6.2.2 向量的减法运算 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（人教A版2019）

第六章　§6.2　平面向量的运算 6.2.2　向量的减法运算 1.借助实例和平面向量的几何表示，理解相反向量的含义、向量减法的意义. 2.掌握向量减法的几何意义. 3.能熟练地进行向量的加、减综合运算. 学习目标 导语 上节课我们学习了向量的加法运算，掌握了加法的三角形法则和平行四边形法则，如何进行向量的减法运算呢？ 一、向量的减法运算 二、向量减法的几何意义 课时对点练 三、向量加减的混合运算 随堂演练 内容索引 四、向量加减法的综合应用 向量的减法运算 一 问题1　在数的运算中，减法是加法的逆运算，它的运算法则是什么？ 提示　减去一个数等于加上这个数的相反数. 1.相反向量：与向量a长度 ，方向 的向量，叫做a的 向量，记作－a. 2.向量的减法：向量a加上b的 ，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量相当于加上这个向量的 ，求两个向量 的运算叫做向量的减法. 注意点： (1)零向量的相反向量仍是零向量. (2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. (3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 相等 相反 相反 相反向量 相反向量 差 知识梳理 7 例1　(多选)若非零向量m与n是相反向量，则下列正确的是 A.m＝n B.m＝－n C.|m|＝|n| D.m与n方向相反 √ 相反向量的大小相等、方向相反，故A错误，BCD正确. √ √ 8 √ √ √ 9 向量减法的几何意义 二 问题2　如何进行向量的减法运算？ 提示　转化为向量的加法来进行，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. 注意点：两向量要共起点，由减向量的终点指向被减向量的终点. 知识梳理 12 例2　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 方法一　如图①，在平面内任取一点O， 方法二　如图②，在平面内任取一点O， 13 求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可. (2)可以直接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量. 反思感悟 14 跟踪训练2　如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c. 15 向量加减的混合运算 三 √ 17 18 19 (1)向量减法运算的常用方法 反思感悟 20 (2)向量加减法化简的两种形式 ①首尾相连且为和. ②起点相同且为差. 反思感悟 21 跟踪训练3　化简下列各式： 22 向量加减法的综合应用 四 24 ∵四边形ACDE是平行四边形， 25 (1)解决此类问题要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道. (2)主要应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题，在封闭图形中可利用向量加法的多边形法则，提升逻辑推理素养. 反思感悟 26 b－a 27 1.知识清单： (1)向量的减法运算. (2)向量减法的几何意义. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：忽视向量共起点时才可进行向量的减法运算. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 A.a B.a＋b C.b－a D.a－b √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 所以四边形ABCD一定是平行四边形. √ 1 2 3 4 2 课时对点练 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 A.a＋b和a－b B.a＋b和b－a C.a－b和b－a D.b－a和b＋a 由向量的加法、减法法则，得 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.下列各式中，恒成立的是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，作菱形ABCD， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)下列结果恒为零向量的是 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝ ，|a－b|＝ . 若a，b为相反向量，则a＋b＝0，所以|a＋b|＝0，又a＝－b，所以|a|＝|－b|＝1，因为a与－b同向，所以|a－b|＝2. 0 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)b＋c－a； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)a－b－c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线的长度相等，四边形ABCD为矩形； 当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边的长度相等，四边形ABCD为菱形； 当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 A.a＋b＋c＋d＝0 B.a－b＋c－d＝0 C.a＋b－c－d＝0 D.a－b－c＋d＝0 即b－a＝c－d，也即a－b＋c－d＝0.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.[3,8] B.(3,8) C.[3,13] D.(3,13) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a＋c－b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵|a|＝|b|＝|a－b|，∴BA＝OA＝OB， ∴△OAB为等边三角形， 设其边长为1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB(图略)， 由向量加减法的几何意义可知， (1)|a＋b＋c|； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)|a－b＋c|. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴|a－b＋c|＝2. 跟踪训练1　(多选)下列命题中，正确的是 A.相反向量就是方向相反的向量 B.向量与是相反向量 C.两个向量的差仍是一个向量 D.相反向量是共线向量 已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b.即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这就是向量减法的几何意义. 作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c， 则＝a＋b－c. 作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c. 则向量＝a－b－c. 如图，在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b， 则向量＝a－b，再作向量＝c， ＋－－＝(－)＋(－)＝＋＝－＝0. 例3　(1)如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为 A.0 B. C. D. (2)化简：①＋－－； ＋－－＝(－)＋(－)＝＋＝. ＝＋＋＋ ②(＋＋)－(－－). (＋＋)－(－－) ＝＋－＋ ＝＋＝0. (1)－＋－； －＋－＝＋－＝－＝. (2)(－)＋(－). (－)＋(－)＝＋＋＋＝＋(＋＋) ＝＋0＝. 例4　如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及. ∴＝＋＝b－a＋c. ∴＝＝c， ＝－＝b－a， ＝－＝c－a， ＝－＝c－b， 跟踪训练4　在正六边形ABCDEF中，记向量＝a，＝b，则向量＝ .(用a，b表示) 由正六边形的性质知，－＝， ∴＝b－a. ＝－＝a－b. 1.在△ABC中，若＝a，＝b，则等于 原式＝(＋)＋(＋)＝＋0＝. 2.化简－＋＋等于 A. B. C. D. 由－＝－，可得＝， 3.已知在四边形ABCD中，－＝－，则四边形ABCD一定是 4.若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|的长度为 . |－＋|＝|＋＋|＝||＝2. ＝＋＝a＋b， 1.如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，则用a，b表示向量和分别是 ＝－＝b－a. 选项D中，－＋＝＋＋＝＋＝0. A.＝ B.a－a＝0 C.－＝ D.－＋＝0 3.如图所示，在矩形ABCD中，O是两条对角线AC，BD的交点，则＋－等于 A. B. C. D. 则|－|＝|－| 4.在边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为 A.1 B.2 C. D. ＝||＝. A项，－(＋)＝－＝＋； A.－(＋) B.－＋－ C.－＋ D.＋＋－ B项，－＋－＝＋＝0； C项，－＋＝＋＝0； D项，＋＋－＝＋＝0. ∵＝，∴－＝－＝. 6.点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则－等于 A. B. C. D. 由三角形中位线定理得＝，故选D. 在矩形ABCD中，因为＋－＝＋＋＝＋， 8.在矩形ABCD中，||＝2，||＝4，则|＋－|＝ ， |＋＋|＝ . 4 所以|＋－|＝2||＝4. 因为＋＋＝＋＋＝＋， 所以|＋＋|＝2||＝8. 如图所示，以，为邻边作▱OBDC，连接OD，AD， 9.如图，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作： 则＝＋＝b＋c， 所以b＋c－a＝－＝. 由图可知，＝， 则a－b－c＝－－＝－＝. 10.如图所示，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，先用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？ 由向量的平行四边形法则，得＝a＋b，＝－＝a－b. 易知－＝，－＝，而在平行四边形ABCD中有＝，所以－＝－， 11.已知O是平面上一点，＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则 ∵||＝|－|且|||－|||≤|－|≤|A|＋||， 12.若||＝5，||＝8，则||的取值范围是 ∴3≤|－|≤13，∴3≤||≤13. 由已知得＝， 13.如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝ .(用a，b，c表示) 则＝＋＝＋＝＋－＝a＋c－b. 14.已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则＝ . 如图，设＝a，＝b， 则＝＋＝a＋b，＝－＝a－b， 则|a－b|＝||＝1，|a＋b|＝2×＝， ∴＝＝. 15.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||＝4，|＋|＝|－|，则||＝ . ＝＋，＝－， ∵|＋|＝|－|， ∴||＝||， 又||＝4，M是线段BC的中点， ∴||＝||＝||＝2. 16.如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，求： 由已知得a＋b＝＋＝， ∵＝c，∴延长AC到E，使||＝||，如图所示， 则a＋b＋c＝，且||＝2. ∴|a＋b＋c|＝2. 作＝，连接CF，BD，则＋＝， 而＝－＝－＝a－b， ∴|a－b＋c|＝|＋|＝||且||＝2. $$