1.4.4 诱导公式与旋转-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

4.4　诱导公式与旋转 [学习目标]　1.掌握±α与α－的正弦、余弦诱导公式的推导过程.2.对诱导公式能作综合归纳，体会出七组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题． 导语 风车最早出现在波斯，起初是立轴翼板式风车，后来又发明了水平轴风车．如图所示的风车是由4个扇叶组成，相邻两个扇叶之间的角度为直角，若将风车扇叶的最外侧看作一个质点，那么四个质点之间存在什么关系？在平面直角坐标系中的坐标之间有什么关系？ 一、正弦函数、余弦函数诱导公式 问题1　设锐角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，将终边绕点O沿逆时针方向旋转得到点P′，即α＋的终边与单位圆交于点P′，求出点P′的坐标． 提示　由图可知P′(－v，u)． 问题2　根据正弦函数、余弦函数的定义，角α＋的正弦函数、余弦函数值分别是什么？ 提示　sin＝u，cos＝－v. 问题3　角α与角α＋的正弦函数、余弦函数具有什么样的关系？ 提示　sin＝cos α，cos＝－sin α. 问题4　角α与角α－的正弦函数、余弦函数具有什么样的关系？ 提示　sin＝－cos α，cos＝sin α. 知识梳理 1．正弦函数、余弦函数诱导公式 角 正弦 余弦 α＋2kπ(k∈Z) sin α cos α －α －sin α cos α α＋π －sin α －cos α α－π －sin α －cos α π－α sin α －cos α α＋ cos α －sin α －α cos α sin α 2.正弦函数、余弦函数诱导公式的记忆方法 (1)α＋2kπ(k∈Z)，－α，2π－α，α±π的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号，简记为“函数名不变，符号看象限”． (2)±α的正弦、余弦函数值，函数名改变，把α看作锐角，符号看±α的函数值的符号．简记为“函数名改变，符号看象限”． 诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”．当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”． 二、利用诱导公式求值 例1　(1)已知cos(π＋α)＝－，求sin的值； (2)已知cos(2π－α)＝－，且α为第三象限角，求cos的值． 解　(1)∵cos(π＋α)＝－cos α＝－， ∴cos α＝， 则sin＝cos α＝. (2)因为cos(2π－α)＝cos α＝－， 且α为第三象限角， 所以sin α＝－， 所以cos＝－sin α＝. 反思感悟　对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系，如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题． 跟踪训练1　已知cos＝，求sin的值． 解　∵α＋＝＋， ∴sin＝sin ＝cos＝. 三、利用诱导公式化简 例2　化简：，其中k∈Z. 解　当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则 原式＝ ＝＝＝1. 当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)． 仿上化简得原式＝1. 故原式＝1. 反思感悟　用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±α的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简． 跟踪训练2　化简：. 解　原式＝ ＝ ＝ ＝＝1. 四、诱导公式的综合应用 例3　已知f(x)＝. (1)化简f(x)； (2)求f . 解　(1)f(x)＝ ＝＝. (2)f ＝＝ ＝＝－. 反思感悟　解决诱导公式与函数相结合的问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再化简或求值，这样可避免公式交错使用而导致的混乱． 跟踪训练3　已知f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若cos(α－π)＝，求f(α)的值． 解　(1)f(α)＝＝－cos α. (2)因为cos(α－π)＝， 所以cos α＝－， 所以f(α)＝－cos α＝. 1．知识清单： (1)正弦函数、余弦函数的诱导公式． (2)利用诱导公式进行化简、求值与证明． 2．方法归纳：公式法、构造法、转化与化归． 3．常见误区：函数名称、符号的变化，角与角之间的联系与构造． 1．已知sin 25.3°＝a，则cos 64.7°等于(　　) A．a B．－a C．a2 D. 答案　A 解析　cos 64.7°＝cos(90°－25.3°)＝sin 25.3°＝a. 2．若cos(2π－α)＝，则sin等于(　　) A．－ B．－ C. D．± 答案　A 解析　∵cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos α＝， ∴sin＝－cos α＝－. 3．若cos＝，则cos＋sin(φ－π)的值为(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　D 解析　cos＝－sin φ＝，sin φ＝－， cos＋sin＝－sin φ－sin φ＝. 4．已知sin＝，则cos＝________. 答案　 解析　cos＝cos ＝sin＝. 1．若sin<0，cos>0，则θ为(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案　C 解析　∵sin＝cos θ<0， cos＝－sin θ>0， ∴sin θ<0，∴θ为第三象限角． 2．已知sin＝，那么cos α等于(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　C 解析　sin＝sin＝cos α， 故cos α＝. 3．(多选)下列与cos的值一定相等的是(　　) A．sin(π－θ) B．sin(π＋θ) C．cos D．cos 答案　BD 解析　因为cos＝－cos＝－sin θ， sin(π－θ)＝sin θ， sin(π＋θ)＝－sin θ， cos＝sin θ， cos＝－sin θ， 所以B，D项与cos的值相等． 4．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值为(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　B 解析　由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－， 得sin α＝， 则cos(270°－α)＋2sin(360°－α) ＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－. 5．化简等于(　　) A．－sin θ B．sin θ C．cos θ D．－cos θ 答案　A 解析　原式＝＝＝－sin θ. 6．如果角α的终边过点P，则cos α等于(　　) A．－ B. C. D．－ 答案　A 解析　cos ＝cos＝cos ＝－cos ＝－， sin ＝sin＝sin ＝， ∴P， 则点P在单位圆上， ∴cos α＝－. 7．已知sin＝，则cos＝________. 答案　－ 解析　cos＝cos＝sin＝－sin＝－. 8．已知sin α＝，则·sin(α－π)·cos(2π－α)的值为________． 答案　－ 解析　原式＝·(－sin α)·cos(－α) ＝·(－sin α)·cos α ＝·(－sin α)·cos α ＝－sin2α＝－. 9．化简：sincos，n∈Z. 解　当n为偶数时，记n＝2k，k∈Z. 原式＝sincos ＝sincos ＝cos＝sin cos  ＝sin cos ＝×＝. 当n为奇数时，记n＝2k＋1，k∈Z. 原式＝sincos ＝sincos ＝sin cos ＝sin cos ＝×＝. 综上，sincos＝，n∈Z. 10．证明：＝－cos α. 证明　因为左边＝ ＝ ＝－cos α＝右边， 所以等式成立． 11．已知cos(75°＋α)＝，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是(　　) A. B. C．－ D．－ 答案　D 解析　sin(α－15°)＋cos(105°－α) ＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)] ＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α) ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α) ＝－2cos(75°＋α)＝－. 12．(多选)在△ABC中，下列结论正确的是(　　) A．sin(A＋B)＝sin C B．cos(A＋B)＝cos C C．sin ＝cos  D．cos ＝cos  答案　AC 解析　由题意知，在△ABC中，A＋B＋C＝π，对于选项A，sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，故选项A正确；对于选项B，cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，故选项B错误；对于选项C，sin ＝sin ＝cos ，故选项C正确；对于选项D，cos ＝cos ＝sin ，故选项D错误． 13．若sin<0，cos<0，且角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，则实数a的取值范围是(　　) A．a<3 B．a<－2 C．－2<a<3 D．a>－2 答案　B 解析　sin＝cos α<0， cos＝sin α<0， ∴α是第三象限角， 则解得a<－2. 14．已知角α的终边经过点P(－4,3)，则＝________. 答案　－ 解析　∵角α的终边经过点P(－4,3)， ∴sin α＝，cos α＝－， ∴ ＝ ＝＝－. 15．已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，则＝________. 答案　－ 解析　∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)， ∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)， ∴－sin(π－α)＝2cos(－α)， ∴sin α＝－2cos α且cos α≠0， ∴原式＝＝ ＝＝－. 16．已知f(α)＝ . (1)若cos＝，求f(α)的值； (2)若α＝－1 860°，求f(α)的值． 解　f(α)＝ ＝ ＝. (1)∵cos＝， ∴cos＝， ∴cos＝， ∴sin α＝－， ∴f(α)＝＝－5. (2)当α＝－1 860°时，f(α)＝ ＝＝ ＝＝ ＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$