1.4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 [学习目标]　1.会利用单位圆研究正弦、余弦函数的基本性质.2.能利用正弦、余弦函数的基本性质解决相关的问题． 导语 根据三角函数的定义可知，“单位圆上点的坐标就是三角函数”．因此，单位圆的性质与三角函数的性质有天然的联系，单位圆是研究三角函数性质的好工具．这节课，我们就利用单位圆研究正弦、余弦函数的基本性质． 一、正弦、余弦函数的性质 知识梳理 正弦函数(y＝sin x) 余弦函数(y＝cos x) 定义域 R 值域 [－1,1] 最小值 当x＝2kπ－，k∈Z时，ymin＝－1 当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，ymin＝－1 最大值 当x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝1 当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1 周期性 周期函数，最小正周期为2π 单调性 在区间，k∈Z上单调递增； 在区间，k∈Z上单调递减 在区间[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z上单调递减； 在区间[2kπ－π，2kπ]，k∈Z上单调递增 注意点： (1)终边相同的角的正弦、余弦函数值相等，即sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos α，k∈Z，α∈R. (2)正弦函数、余弦函数都不是单调函数，但他们都有无数个单调区间． 二、正弦、余弦函数的定义域 例1　求下列函数的定义域． (1)y＝； (2)y＝lg＋. 解　(1)自变量x应满足2sin x－≥0， 即sin x≥. 图中阴影部分就是满足条件的角x的取值范围， 即. (2)由题意知，自变量x应满足不等式组 即 则不等式组的解集如图(阴影部分)所示， ∴. 延伸探究　将本例(1)改为求y＝的定义域． 解　自变量x应满足－2sin x≥0，即sin x≤， 图中阴影部分就是满足条件的角x的取值范围， 即. 反思感悟　(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制． (2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集． 跟踪训练1　求函数y＝的定义域． 解　要使有意义， 则必须满足2sin x＋1≥0， 即sin x≥－， 图中阴影部分即为所求， 则x的取值范围是，k∈Z . 三、正弦、余弦函数的单调性 例2　函数y＝cos x的一个单调递增区间为(　　) A. B．(0，π) C. D．(π，2π) 答案　D 解析　∵y＝cos x的单调递增区间为，k∈Z， 令k＝1得x∈，即为y＝cos x的一个单调递增区间，而(π，2π)⊆，故选D. 反思感悟　利用单位圆有助于理解记忆正弦、余弦函数的单调区间，特别注意不连贯的单调区间不能使用“∪”连接． 跟踪训练2　求下列函数的单调区间． (1)y＝sin x，x∈[－π，π]； (2)y＝cos x，x∈[－π，π]． 解　(1)y＝sin x在x∈[－π，π]上的单调递增区间为，单调递减区间为，. (2)y＝cos x在x∈[－π，π]上的单调递增区间为[－π，0]，单调递减区间为[0，π]． 四、正弦、余弦函数的值域与最值 例3　(1)求函数y＝cos x的值域． 解　∵y＝cos x在区间上单调递增，在区间上单调递减， ∴当x＝0时，ymax＝1， 当x＝时，ymin＝cos ＝－， ∴y＝cos x的值域是. (2)已知函数y＝asin x＋1的最大值为3，求它的最小值． 解　当a>0时，ymax＝a×1＋1＝3，得a＝2， ∴当sin x＝－1时，ymin＝2×(－1)＋1＝－1； 当a<0时，ymax＝a×(－1)＋1＝3，得a＝－2， ∴当sin x＝1时，ymin＝－2×1＋1＝－1. ∴它的最小值为－1. 反思感悟　(1)求正弦、余弦函数的值域或最值时应注意定义域，解题时可借助图象结合正弦、余弦函数的单调性进行分析． (2)对于含有参数的值域或最值，应注意对参数分类讨论． 跟踪训练3　求函数y＝2＋cos x，x∈的值域． 解　由单位圆，可知当x∈时， cos x∈，所以2＋cos x∈，所以函数y＝2＋cos x，x∈的值域为. 1．知识清单： (1)正弦、余弦函数的定义域． (2)正弦、余弦函数的值域与最值． (3)正弦、余弦函数的单调性． 2．方法归纳：数形结合． 3．常见误区：单调区间漏写k∈Z，特殊角函数值记忆错误造成三角不等式解集有误． 1．sin 390°的值为(　　) A. B. C. D．－ 答案　C 解析　sin 390°＝sin(30°＋360°)＝sin 30°＝. 2．函数y＝cos x，x∈的单调递减区间为______． 答案　[0，π] 3．不等式sin x－1≥0的解集为_________________________________________________. 答案　 解析　由sin x－1≥0得， sin x≥. 结合单位圆与三角函数的图象与性质， 可得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z. 4．函数y＝－2sin x，x∈的值域为______． 答案　[－2,1] 解析　由x∈， 得sin x∈， ∴y∈[－2,1]， ∴y＝－2sin x，x∈的值域为[－2,1]． 1．函数f(x)＝2sin x的最小正周期为(　　) A．2π B. C．π D. 答案　A 解析　∵sin(x＋2π)＝sin x， ∴f(x＋2π)＝f(x)， ∴函数f(x)＝2sin x的最小正周期为2π. 2．函数y＝2sin x的单调递减区间是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 答案　A 3．函数y＝lg的定义域为(　　) A. B.，k∈Z C.，k∈Z D．R 答案　C　 解析　∵cos x－>0，∴cos x>， ∴2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z. ∴函数y＝lg的定义域为，k∈Z. 4．函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值为(　　) A．ymax＝3，x＝ B．ymax＝1，x＝2kπ＋(k∈Z) C．ymax＝3，x＝2kπ－(k∈Z) D．ymax＝3，x＝2kπ＋(k∈Z) 答案　C 解析　由函数性质得ymax＝3，此时sin x＝－1，即x＝2kπ－，k∈Z. 5．(多选)下列说法正确的是(　　) A．y＝sin x在上单调递增 B．y＝cos x的值域为[－1,1] C．y＝2sin x的周期为2π D．y＝cos x的单调递增区间为[0，π] 答案　ABC 6．(多选)函数y＝sin x在区间上的单调递增区间和最大值分别为(　　) A. B. C．1 D. 答案　AC 解析　由单位圆中作出角，的终边，如图所示．则y＝sin x的单调递增区间为，且最大值为1，故选AC. 7．y＝3sin x，x∈的值域为____________． 答案　 解析　借助单位圆可知，函数f(x)＝sin x，x∈在x＝处取得最大值1，在x＝－和x＝处同时取得最小值－，即－≤sin x≤1，所以－≤3sin x≤3. 8．满足sin α－cos α>0的α的取值范围是_________________________________________. 答案　 解析　由图可解． 9．已知函数y＝acos x＋b的最大值是0，最小值是－4，求a，b的值． 解　当a>0时， 解得 当a<0时， 解得 ∴a＝2，b＝－2或a＝b＝－2. 10．已知f(x)＝－sin x. (1)试写出f(x)的单调区间； (2)若f(x)在上单调递减，求实数a的取值范围． 解　(1)∵f(x)＝－sin x， 根据正弦函数y＝sin x的单调性可知，f(x)的单调递减区间为(k∈Z)， 单调递增区间为(k∈Z)． (2)∵f(x)在上单调递减， ∴⊆， 即－<a≤. ∴a的取值范围是. 11．已知a＝cos ，b＝sin ，c＝0.3－2，则(　　) A．c>a>b B．b>c>a C．a>c>b D．c>b>a 答案　A 解析　因为1>a＝cos >b＝sin >0，c＝0.3－2＝>1，所以c>a>b. 12．(多选)下列说法正确的是(　　) A．y＝|sin x|的定义域为R B．y＝3sin x＋1的最小值为1 C．y＝－sin x为周期函数 D．y＝sin x－1的单调递增区间为(k∈Z) 答案　AC 解析　对于B，y＝3sin x＋1的最小值为－3＋1＝－2；对于D，y＝sin x－1的单调递增区间为，k∈Z，故BD错误，AC正确． 13．已知f(x)＝cos，x∈Z，则f(x)的值域为(　　) A. B. C. D. 答案　A 14．若≤x≤，则函数y＝sin2x－sin x＋1的最小值为________． 答案　 解析　令t＝sin x， ∵x∈，结合单位圆知t∈， ∴y＝t2－t＋1＝2＋，t∈， ∴当t＝时，ymin＝－＋1＝. 15．(多选)定义域f(x)＝cos(sin x)为“正余弦”函数，则下列说法中正确的是(　　) A．f(x)的定义域为R B．2π是f(x)的一个周期 C．f(x)在上单调递减 D．f(x)的最小值为－1 答案　ABC 解析　对于A，令t＝sin x．∵x∈R，则t∈[－1,1]， ∴y＝cos t有意义，即f(x)的定义域为R，故A正确； 对于B，f(x＋2π)＝cos[sin(x＋2π)]＝cos(sin x)＝f(x)，即2π是f(x)的一个周期，故B正确； 对于C，t＝sin x在上单调递增，且t∈[0,1]，而y＝cos t在t∈[0,1]上单调递减，即f(x)在上单调递减，故C正确； 对于D，由t＝sin x∈[－1,1]，而y＝cos t在[－1,0]上为增函数，[0,1]上为减函数，所以f(x)的最小值为cos 1(或cos(－1))不是－1，故D错误． 16．已知函数f(x)＝. (1)判定函数f(x)是否为周期函数； (2)求函数f(x)的单调递增区间； (3)当x∈时，求f(x)的值域． 解　(1)函数f(x)的定义域是R. 因为f(x＋2π)＝ ＝＝f(x)， 所以f(x)是周期函数． (2)由正弦函数的基本性质， 可知在区间(k∈Z)上， 函数y＝sin x单调递增， 而此时函数h(x)＝2－sin x单调递减， 从而可知此时函数f(x)单调递增， 故可知函数f(x)的单调递增区间为 (k∈Z)． (3)设t＝sin x， 则t∈， 所以1≤2－t<，则<≤1. 故f(x)的值域为. 学科网（北京）股份有限公司 $$