2.2.2 向量的减法-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

2.2　向量的减法 [学习目标]　1.借助实例和平面向量的几何表示，理解向量减法的定义.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减综合运算． 导语 我们知道，数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”．我们能否类似地定义向量的减法呢？ 一、向量的减法的定义与法则 问题1　在实数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数．据此原理，向量a－b可以怎样理解？ 提示　a－b＝a＋(－b)． 知识梳理 1．定义：向量a减向量b等于向量a加上向量b的相反向量，即a－b＝a＋(－b)． 2．减法的作图：给定向量a与b，作有向线段＝a，＝b，故－b＝，则a－b＝a＋ (－b)＝＋＝＋＝. 3．几何意义：如果把向量a与b的起点放在点O，那么从向量b的终点B指向被减向量a的终点A，得到的向量就是a－b. 注意点： (1)口诀：“共起点，连终点，箭头指向被减数”． (2)两个向量的差仍是一个向量． 例1　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 解　方法一　如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b， 则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c. 　　　 方法二　如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c. 反思感悟　求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可． (2)可以直接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量． 跟踪训练1　如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c. 解　如图，在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，则向量＝a－b，再作向量＝c， 则向量＝a－b－c. 二、向量的减法运算 知识梳理 向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连则为和． (2)起点相同则为差． 例2　化简： (1)＋－－； (2)(＋＋)－(－－)． 解　(1)＋－－＝(－)＋(－)＝＋＝. (2)(＋＋)－(－－) ＝＋－＋ ＝＋＋＋ ＝＋＝0. 反思感悟　化简向量的和、差的方法 (1)如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算的去掉括号． (2)可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化简． (3)化简向量的差时要注意共起点，由减向量的终点指向被减向量的终点． 跟踪训练2　(1)如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为(　　) A．0 B. C. D. 答案　A 解析　＋－－ ＝(－)＋(－) ＝＋＝－＝0. (2)化简下列各式： ①－＋－； ②(－)＋(－)． 解　①－＋－ ＝＋－ ＝－＝. ②(－)＋(－) ＝＋＋＋ ＝＋(＋＋) ＝＋0＝. 三、向量减法的三角不等式 问题2　如果a∥b，怎样作出a－b呢？ 提示　同向： 反向： 问题3　结合问题2，探索|a|，|b|与|a－b|之间的大小关系如何？ 提示　若a与b方向相反，|a－b|＝|a|＋|b|； 若a与b方向相同，|a－b|＝||a|－|b||； 若a与b不共线时，||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|. 问题4　若a，b是不共线向量，则|a＋b|与|a－b|的几何意义分别是什么？ 提示　如图所示，设＝a，＝b.根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义，有＝a＋b，＝a－b.因为四边形OACB是平行四边形，所以|a＋b|＝||，|a－b|＝||，即分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长． 知识梳理 向量减法的三角不等式： ||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|. 例3　若非零向量a和b满足|a＋b|＝|b|＝2，则|a|的取值范围是________，|a－b|的取值范围是________． 答案　(0,4]　[2,6] 解析　因为0＝||a＋b|－|b||≤|a|＝|a＋b－b|≤|a＋b|＋|b|＝4，又a是非零向量，所以|a|的取值范围是(0,4]． 因为|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|＝4，且|a＋b|＝2， 所以 得2≤|a－b|≤6， 所以|a－b|的取值范围是[2,6]． 反思感悟　利用向量减法的三角不等式解题的关键是根据所给的向量构造合适的三角不等式进行求解． 跟踪训练3　已知菱形ABCD的边长为2，则向量－＋的模为________，||的取值范围是________． 答案　2　(0,4) 解析　因为－＋＝＋＋＝，又||＝2，所以|－＋|＝||＝2.又因为＝＋，且在菱形ABCD中，||＝2，所以|||－|||<||＝|＋|<||＋ ||，即0<||<4. 四、向量加、减法的应用 例4　如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及. 解　∵四边形ACDE是平行四边形， ∴＝＝c， ＝－＝b－a， ＝－＝c－a， ＝－＝c－b， ∴＝＋＝b－a＋c. 反思感悟　在图形中用已知向量表示其他向量的步骤 (1)观察各个向量在图形中的位置． (2)把要表示的向量放入三角形或平行四边形中． (3)运用法则进行表示． (4)若表示结果中还有不是指定向量，重复上面步骤． 跟踪训练4　如图，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示. 解　＝＋＝＋＋＝＋－＝c＋b－a. 1．知识清单： (1)向量的减法运算． (2)向量减法的几何意义． (3)向量减法的三角不等式． (4)向量加、减法的运用． 2．方法归纳：数形结合． 3．常见误区：忽略向量共起点时才可用向量的减法． 1．在△ABC中，若＝a，＝b，则等于(　　) A．a B．a＋b C．b－a D．a－b 答案　D 解析　＝－＝a－b. 2．化简－＋＋等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　原式＝(＋)＋(＋)＝＋0＝. 3．已知在四边形ABCD中，－＝－，则四边形ABCD一定是(　　) A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 答案　A 解析　由－＝－，可得＝， 所以四边形ABCD一定是平行四边形． 4．如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于(　　) A．a－b＋c B．b－(a＋c) C．a＋b＋c D．b－a＋c 答案　A 解析　＝＋＋＝a－b＋c. 1．(多选)在平行四边形ABCD中，下列结论正确的是(　　) A.－＝0 B.－＝ C.－＝ D.＋＝0 答案　ABD 解析　∵＝，∴－＝0，A正确； ∵－＝＋＝，B正确； ∵－＝＋＝，C错误； ∵＝，∴＝－，∴＋＝0，D正确． 2．下列各式中，恒成立的是(　　) A.＝ B．a－a＝0 C.－＝ D.－＋＝0 答案　D 解析　选项D中，－＋＝＋＋＝＋＝0. 3.如图所示，在矩形ABCD中，O是两条对角线AC，BD的交点，则＋－等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 4．在边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为(　　) A．1 B．2 C. D. 答案　D 解析　如图，作菱形ABCD， 则|－|＝|－| ＝||＝. 5．(多选)下列结果恒为零向量的是(　　) A.－(＋) B.－＋－ C.－＋ D.＋＋－ 答案　BCD 解析　A项，－(＋)＝－＝＋＝2；B项，－＋－＝＋＝0；C项，－＋＝＋＝0；D项，＋＋－＝＋＝0. 6．(多选)已知a，b为非零向量，则下列说法正确的是(　　) A．若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同 B．若|a＋b|＝|a－b|，则a与b相互垂直 C．若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b有相等的模 D．若||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同 答案　ABD 解析　若a，b为非零向量，则当且仅当a，b方向相同时有|a|＋|b|＝|a＋b|，||a|－|b||＝|a－b|，因此A，D正确；若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的平行四边形的两条对角线相等，故平行四边形为矩形，则a与b相互垂直，因此B正确；若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反，不能说明a与b有相等的模，因此C错误． 7．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________. 答案　0　2 解析　若a，b为相反向量，则a＋b＝0，所以|a＋b|＝0，又a＝－b，所以|a|＝|－b|＝1，因为a与－b共线，所以|a－b|＝2. 8．在矩形ABCD中，||＝2，||＝4，则|＋－|＝________，|＋＋|＝________. 答案　4　8 解析　在矩形ABCD中，因为＋－＝＋＋＝＋，所以|＋－|＝2||＝4.因为＋＋＝＋＋＝＋，所以|＋＋|＝2||＝8. 9．如图，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作： (1)b＋c－a；(2)a－b－c. 解　(1)如图(1)所示，以，为邻边作▱OBDC，连接OD，AD， 则＝＋＝b＋c， 所以b＋c－a＝－＝. 　　 图(1)　　　　　　　图(2) (2)由(1)知，＝b＋c， 则a－b－c＝－＝，如图(2)． 10.如图所示，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，先用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？ 解　由向量加法的平行四边形法则，得＝a＋b，由向量减法的几何意义，得＝－＝a－b. 当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线的长度相等，四边形ABCD为矩形； 当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边的长度相等，四边形ABCD为菱形； 当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形． 11．若||＝5，||＝8，则||的取值范围是(　　) A．[3,8] B．(3,8) C．[3,13] D．(3,13) 答案　C 解析　∵||＝|－|且 |||－|||≤|－|≤|A|＋||， ∴3≤|－|≤13，∴3≤||≤13. 12．(多选)在菱形ABCD中，给出下列各式，其中结论正确的是(　　) A.＋＝0 B.⊥ C．|－|＝|＋| D．|＋|＝|－| 答案　BCD 解析　A中，∵＝≠0，∴＋≠0，故不正确； B中，∵菱形的对角线互相垂直，故正确； C中，∵|－|＝|＋|＝2||， |＋|＝2||，且||＝||，故正确； D中，∵|＋|＝|＋|＝||， |－|＝||，故正确． 13．已知＝a，＝b，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________. 答案　13 解析　∵||＝12，||＝5，∠AOB＝90°， ∴||2＋||2＝||2， ∴||＝13. ∵＝a，＝b， ∴a－b＝－＝， ∴|a－b|＝||＝13. 14．若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为________． 答案　30° 解析　如图，设＝a， ＝b. 则a－b＝. ∵|a|＝|b|＝|a－b|， ∴||＝||＝||， ∴△OAB是等边三角形， ∴∠BOA＝60°. 又在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA， ∴a与a＋b的夹角为∠COA＝30°. 15．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||＝4，|＋|＝|－|，则||＝________. 答案　2 解析　以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB(图略)， 由向量加减法的几何意义可知， ＝＋，＝－， ∵|＋|＝|－|， ∴||＝||， 又||＝4，M是线段BC的中点， ∴||＝||＝||＝2. 16.如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，求： (1)|a＋b＋c|； (2)|a－b＋c|. 解　(1)由已知得a＋b＝＋＝， ∵＝c，∴延长AC到E， 使||＝||，如图所示， 则a＋b＋c＝， 且||＝2. ∴|a＋b＋c|＝2. (2)作＝，连接CF，则＋＝， 而＝－＝－＝a－b， ∴|a－b＋c|＝|＋|＝||且||＝2. ∴|a－b＋c|＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$