，∴a2＝5， 即a2＋2a·b＋b2＝50， ∴5＋2×10＋b2＝50， ∴b2＝25， ∴|b|＝5. 19 平面向量的夹角、垂直问题 三 (2)a⊥b⇔ . 设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角. x1x2＋y1y2＝0 知识梳理 21 注意点： (1)两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆. (2)两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角，同样余弦值小于0的夹角也不一定是钝角. 知识梳理 22 例3　已知a＝(4,3)，b＝(－1,2). (1)求a与b夹角的余弦值； 因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2， 23 (2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值. 因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)， 又(a－λb)⊥(2a＋b)， 所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0， 24 解决向量夹角问题的方法及注意事项 反思感悟 25 26 因为P(－3，－2)，Q(x,2)， 解得k＝－1，x＝3， 27 (2)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1).若向量a＋b与a垂直，则m＝ . 7 ∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)， ∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3). 又a＋b与a垂直， 所以(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7. 28 1.知识清单： (1)平面向量数量积的坐标表示. (2)平面向量的模. (3)平面向量的夹角、垂直问题. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于 a·b＝－x＋6＝3，故x＝3. √ 1 2 3 4 2.已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为 a·b＝3×5＋4×12＝63. √ 1 2 3 4 3.已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于 由题意2a－b＝(3，n)， ∵2a－b与b垂直，∴3×(－1)＋n2＝0， √ 1 2 3 4 7 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.(多选)设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论中正确的是 A.|a|＝b2 B.a·b＝0 C.a∥b D.(a－b)⊥b √ |a|＝b2＝2，故A正确，B，C显然错误； a－b＝(1，－1)，所以(a－b)·b＝1－1＝0， 所以(a－b)⊥b，故D正确. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|等于 由题意可得a·b＝x·1＋1×(－2)＝x－2＝0，解得x＝2. 再由a＋b＝(x＋1，－1)＝(3，－1)， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知A(－2,1)，B(6，－3)，C(0,5)，则△ABC的形状是 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于 a＝(2,0)，|b|＝1， ∴|a|＝2，a·b＝2×1×cos 60°＝1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵四边形OABC是平行四边形， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.(－3,6) B.(3，－6) C.(6，－3) D.(－6,3) √ 由题意，设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ<0)， 又λ<0，∴λ＝－3，故b＝(－3,6). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知a＝(－1,1)，b＝(1,2)，则a·(a＋2b)＝ . ∵a＋2b＝(1,5)， ∴a·(a＋2b)＝－1×1＋1×5＝4. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.设向量a＝(2,3)，b＝(6，t)，若a与b的夹角为锐角，则实数t的取值范围为 . (－4,9)∪(9，＋∞) 因为a与b的夹角为锐角， 所以a·b>0，且a与b不共线， 所以实数t的取值范围为(－4,9)∪(9，＋∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2). (1)若c＝(2，λ)，且c∥a，求|c|； 因为c∥a，a＝(1,2)，c＝(2，λ)， 所以2×2－1×λ＝0，解得λ＝4，即c＝(2,4)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若b＝(1,1)，且ma－b与2a－b垂直，求实数m的值. 因为a＝(1,2)，b＝(1,1)， 所以ma－b＝(m－1,2m－1)，2a－b＝(1,3). 因为ma－b与2a－b垂直， 所以(ma－b)·(2a－b)＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求a－b的坐标以及a－b与a的夹角； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设a－b与a的夹角为θ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当t∈[－1,1]时，求|a－tb|的取值范围. 易知当t∈[－1,1]时，|a－tb|2∈[3,12]， 由题意得，|a|＝2，|b|＝2，a·b＝－2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.若平面向量a与b＝(1，－1)方向相同，且|a|＝2，则a等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为平面向量a与b＝(1，－1)方向相同， 所以设a＝λ(1，－1)＝(λ，－λ)(λ>0)， 又因为|a|＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知点A(－2，－3)，B(2,1)，C(0,1)，则下列结论正确的是 A.A，B，C三点共线 C.A，B，C是等腰三角形的顶点 D.A，B，C是钝角三角形的顶点 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.(－3,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设点P的坐标为(x,0)， ＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1， 此时点P的坐标为(3,0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以A为原点，AB，AD所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.已知A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角，向量p＝(sin A，1)，q＝(1，－cos B)，则p与q的夹角是 A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为△ABC是锐角三角形， 所以p·q＝sin A－cos B>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又因为p与q不共线， 所以p与q的夹角是锐角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴x(2－y)－y(－x－4)＝0， 即x＋2y＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0. 由(1)知x＋2y＝0，与上式联立， 化简得y2－2y－3＝0， 解得y＝3或y＝－1. 当y＝3时，x＝－6， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当y＝－1时，x＝2， 跟踪训练1　已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2，则·＝ . 所以·＝(2,1)· ＝2×＋1×2＝. 因为＝2，所以F. 所以＝(2,1)，＝－(2,0)＝， 提示　|a|2＝a2＝(xi＋yj)·(xi＋yj)＝x2i·i＋2xyi·j＋y2j·j＝x2＋y2， 故|a|＝. 1.若a＝(x，y)，则|a|2＝ ，或|a|＝ . 2.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么a＝ ，|a|＝. 从而3a＋b＝(1,2)，|3a＋b|＝. A. B. C. D. 求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法 a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化. 跟踪训练2　已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于 A. B. C.5 D.25 又|a＋b|＝5，∴(a＋b)2＝50， (1)cos θ＝＝ . |a|＝＝5，|b|＝＝， 设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝＝＝. 解得λ＝. (1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ. (2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意当cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；当cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 跟踪训练3　(1) 设P(－3，－2)，Q(x,2)，则与的夹角为钝角时，x 的取值范围为 . ∪(3，＋∞) 当与反向共线时，(－3，－2)＝k(x,2)(k<0)， 所以x的取值范围为∪(3，＋∞). 所以＝(－3，－2)，＝(x,2)， 当与的夹角为钝角时， ·＝－3x－4<0， 解得x>－， A.3 B.－3 C. D.－ 设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝＝＝. |a|＝＝5，|b|＝＝13. A. B. C. D. ∴n2＝3，∴|a|＝＝2. A.1 B. C.2 D.4 由题意得＝(1，－3)， ∴·＝1×4＋(－3)×(－1)＝7， ＝－＝(4，－1)－(1，－3)＝(3,2)， ∴||＝＝. 4.已知点A(0,1)，B(1，－2)，向量＝(4，－1)，则·＝ ，||＝ . 可得|a＋b|＝. A. B. C.2 D.10 由题设知＝(8，－4)，＝(2,4)，＝(－6,8)，所以·＝8×2＋(－4)×4＝0，即⊥.所以∠BAC＝90°，故△ABC是直角三角形. ∴|a＋2b|＝＝2. A. B.2 C.4 D.12 5.设点A(4,2)，B(a,8)，C(2，a)，O为坐标原点，若四边形OABC是平行四边形，则向量与的夹角为 A. B. C. D. ∴＝，即(4－0,2－0)＝(a－2,8－a)， ∴a＝6，∵＝(4,2)，＝(2,6)， 设向量与的夹角为θ， ∴cos θ＝＝＝， 又θ∈(0，π)，∴与的夹角为. 则|b|＝＝|λ|＝3， 6.若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝3，则b等于 所以解得t>－4且t≠9， 所以|c|＝＝2. 即(m－1)×1＋(2m－1)×3＝0，解得m＝. 10.已知向量a＝(1，)，b＝(－2,0). 因为向量a＝(1，)，b＝(－2,0)， 所以a－b＝(1，)－(－2,0)＝(3，)， |a－b|＝＝2，|a|＝＝2， 所以cos θ＝＝＝. 因为θ∈[0，π]，所以向量a－b与a的夹角为. 所以|a－tb|2＝a2－2ta·b＋t2b2＝4t2＋4t＋4＝42＋3. 所以|a－tb|的取值范围是[，2]. A.(－，) B.(，－) C.(－2,2) D.(2，－2) 所以＝2，解得λ＝(舍负). 所以a＝(，－). B.⊥ ＝(4,4)，＝(－2,0)， ∴≠λ，所以A，B，C三点不共线，所以选项A错误； ·＝－8≠0，所以选项B错误； 因为·＝(2,0)·(－2，－4)＝－4<0，且A，B，C三点不共线，所以∠C是钝角，所以选项D正确； 因为||＝＝2，||＝＝2，∴||≠||，所以A，B，C不是等腰三角形的顶点，所以选项C错误. 13.已知O为坐标原点，向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P使得·有最小值，则点P的坐标是 则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1). 所以·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1) 所以当x＝3时，·有最小值1. 14.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且＝2，则·的值是 . ∵AB＝，BC＝2， ∴A(0,0)，B(，0)，C(，2)，D(0,2)， ∵点E在边CD上，且＝2， ∴E. ∴＝，＝， ∴·＝－＋4＝. 所以A＋B>， 即0<－B<A<， 又因为函数y＝sin x在上单调递增， 所以sin A>sin＝cos B， 设p与q的夹角为θ，所以cos θ＝>0， ∵＝＋＋＝(x＋4，y－2)， 16.已知向量＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3). (1)若∥，求x与y之间的关系式； ∴＝－＝(－x－4,2－y). 又∥，且＝(x，y)， (2)在(1)的条件下，若⊥，求x，y的值及四边形ABCD的面积. ＝＋＝(x＋6，y＋1)， ＝＋＝(x－2，y－3). ∵⊥，∴·＝0， 此时＝(0,4)，＝(－8,0)； 此时＝(8,0)，＝(0，－4)； ∴S四边形ABCD＝||||＝16. $$