2.1 从位移、速度、力到向量-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

[学习目标]　1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，理解向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相反向量、相等向量及向量的模等概念，会找两向量所成的夹角． 导语 帆船运动是借风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动.1900年第二届奥运会将其列为正式比赛项目．帆船的最大动力来源是“伯努利效应”，如果一艘帆船所受“伯努利效应”产生力的效果可使船向北偏东30°以20 km/h的速度行驶，而此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，可求得帆船速度的大小和方向． 在现实生活和科学实验中常常会遇到两类量，一类量只有大小而没有方向，这类量叫作数量；另一类量既有大小又有方向，即本章要学习的向量． 一、向量的概念 问题1　在物理学中，位移、速度、力等物理量，与长度、面积相比有什么共同的特征？ 提示　既有大小又有方向． 知识梳理 1．向量与数量 (1)向量：既有大小又有方向的量． (2)数量：只有大小没有方向的量． 2．向量的表示 (1)具有方向和长度的线段称为有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段，记作.线段AB的长度称为有向线段的长度，记作||. (2)向量可以用有向线段表示，其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向． (3)向量也可以用黑斜体小写字母如a，b，c，…或，，，…(书写)来表示．向量a的大小，记作|a|，又称作向量的模． 注意点： (1)书写向量时要带箭头． (2)有向线段是向量的直观表示，并不是说向量就是有向线段． (3)向量不能比较大小，向量的模可以比较大小． 例1　一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向北偏西40°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点． (1)作出向量，，； (2)求||. 解　(1)向量，，如图所示． (2)由题意，可知四边形ABCD为平行四边形， ∴||＝||＝200(km)． 反思感悟　作向量的方法 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点． 跟踪训练1　某人从点A出发，向西走了200 m后到达点B，然后改变方向，向北偏西一定角度的某方向行走了100 m到达点C，最后又改变方向，向东走了200 m到达点D，发现点D在点B的正北方． (1)在图中作出向量，，(图中1个单位长度表示100 m)； (2)求向量的模． 解　(1)如图． (2)由题意可知，四边形ABCD是平行四边形， 所以||＝||＝100(m)． 二、两种特殊向量 知识梳理 1．零向量：长度为0的向量称为零向量，记作0或，任何方向都可以作为零向量的方向． 2．单位向量：模等于1个单位长度的向量． 注意点： (1)若用有向线段表示零向量，则其终点与起点重合． (2)注意0与0的区别与联系：0是一个实数，0是一个向量，且＝0. (3)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同． 例2　下列说法中，正确的是(　　) A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量的方向都是相同的 C．单位向量都是同方向 D．单位向量的长度都相等 答案　D 解析　对于A，零向量的长度为0，方向是任意的，故错误； 对于B，零向量的方向是任意的，故错误； 对于C，单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误； 对于D，长度等于1个单位长度的向量叫作单位向量，故正确． 反思感悟　解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题． 跟踪训练2　下列说法中正确的是(　　) A．向量的模都是正实数 B．单位向量的方向与大小都相同 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 答案　C 解析　零向量的模为0，故A不正确；单位向量的方向可以是任意的，故B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确；不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故D不正确． 三、向量的基本关系 问题2　速度相等等价于方向相同、大小相等；两个力相等等价于方向相同、大小相等，还包括作用点相同，根据上述例子探究相等向量的条件． 提示　相等向量等价于长度相等且方向相同． 知识梳理 相等向量 指它们的长度相等且方向相同．向量a与b相等，记作a＝b 共线向量(平行向量) 定义：若两个非零向量a，b的方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量，也称这两个向量共线或平行，记作a∥b.规定零向量与任一向量共线，即对于任意的向量a，都有0∥a 判定方法：表示两个向量的有向线段所在的直线重合或平行，则这两个向量共线或平行 相反向量 若两个向量的长度相等、方向相反，则称它们互为相反向量．相反向量是共线向量．向量a的相反向量记作－a，零向量的相反向量仍是零向量 注意点： (1)向量平行包括所在直线重合的情况，故也称向量共线． (2)零向量与任一向量共线． 例3　如图所示，△ABC的三边均不相等，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点． (1)写出与共线的向量； (2)写出模与的模相等的向量； (3)写出与相等的向量． 解　(1)因为E，F分别是AC，AB的中点， 所以EF∥BC，EF＝BC. 又因为D是BC的中点， 所以与共线的向量有，，，，，，. (2)模与的模相等的向量有，，，，. (3)与相等的向量有，. 反思感悟　相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线． (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉已知向量的相反向量． 跟踪训练3　如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形． (1)与向量相等的向量有________； (2)若||＝3，则||＝________. 答案　(1)，　(2)6 解析　(1)在平行四边形ABCD和平行四边形ABDE中， ∵＝，＝，∴＝， ∴与向量相等的向量有，. (2)由(1)知，＝， ∴E，D，C三点共线， ||＝||＋||＝2||＝6. 四、向量的夹角 知识梳理 1．夹角：已知两个非零向量a和b，在平面内选一点O，作＝a，＝b，则θ＝∠AOB(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角(如图所示)． 　　 当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向． 2．垂直：当a与b的夹角是90°时，则称a与b垂直，记作a⊥b.规定零向量与任一向量垂直，即对于任意的向量a，都有0⊥a. 例4　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心． (1)分别写出与，与夹角的大小； (2)分别指出与，与的夹角，并求出角的大小． 解　(1)∵∥且与方向相反， ∴与的夹角为180°. 又AC⊥BE，∴与的夹角为90°. (2)∵＝，＝， ∴与的夹角为∠COD＝60°. ∵＝，∴与的夹角为∠AFE＝120°. 反思感悟　根据向量夹角的定义，只有当两个向量的起点重合时，所对应的角才是两个向量的夹角，若两个向量的起点不重合，可平移其中一个向量使其起点重合，然后确定两个向量的夹角． 跟踪训练4　在△ABC中，C＝90°，BC＝AB，则与的夹角等于(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案　C 解析　如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角．在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°， 所以∠BAD＝120°. 1．知识清单： (1)向量的概念及表示． (2)向量的相关概念：零向量、单位向量、相等向量、共线向量(平行向量)、相反向量、向量的夹角． 2．方法归纳：数形结合． 3．常见误区：零向量和单位向量的方向容易混淆、误读向量夹角． 1．在同一平面内，把所有长度为1的向量的起点固定在同一点，那么这些向量的终点形成的图形是(　　) A．单位圆 B．一段弧 C．线段 D．直线 答案　A 2．(多选)下列说法错误的是(　　) A．共线的两个单位向量相等 B．相等向量的长度相等 C．若∥，则一定有直线AB∥CD D．若向量，共线，则点A，B，C，D必在同一直线上 答案　ACD 解析　A错，共线的两个单位向量的方向可能相反；B对；C错，直线AB与CD可能重合；D错，AB与CD可能平行，则A，B，C，D四点不共线． 3.(多选)如图所示，设O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的是(　　) A.＝ B.∥ C.与共线 D.＝ 答案　ABC 解析　∵与方向相同，长度相等， ∴A正确； ∵A，O，C三点在一条直线上， ∴∥，B正确； ∵AB∥DC，∴与共线，C正确； ∵与方向不同，∴二者不相等，D错误． 4．在等腰Rt△ABC中，A＝90°，则向量与的夹角为________． 答案　135° 1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．若a＝0，则|a|＝0 B．零向量是没有方向的 C．零向量与任意向量平行 D．零向量的方向是任意的 答案　ACD 解析　零向量的长度为0，方向是任意的，它与任意向量都平行，所以A，C，D正确，B错误． 2．下列说法中，正确的是(　　) A．速率、力、角度这些物理量都是向量 B．若|a|＝|b|，则a与b的方向相同 C．共线向量又叫平行向量 D．有向线段与表示同一向量 答案　C 解析　A中，只有力是向量，故错误；B中，|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明方向关系，故错误；C正确；D中，两向量方向不同，故错误． 3．已知在▱ABCD中，∠DAB＝60°，则与的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案　C 解析　如图，∠DAB＝60°，则与的夹角为∠ABC＝120°. 4．设O是△ABC的外心，则，，是(　　) A．相等向量 B．模相等的向量 C．平行向量 D．起点相同的向量 答案　B 解析　因为O是△ABC的外心， 所以||＝||＝||. 5.如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是(　　) A.＝ B．||＝|| C.> D.< 答案　B 解析　||与||表示等腰梯形两腰的长度，故相等． 6.(多选)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法正确的是(　　) A．与相等的向量只有1个(不含) B．与的模相等的向量有9个(不含) C.的模恰为的模的倍 D.与的夹角为120° 答案　ABC 解析　由于＝，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，，因此选项A，B正确； 在Rt△AOD中，因为∠ADO＝30°， 所以||＝||， 故||＝||，因此选项C正确； 由于＝， 所以与的夹角为∠CDA＝60°，因此选项D不正确． 7．若A地位于B地正西方向5 km处，C地位于A地正北方向5 km处，则C地相对于B地的位移的大小是________ km，方向是________． 答案　5　西北 8．在四边形ABCD中，若＝且||＝||，则四边形的形状为________． 答案　菱形 解析　∵＝，∴AB＝DC，AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵||＝||，∴四边形ABCD是菱形． 9.如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心． (1)与模相等的向量有多少个？ (2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ (3)与共线的向量有几个？ 解　(1)长度与的模相等的线段是六条边和六条连接中心与顶点的线段(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个． (2)存在．由正六边形的性质可知，BC∥AO∥EF，所以与长度相等、方向相反的向量有，，，，共4个． (3)由(2)知，BC∥OA∥EF，线段OD，AD与OA在同一条直线上，所以与共线的向量有，，，，，，，，，共9个． 10.如图所示，在四边形ABCD中，＝，点N，M分别是AD，BC上的点，且＝，求证：＝. 证明　∵＝，∴AB＝DC且AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴＝， 又＝， ∴CN＝MA，CN∥MA， ∴四边形CNAM是平行四边形， ∴＝，∴CM＝NA，CM∥NA. ∵CB＝DA，CM＝NA，∴MB＝DN. 又DN∥MB， ∴与的模相等且方向相同， ∴＝. 11．(多选)下列能使a∥b成立的是(　　) A．a＝b B．|a|＝|b| C．a与b方向相反 D．|a|＝0或|b|＝0 答案　ACD 12.在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB＝30°，||＝2，则||等于(　　) A．1 B. C. D．2 答案　A 解析　如图，由||＝||，得∠ABC＝∠OCB＝30°， 又∠ACB＝90°， 则||＝||＝×2＝1. 13．(多选)在下列结论中，正确的有(　　) A．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件 B．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的既不充分也不必要条件 C．a与b方向相同且|a|＝|b|是a＝b的充要条件 D．a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件 答案　ACD 解析　若a＝b，则a与b方向相同，模相等，所以A，C，D正确，B错误． 14.设O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中，与共线的向量为____________；与模相等的向量为______________________． 答案　，，　，，，，，， 15.如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是(　　) A．||＝|| B.与共线 C.与共线 D.＝ 答案　C 解析　由向量相等及共线的概念，结合图形可知C不一定成立． 16．如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且||＝. (1)画出所有的向量； (2)求||的最大值与最小值． 解　(1)所有的向量，如图所示． (2)由(1)所画的图知， ①当点C位于点C1或C2时， ||取得最小值＝； ②当点C位于点C5或C6时， ||取得最大值＝. 所以||的最大值为，最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$