第1章 三角函数 章末检测试卷-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

章末检测试卷一(第一章) (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．计算cos(－780°)的值是(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　C 解析　cos(－780°)＝cos 780° ＝cos(360°×2＋60°)＝cos 60°＝. 2．下列四个函数，最小正周期是的是(　　) A．y＝sin 2x B．y＝cos  C．y＝sin 4x D．y＝tan 3x 答案　C 解析　A选项，T＝＝π，错误；B选项，T＝＝4π，错误；C选项，T＝＝，正确；D选项，T＝，错误． 3．若点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ的终边在第________象限(　　) A．一 B．二 C．三 D．四 答案　B 解析　由题意知 ∴故角θ的终边在第二象限． 4．扇子最早称“翣”，其功能并不是纳凉，而是礼仪器具，后用于纳凉、娱乐、欣赏等．扇文化是中国传统文化的重要门类，扇子的美学也随之融入到建筑等艺术审美之中．图1为一古代扇形窗子，此窗子所在扇形的半径(图2)AO＝120 cm，圆心角为45°，且C为AO的中点，则该扇形窗子的面积为(　　) A. cm2 B．1 350π cm2 C．1 350 cm2 D．1 800π cm2 答案　B 解析　因为C为AO的中点，所以CO＝60 cm,45°化成弧度为，所以此扇形窗子的面积为××1202－××602＝1 350π(cm2)． 5.智能主动降噪耳机工作的原理是：通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音，已知某噪音的声波曲线y＝Asin(x＋φ)的振幅为2，经过点，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为(　　) A．y＝2sin B．y＝－2sin C．y＝2sin x D．y＝－2sin x 答案　B 解析　因为振幅为2，所以A＝2， 由2sin＝， 整理得sin＝， 因为0≤φ＜，所以φ＝， 故某噪音的声波曲线为y＝2sin. 由于该噪音的声波曲线与反向波叠加后相抵消， 故反向波曲线应为y＝－2sin. 6．已知a＝sin 160°，b＝cos 50°，c＝tan 110°，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b 答案　C 解析　因为a＝sin 160°＝cos 70°＜cos 50°＝b， 即0＜a＜b＜1，又因为c＝tan 110°＝－tan 70°＜0， 则c＜a＜b. 7.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，其中的图象如图所示，为了得到f(x)的图象，则只需将g(x)＝sin 2x的图象(　　) A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 答案　D 解析　由三角函数f(x)的图象可知，A＝1且＝－＝，即T＝π.又由T＝＝π，得w＝2， 即f(x)＝sin(2x＋φ)， 又由f ＝sin＝sin＝－1， 得＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 即φ＝＋2kπ，k∈Z， 又因为|φ|<，所以φ＝， 即f(x)＝sin， 函数g(x)＝sin 2x向左平移个单位长度，即可得到f(x)＝sin 2＝sin的图象． 8.一半径为4.8 m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2.4 m，已知水轮每60 s逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则(　　) A．点P第一次到达最高点需要10 s B．在水轮转动的一圈内，点P距离水面的高度不低于4.8m共有10s的时间 C．点P距离水面的距离d(单位：m)与时间t(单位：s)的函数解析式为d＝4.8 sin－2.4 D．当水轮转动50 s时，点P在水面下方，距离水面2.4 m 答案　D 解析　显然点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的关系成周期性，符合正弦型函数关系，设其解析式为f(t)＝Asin(ωt＋φ)＋b， 依题意，A＝4.8，b＝2.4，由＝60，解得ω＝，即f(t)＝4.8sin＋2.4，当t＝0时，f(t)＝0，得sin φ＝－，又|φ|<，所以φ＝－，于是得所求的函数解析式是f(t)＝4.8sin＋2.4， 所以点P距离水面的距离d(单位：m)与时间t(单位：s)的函数解析式为 d＝|f(t)|＝，C错误； 由4.8sin＋2.4＝7.2， 得sin＝1，即t－＝，解得t＝20， 点P第一次到达最高点要20 s时间，A错误； 由4.8sin＋2.4≥4.8⇒sin≥⇒≤t－≤⇒10≤t≤30， 即在水轮转动的一圈内，有20秒的时间，点P距离水面的高度不低于4.8米，B错误； t＝50时，f(50)＝4.8sin＋2.4＝4.8sin ＋2.4＝－2.4，D正确． 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．下列结论正确的是(　　) A．－是第三象限角 B．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为 C．若角α的终边过点P(－3,4)，则cos α＝－ D．若角α为锐角，则角2α为钝角 答案　BC 解析　选项A，－终边与相同，为第二象限角，所以A不正确； 选项B，设扇形的半径为r，则r＝π， 所以r＝3，扇形面积为×3×π＝，所以B正确； 选项C，角α的终边过点P(－3,4)， 根据三角函数定义，cos α＝－，所以C正确； 选项D，角α为锐角时，0<α<，0<2α<π， 所以D不正确． 10．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象向左平移个单位长度．若所得图象与原图象重合，则ω的值可能等于(　　) A．4 B．6 C．8 D．12 答案　ACD 解析　将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象向左平移个单位长度后，解析式变为 f(x)＝sin＝sin， 因为平移后图象与原来图象重合， 所以＝2kπ，k∈Z，得ω＝4k，k∈Z. 11．若m＝sin在x∈上有解，则m的取值可能为(　　) A．1 B.＋2 C. D．2 答案　AC 解析　∵x∈，∴2x＋∈， ∴sin∈[－1，]， 又m＝sin在x∈上有解， ∴m∈[－1，]， 对比选项，可得选项A，C符合要求． 12．已知函数f(x)＝sin x－|sin x|，下列结论正确的有(　　) A．函数f(x)是奇函数 B．函数f(x)是周期函数，且2π为f(x)的一个周期 C．函数f(x)的最小值为－2 D．函数f(x)的图象关于直线x＝kπ＋，k∈Z对称 答案　BCD 解析　对于A，因为f(－x)＝sin(－x)－|sin(－x)|＝－sin x－|sin x|≠－f(x)，所以f(x)不是奇函数，故选项A错误； 对于B，f(x＋2π)＝sin(x＋2π)－|sin(x＋2π)|＝sin x－|sin x|＝f(x)，故f(x)是周期函数，2π为f(x)的一个周期，故选项B正确； 对于C，f(x)＝sin x－|sin x| ＝(k∈Z)， 故f(x)min＝－2，故选项C正确； 对于D，因为f(π＋2kπ－x)＝sin(π＋2kπ－x)－|sin(π＋2kπ－x)|＝sin(π－x)－|sin(π－x)| ＝sin x－|sin x|，k∈Z. 所以f(π＋2kπ－x)＝f(x)， 所以函数f(x)的图象关于直线x＝kπ＋，k∈Z对称，故选项D正确． 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．不等式1＋tan x≥0的解集是______________________________________． 答案　 解析　由题意知，tan x≥－1，则解集为 . 14．已知函数y＝2cos－1，x∈，则当x＝________时，函数取得最小值为________． 答案　　－3 解析　∵x∈，∴2x－∈， ∴当2x－＝π，即x＝时，cos取得最小值为－1， ∴当x＝时，y＝2cos－1，x∈取得最小值为2×(－1)－1＝－3. 15．将函数y＝2sin的图象变换得到函数y＝2cos 2x的图象，需要向________平移______个单位长度． 答案　左　 解析　因为y＝2sin＝2cos＝2cos，所以需要向左平移个单位长度． 16．设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)(ω＞0)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两交点的距离为，且图象关于点M对称，则φ的值可以是______． 答案　(答案不唯一，只要满足φ＝＋(k∈Z)的任何一个值都可以) 解析　由题意可知， 函数f(x)的最小正周期T＝， 即＝，∴ω＝2. 从而f(x)＝tan(2x＋φ)． ∵函数y＝f(x)的图象关于点M对称， ∴2×＋φ＝，k∈Z， 即φ＝＋(k∈Z)． 四、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)化简： (1)＋； (2)cos＋cos(k∈Z)． 解　(1)原式＝＋ ＝－sin α＋sin α＝0. (2)原式＝cos＋cos， 当k＝2n，n∈Z时， 原式＝cos＋cos ＝cos＋cos ＝cos＋cos＝2cos. 当k＝2n＋1，n∈Z时， 原式＝cos＋cos ＝cos＋cos ＝－cos－cos ＝－2cos. 18．(12分)(1)设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P(x，)，且cos α＝x，求sin α与tan α的值； (2)已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，求sin θ，cos θ. 解　(1)∵r＝，∴cos α＝， 从而x＝，解得x＝0或x＝±. ∵90°＜α＜180°，∴x＜0，因此x＝－. 故r＝2，sin α＝＝， tan α＝＝－. (2)∵θ的终边过点(x，－1)，∴tan θ＝－， 又tan θ＝－x，∴x2＝1，∴x＝±1. 当x＝1时，sin θ＝－，cos θ＝； 当x＝－1时，sin θ＝－，cos θ＝－. 19．(12分)已知函数f(x)＝asin＋a＋b. (1)当a＝1时，求函数f(x)的单调递减区间； (2)当a<0时，函数f(x)在[0，π]上的值域为[2,3]，求a，b的值． 解　(1)当a＝1时， 函数f(x)＝sin＋1＋b. 因为函数y＝sin x的单调递减区间为 (k∈Z)， 所以当2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)， 即2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)时， f(x)单调递减． 所以函数f(x)的单调递减区间是 ，k∈Z. (2)f(x)＝asin＋a＋b， 因为x∈[0，π]，所以－≤x－≤， 所以－≤sin≤1. 又因为a<0，所以a≤asin≤－a， 所以a＋a＋b≤f(x)≤b. 因为函数f(x)的值域是[2,3]， 所以a＋a＋b＝2且b＝3，解得a＝1－，b＝3. 20.(12分)如图，函数y＝2cos(ωx＋θ)的图象与y轴相交于点(0，)，且其最小正周期是π. (1)求θ和ω的值； (2)已知点A，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝，x0∈时，求x0的值． 解　(1)将(0，)代入y＝2cos(ωx＋θ)， 得cos θ＝， 因为0≤θ≤，所以θ＝. 由最小正周期是π，且ω>0， 得ω＝＝＝2. (2)由已知得P，将点P的坐标代入y＝2cos中， 得cos＝. 又≤x0≤π，所以≤4x0－≤， 所以4x0－＝或， 解得x0＝或. 21．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的一系列对应值如表： x － f(x) －1 1 3 1 －1 1 3 (1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式； (2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k>0)的周期为，当x∈时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围． 解　(1)设f(x)的最小正周期为T， 则T＝－＝2π， 由T＝，得ω＝1， 又解得 令ω·＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 即＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 取φ＝－，所以f(x)＝2sin＋1. (2)因为函数y＝f(kx)＝2sin＋1的周期为，又k>0，所以k＝3. 令t＝3x－，因为x∈， 所以t∈，2sin t＋1＝m，sin t＝， 如图，sin t＝s在上有两个不同的解， 则s∈， 所以≤<1， 则m∈[＋1,3)， 即实数m的取值范围是[＋1,3)． 22．(12分)已知函数f(x)＝2sin. (1)求函数f(x)的最小值及f(x)取到最小值时自变量x的集合； (2)指出函数y＝f(x)的图象可以由函数y＝sin x的图象经过哪些变换得到； (3)当x∈[0，m]时，函数y＝f(x)的值域为[－，2]，求实数m的取值范围． 解　(1)f(x)min＝－2， 此时2x－＝2kπ－，k∈Z， 即x＝kπ－，k∈Z， 即此时自变量x的集合是. (2)把函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再把函数y＝sin的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的， 得到函数y＝sin的图象， 最后再把函数f(x)＝sin的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍， 得到函数f(x)＝2sin的图象． (3)函数f(x)的图象如图所示， 因为当x∈[0，m]时，y＝f(x)取到最大值2， 所以m≥. 又函数y＝f(x)在上单调递减，f(0)＝－， 故m的最大值为内使函数值为－的值， 令2sin＝－，x∈，得x＝， 所以m的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$