2.3 从速度的倍数到向量的数乘-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

[学习目标]　1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握共线(平行)向量基本定理，能熟练运用共线(平行)向量基本定理处理有关共线向量问题． 导语 在疾风骤雨、雷电交加的夜晚，为什么我们总是先看到闪电，后听到雷声？这是因为光速远远大于声速．经测量光速大小约为声速的8.8×105倍． 一物体由高空自由落下，根据自由落体运动的速度公式v＝gt可知，它在1 s末和2 s末的速度大小分别为v1＝9.8 m/s和v2＝19.6 m/s.显然v2＝2v1，并且方向都是竖直向下的． 以上实例说明在实际中存在着这样的两个向量，它们是共线的，而且大小之间具有倍数关系，因此，有必要定义实数与向量的乘积运算． 一、数乘运算的定义及几何意义 问题1　有一同学从O点出发，向东行进，1秒后到达A点，按照相同的走法，问3秒后该同学在哪里，用向量怎么表示这段位移？ 提示　如图所示． 问题2　相同的几个数相加可以转化为乘法运算，如3＋3＋3＋3＋3＝5×3＝15，那么相等的几个向量相加是否也能转化为乘法运算呢？ 提示　可以．a＋a＋a＋a＋a＝5×a＝5a. 知识梳理 1．向量数乘的定义 实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa，满足以下条件： (1)当λ>0时，向量λa与向量a的方向相同； 当λ<0时，向量λa与向量a的方向相反； 当λ＝0时，0a＝0. (2)|λa|＝|λ||a|. 这种运算称为向量的数乘． 2．向量数乘的几何意义 实数与向量数乘λa的几何意义：当λ>0时，表示向量a的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的λ倍；当λ<0时，表示向量a的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍． 3．向量的单位化 在非零向量a方向上的单位向量是，它表明一个非零向量除以它的模(乘它的模的倒数)的结果是一个与原向量同方向的单位向量，这一过程称为向量的单位化． 注意点： (1)已知λ∈R，a是向量，则λa是向量，而λ与a不能相加减． (2)若a≠0，则表示与a方向相同的单位向量． 例1　(多选)已知a，b为非零向量，下面说法正确的是(　　) A．2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍 B．－2a的方向与3a的方向相反，且－2a的模是3a的模的倍 C．－2a与2a是一对相反向量 D．a－b与－(b－a)是一对相反向量 答案　ABC 解析　对于A，∵2a＝a＋a与a方向相同， 且|2a|＝|a＋a|＝|a|＋|a|＝2|a|，故A正确； 对于B，∵－2a＝(－a)＋(－a)与－a同方向，3a＝a＋a＋a与a同方向，由于－a与a反方向，故－2a与3a反方向， 又∵|－2a|＝2|a|，|3a|＝3|a|，所以－2a的模是3a的模的倍，故B正确； 对于C，∵－2a＋2a＝(－2＋2)a＝0，故－2a与2a是一对相反向量，故C正确； 对于D，∵－(b－a)＝a－b，∴两者为相等向量，故D错误． 反思感悟　对数乘向量的四点说明 (1)λa中的实数λ叫作向量a的系数． (2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向长度扩大或缩小几倍． (3)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.注意是0，而不是0. 跟踪训练1　已知λ，μ∈R，则在下列各命题中，正确的命题有(　　) ①当λ＜0，a≠0时，λa与a的方向一定相反； ②当λ＞0，a≠0时，λa与a的方向一定相同； ③当λμ＞0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同； ④当λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反． A．1个 B．2个　 C．3个 D．4个 答案　D 解析　由λ与向量a的积λa的方向规定，易知①②正确；对于命题③④，当λμ＞0时，λ，μ同正或同负，∴λa与μa或者都与a同向，或者都与a反向，∴λa与μa同向，当λμ＜0时，则λ与μ异号，λa与μa中，一个与a同向，一个与a反向，∴λa与μa反向，故③④也正确． 二、数乘运算的运算律 知识梳理 设λ，μ为实数，a，b为向量． (1)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (2)λ(μa)＝(λμ)a. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 注意点： (1)向量的加法、减法和数乘的综合运算统称为向量的线性运算． (2)对于任意向量a，b以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a＋λμ2b. 例2　如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则等于(　　) A.a－b B.a＋b C．a＋b D．a－b 答案　D 解析　因为E是BC的中点， 所以＝＝－＝－b， 所以＝＋＝＋＝a－b. 反思感悟　用已知向量表示其他向量的方法 跟踪训练2　在△ABC中，若点D满足＝2，则等于(　　) A.＋ B.－ C.－ D.＋ 答案　D 解析　如图所示，由题意可得＝＋＝＋ ＝＋(－) ＝＋. 三、共线(平行)向量基本定理 问题3　已知非零向量b，且a＝λb，探究a，b之间的关系． 提示　a∥b. 知识梳理 1．共线(平行)向量基本定理 给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使a＝λb. 2．直线的向量表示 通常可以用＝t表示过点A，B的直线l，其中称为直线l的方向向量． 注意点： (1)定理中b≠0不能漏掉． (2)O为直线AB外一点，若A，B，P三点共线，则存在唯一的实数t，使得＝＋t. (3)O为直线AB外一点，若A，B，P三点共线，则存在唯一的一对实数λ，μ，则＝λ＋μ且λ＋μ＝1. 例3　设a，b是不共线的两个非零向量． (1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b， 求证：A，B，C三点共线； (2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值． (1)证明　∵＝－＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b， 而＝－＝(a－3b)－(3a＋b) ＝－(2a＋4b)＝－2， ∴与共线，且有公共点B， ∴A，B，C三点共线． (2)解　∵8a＋kb与ka＋2b共线， ∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)， 即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0， ∵a与b不共线，∴ 解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4. 反思感悟　(1)证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可． (2)利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解． 跟踪训练3　已知向量e1，e2不共线，如果＝e1＋2e2，＝－5e1＋6e2，＝7e1－2e2，则共线的三个点是________． 答案　A，B，D 解析　∵＝e1＋2e2， ＝＋＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2 ＝2(e1＋2e2)＝2， ∴，共线，且有公共点B， ∴A，B，D三点共线． 1．知识清单： (1)向量的数乘及运算律． (2)共线(平行)向量基本定理． (3)三点共线的常用结论． 2．方法归纳：数形结合、分类讨论． 3．常见误区：忽视零向量这一个特殊向量． 1．下列运算正确的个数是(　　) ①(－3)·2a＝－6a； ②2(a＋b)－(2b－a)＝3a； ③(a＋2b)－(2b＋a)＝0. A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　根据向量的数乘运算和加减运算知①②正确；③中，(a＋2b)－(2b＋a)＝a＋2b－2b－a＝0，是零向量，而不是0，所以该运算错误．所以运算正确的个数为2. 2.如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若＝a，＝b，则等于(　　) A.(a－b) B．－(a－b) C.(a＋b) D．－(a＋b) 答案　C 解析　因为M是BC的中点，所以＝(a＋b)． 3．(多选)已知m，n是实数，a，b是向量，则下列说法中正确的是(　　) A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na C．若ma＝mb，则a＝b D．若ma＝na，则m＝n 答案　AB 解析　由数乘运算的运算律知A，B正确； C中，当m＝0时，ma＝mb，但a不一定等于b，故错误； D中，当a＝0时，ma＝na，但m不一定等于n，故错误． 4．设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k＝______. 答案　－ 解析　因为A，B，D三点共线， 故存在一个实数λ，使得＝λ， 又＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2， 所以＝－＝3e1－2ke2－(ke1＋e2) ＝(3－k)e1－(2k＋1)e2， 所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2， 所以 解得k＝－. 1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是(　　) A．a与λa的方向相同 B．a与－λa的方向相反 C．|－λa|＝|－λ|a D．|－λa|＝|－λ||a| 答案　D 解析　依题意，当λ>0时，a与λa的方向相同，a与－λa的方向相反，但是当λ<0时，a与λa的方向相反，a与－λa的方向相同，所以A，B错误； 由数乘运算的长度的定义可知|－λa|＝|－λ||a|，所以C错误，D正确． 2．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则k等于(　　) A．0 B．1 C．2 D. 答案　D 解析　∵向量m与向量n共线， ∴设m＝λn(λ∈R)， ∴－e1＋ke2＝λe2－2λe1， ∵e1与e2不共线， ∴　∴ 3．下列各组向量中，一定能推出a∥b的是(　　) ①a＝－3e，b＝2e； ②a＝e1－e2，b＝－e1； ③a＝e1－e2，b＝e1＋e2＋. A．① B．①② C．②③ D．①②③ 答案　B 解析　①中，a＝－b，所以a∥b； ②中，b＝－e1＝＝－a，所以a∥b； ③中，b＝＝(e1＋e2)，若e1与e2共线， 则a与b共线，若e1与e2不共线，则a与b不共线． 4．设P是△ABC所在平面内一点，＋＝2，则(　　) A.＋＝0 B.＋＝0 C.＋＝0 D.＋＋＝0 答案　B 解析　因为＋＝2， 所以点P为线段AC的中点，故选项B正确． 5．(多选)已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列结论，其中正确的有(　　) A.＝－b B.＝a－b C.＝a＋b D.＝a 答案　AC 解析　如图所示，＝－＝－b，则A项正确； ＝＋＝a＋b，则B项错误； ＝＋＝a＋b，则C项正确； ＝＝－＝－a，则D项错误． 6．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，又＝t，则t的值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　∵＝－， ＝－， ∴－＝t(－)， ∴＝(1－t)＋t＝＋， ∴t＝. 7．若2＋(c＋b－3x)＋b＝0，则x＝______________. 答案　－a＋2b＋c 解析　∵2＋(c＋b－3x)＋b＝0， ∴2x－a＋c＋b－3x＋b＝0， ∴－x－a＋c＋2b＝0， ∴x＝－a＋2b＋c. 8．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝a，＝b，则＝________.(用a，b表示) 答案　－a＋b 解析　＝＋＝＋ ＝＋(＋) ＝－＋ ＝－a＋b. 9．设a，b是两个不共线的非零向量，若向量2ka＋b与8a＋kb的方向相反，求k的值． 解　由题意可知存在实数λ使 2ka＋b＝λ(8a＋kb)， 即2ka＋b＝8λa＋λkb， ∴解得或 ∵2ka＋b与8a＋kb的方向相反， ∴k＝2不符合题意，舍去， ∴k＝－2. 10．如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，＝3a，＝2b，用a，b分别表示，. 解　∵＝3a，＝2b， ∴＝－＝2b－3a. 又∵D，E为边AB的两个三等分点， ∴＝＝b－a， ＝＝b－2a， ∴＝＋＝3a＋b－a＝2a＋b， ＝＋＝3a＋b－2a＝a＋b. 11．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如图，＋＝＋＋＋＝＋＝(＋)＝×2＝. 12．已知a，b为不共线向量，且＝2a＋b，＝－a＋4b，＝3(a－b)，则(　　) A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 答案　B 解析　对于A，因为＝2a＋b，＝－a＋4b，令＝λ可知λ不存在，所以与不共线，所以A，B，C三点不共线，故选项A不正确； 对于B，＝2a＋b，＝＋＝－a＋4b＋3(a－b)＝2a＋b＝，由共线(平行)向量基本定理可知与共线，又因为与有公共点B，所以A，B，D三点共线，故选项B正确； 对于C，＝－a＋4b，＝3(a－b)，令＝λ可知λ不存在，所以与不共线，所以B，C，D三点不共线，故选项C不正确； 对于D，＝＋＝2a＋b＋(－a＋4b)＝a＋5b，＝3(a－b)，令＝λ可知λ不存在，所以和不共线，所以A，C，D三点不共线，故选项D不正确． 13．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于(　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 答案　D 解析　∵△DEF∽△BEA，∴＝＝. ∴DF＝AB＝DC， ∴＝＋＝＋. ∵＝＋＝a，＝－＝b， 联立得＝(a－b)，＝(a＋b)， ∴＝(a＋b)＋(a－b)＝a＋b. 14．已知在△ABC中，点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________. 答案　3 解析　∵＋＋＝0， ∴点M是△ABC的重心． ∴＋＝3，∴m＝3. 15．已知在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD为(　　) A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 答案　A 解析　如图所示． ∵＝＋＋ ＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b) ＝－8a－2b＝2(－4a－b)， ∴＝2. ∴与共线，且||＝2||. 又∵这两个向量所在的直线不重合， ∴AD∥BC，且AD＝2BC. ∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形． 16．设a，b，c为非零向量，其中任意两个向量不共线，已知a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则b与a＋c是否共线？请证明你的结论． 解　b与a＋c共线．证明如下： ∵a＋b与c共线， ∴存在唯一一个实数λ，使得a＋b＝λc.① ∵b＋c与a共线， ∴存在唯一一个实数μ，使得b＋c＝μa.② 由①－②得，a－c＝λc－μa. ∴(1＋μ)a＝(1＋λ)c. 又∵a与c不共线， ∴1＋μ＝0,1＋λ＝0， ∴μ＝－1，λ＝－1， ∴a＋b＝－c， 即a＋b＋c＝0. ∴a＋c＝－b. 故b与a＋c共线． 学科网（北京）股份有限公司 $$