2.3 从速度的倍数到向量的数乘 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

§3 从速度的倍数到 向量的数乘 第二章　平面向量及其应用 学习目标 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义. 2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算. 3.理解并掌握共线(平行)向量基本定理，能熟练运用共线(平行)向量基本定理处理有关共线向量问题. 在疾风骤雨、雷电交加的夜晚，为什么我们总是 先看到闪电，后听到雷声？这是因为光速远远大 于声速.经测量光速大小约为声速的8.8×105倍. 一物体由高空自由落下，根据自由落体运动的速度公式v＝gt可知，它在1 s末和2 s末的速度大小分别为v1＝9.8 m/s和v2＝19.6 m/s.显然v2＝2v1，并且方向都是竖直向下的. 以上实例说明在实际中存在着这样的两个向量，它们是共线的，而且大小之间具有倍数关系，因此，有必要定义实数与向量的乘积运算. 导语 内容索引 一、数乘运算的定义及几何意义 二、数乘运算的运算律 课时对点练 三、共线(平行)向量基本定理 随堂演练 数乘运算的定义及几何意义 一 问题1　有一同学从O点出发，向东行进，1秒后到达A点，按照相同的走法，问3秒后该同学在哪里，用向量怎么表示这段位移？ 提示　如图所示. 问题2　相同的几个数相加可以转化为乘法运算，如3＋3＋3＋3＋3＝5×3＝15，那么相等的几个向量相加是否也能转化为乘法运算呢？ 提示　可以.a＋a＋a＋a＋a＝5×a＝5a. 1.向量数乘的定义 实数λ与向量a的乘积是一个 ，记作λa，满足以下条件： (1)当 时，向量λa与向量a的方向相同； 当 时，向量λa与向量a的方向相反； 当λ＝0时，0a＝ . (2)|λa|＝ . 这种运算称为向量的数乘. 向量 λ>0 λ<0 |λ||a| 0 知识梳理 8 2.向量数乘的几何意义 实数与向量数乘λa的几何意义：当 时，表示向量a的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的λ倍；当 时，表示向量a的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍. 3.向量的单位化 在非零向量a方向上的单位向量是 ，它表明一个非零向量除以它的___ (乘它的模的倒数)的结果是一个与原向量 方向的 向量，这一过程称为向量的单位化. λ>0 λ<0 模 同 单位 知识梳理 9 注意点： (1)已知λ∈R，a是向量，则λa是向量，而λ与a不能相加减. (2)若a≠0，则 表示与a方向相同的单位向量. 知识梳理 10 例1　(多选)已知a，b为非零向量，下面说法正确的是 A.2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍 B.－2a的方向与3a的方向相反，且－2a的模是3a的模的 C.－2a与2a是一对相反向量 D.a－b与－(b－a)是一对相反向量 √ √ √ 11 对于A，∵2a＝a＋a与a方向相同， 且|2a|＝|a＋a|＝|a|＋|a|＝2|a|，故A正确； 对于B，∵－2a＝(－a)＋(－a)与－a同方向，3a＝a＋a＋a与a同方向，由于－a与a反方向，故－2a与3a反方向， 对于C，∵－2a＋2a＝(－2＋2)a＝0，故－2a与2a是一对相反向量，故C正确； 对于D，∵－(b－a)＝a－b，∴两者为相等向量，故D错误. 对数乘向量的四点说明 (1)λa中的实数λ叫作向量a的系数. (2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向长度扩大或缩小几倍. (3)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.注意是0，而不是0. 反思感悟 13 跟踪训练1　已知λ，μ∈R，则在下列各命题中，正确的命题有 ①当λ＜0，a≠0时，λa与a的方向一定相反； ②当λ＞0，a≠0时，λa与a的方向一定相同； ③当λμ＞0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同； ④当λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反. A.1个 B.2个　 C.3个 D.4个 √ 14 由λ与向量a的积λa的方向规定，易知①②正确； 对于命题③④，当λμ＞0时，λ，μ同正或同负，∴λa与μa或者都与a同向，或者都与a反向，∴λa与μa同向，当λμ＜0时，则λ与μ异号，λa与μa中，一个与a同向，一个与a反向，∴λa与μa反向，故③④也正确. 二 数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，a，b为向量. (1)(λ＋μ)a＝ . (2)λ(μa)＝ . (3)λ(a＋b)＝ . 注意点： (1)向量的加法、减法和数乘的综合运算统称为向量的线性运算. (2)对于任意向量a，b以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a＋λμ2b. λa＋μa (λμ)a λa＋λb 知识梳理 17 √ 因为E是BC的中点， 18 用已知向量表示其他向量的方法 反思感悟 19 √ 20 三 共线(平行)向量基本定理 问题3　已知非零向量b，且a＝λb，探究a，b之间的关系. 提示　a∥b. 1.共线(平行)向量基本定理 给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使a＝λb. 2.直线的向量表示 知识梳理 23 知识梳理 24 例3　设a，b是不共线的两个非零向量. ∴A，B，C三点共线. 25 (2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值. ∵8a＋kb与ka＋2b共线， ∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)， 即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0， 解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4. 26 (1)证明或判断三点共线的方法 (2)利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等 求解. 反思感悟 27 ∴A，B，D三点共线. A，B，D 28 1.知识清单： (1)向量的数乘及运算律. (2)共线(平行)向量基本定理. (3)三点共线的常用结论. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区：忽视零向量这一个特殊向量. 课堂小结 随堂演练 四 1.下列运算正确的个数是 ①(－3)·2a＝－6a； ②2(a＋b)－(2b－a)＝3a； ③(a＋2b)－(2b＋a)＝0. A.0 B.1 C.2 D.3 根据向量的数乘运算和加减运算知①②正确； ③中，(a＋2b)－(2b＋a)＝a＋2b－2b－a＝0，是零向量，而不是0，所以该运算错误.所以运算正确的个数为2. 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 √ 3.(多选)已知m，n是实数，a，b是向量，则下列说法中正确的是 A.m(a－b)＝ma－mb B.(m－n)a＝ma－na C.若ma＝mb，则a＝b D.若ma＝na，则m＝n 由数乘运算的运算律知A，B正确； C中，当m＝0时，ma＝mb，但a不一定等于b，故错误； D中，当a＝0时，ma＝na，但m不一定等于n，故错误. 1 2 3 4 √ √ 1 2 3 4 1 2 3 4 因为A，B，D三点共线， 所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2， 课时对点练 五 1.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是 A.a与λa的方向相同 B.a与－λa的方向相反 C.|－λa|＝|－λ|a D.|－λa|＝|－λ||a| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础巩固 16 √ 依题意，当λ>0时，a与λa的方向相同，a与－λa的方向相反，但是当λ<0时，a与λa的方向相反，a与－λa的方向相同，所以A，B错误； 由数乘运算的长度的定义可知|－λa|＝|－λ||a|，所以C错误，D正确. 2.设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则k等于 A.0 B.1 C.2 D. ∵向量m与向量n共线， ∴设m＝λn(λ∈R)，∴－e1＋ke2＝λe2－2λe1， ∵e1与e2不共线， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.下列各组向量中，一定能推出a∥b的是 ①a＝－3e，b＝2e； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.① B.①② C.②③ D.①②③ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则a与b共线，若e1与e2不共线，则a与b不共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 所以点P为线段AC的中点，故选项B正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴2x－a＋c＋b－3x＋b＝0， ∴－x－a＋c＋2b＝0， ∴x＝－a＋2b＋c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 －a＋2b＋c 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.设a，b是两个不共线的非零向量，若向量2ka＋b与8a＋kb的方向相反，求k的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意可知存在实数λ使2ka＋b＝λ(8a＋kb)，即2ka＋b＝8λa＋λkb， 16 ∵2ka＋b与8a＋kb的方向相反， ∴k＝2不符合题意，舍去， ∴k＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又∵D，E为边AB的两个三等分点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合运用 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线 C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 ∴点M是△ABC的重心. A.梯形 B.正方形 C.平行四边形 D.矩形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示. 又∵这两个向量所在的直线不重合， ∴AD∥BC，且AD＝2BC. ∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.设a，b，c为非零向量，其中任意两个向量不共线，已知a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则b与a＋c是否共线？请证明你的结论. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 b与a＋c共线.证明如下： ∵a＋b与c共线， ∴存在唯一一个实数λ，使得a＋b＝λc. ① ∵b＋c与a共线， ∴存在唯一一个实数μ，使得b＋c＝μa. ② 由①－②得，a－c＝λc－μa. ∴(1＋μ)a＝(1＋λ)c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又∵a与c不共线， ∴1＋μ＝0,1＋λ＝0， ∴μ＝－1，λ＝－1， ∴a＋b＝－c， 即a＋b＋c＝0. ∴a＋c＝－b. 故b与a＋c共线. 倍 又∵|－2a|＝2|a|，|3a|＝3|a|，所以－2a的模是3a的模的倍，故B正确； 例2　如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则等于 A.a－b B.a＋b C.a＋b D.a－b 所以＝＝－＝－b， 所以＝＋＝＋＝a－b. 跟踪训练2　在△ABC中，若点D满足＝2，则等于 A.＋ B.－ C.－ D.＋ 如图所示，由题意可得＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋. 通常可以用＝t表示过点A，B的直线l，其中 称为直线l的方向向量. 注意点： (1)定理中b≠0不能漏掉. (2)O为直线AB外一点，若A，B，P三点共线，则存在唯一的实数t，使得＝＋t. (3)O为直线AB外一点，若A，B，P三点共线，则存在唯一的一对实数λ，  μ，则＝λ＋μ且λ＋μ＝1. ∴与共线，且有公共点B， (1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线； ∵＝－＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b， 而＝－＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2， ∵a与b不共线，∴ 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可. 跟踪训练3　已知向量e1，e2不共线，如果＝e1＋2e2，＝－5e1＋6e2，＝7e1－2e2，则共线的三个点是__________. ∵＝e1＋2e2， ＝＋＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)＝2， ∴，共线，且有公共点B， 2.如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若＝a，＝b，则等于 A.(a－b) B.－(a－b) C.(a＋b) D.－(a＋b) 因为M是BC的中点，所以＝(a＋b). 4.设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k＝______. － 又＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2， 所以＝－＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)＝(3－k)e1－(2k＋1)e2， 所以 解得k＝－. 故存在一个实数λ，使得＝λ， ∴　∴ ②a＝e1－e2，b＝－e1； ③a＝e1－e2，b＝e1＋e2＋. ①中，a＝－b，所以a∥b； ②中，b＝－e1＝＝－a，所以a∥b； ③中，b＝＝(e1＋e2)，若e1与e2共线， 4.设P是△ABC所在平面内一点，＋＝2，则 A.＋＝0 B.＋＝0 C.＋＝0 D.＋＋＝0 因为＋＝2， 5.(多选)已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列结论，其中正确的有 A.＝－b B.＝a－b C.＝a＋b D.＝a 如图所示，＝－＝－b，则A项正确； ＝＋＝a＋b，则B项错误； ＝＋＝a＋b，则C项正确； ＝＝－＝－a，则D项错误. 6.在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，又＝t，则t的值为 A. B. C. D. ∵＝－， ＝－， ∴－＝t(－)， ∴＝(1－t)＋t＝＋， ∴t＝. 7.若2＋(c＋b－3x)＋b＝0，则x＝___________. ∵2＋(c＋b－3x)＋b＝0， 8.设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝a，＝b，则＝__________.(用a，b表示) －a＋b ＝＋＝＋＝＋(＋) ＝－＋＝－a＋b. ∴解得或 10.如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，＝3a，＝2b，用a，b分别表示，. ∵＝3a，＝2b， ∴＝－＝2b－3a. ∴＝＝b－a，＝＝b－2a， ∴＝＋＝3a＋b－a＝2a＋b， ＝＋＝3a＋b－2a＝a＋b. 11.设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋等于 A. B. C. D. 如图，＋＝＋＋＋＝＋ ＝(＋)＝×2＝. 12.已知a，b为不共线向量，且＝2a＋b，＝－a＋4b，＝3(a－b)，则 对于A，因为＝2a＋b，＝－a＋4b，令＝λ可知λ不存在，所以与不共线，所以A，B，C三点不共线，故选项A不正确； 对于B，＝2a＋b，＝＋＝－a＋4b＋3(a－b)＝2a＋b＝， 由共线(平行)向量基本定理可知与共线，又因为与有公共点 B，所以A，B，D三点共线，故选项B正确； 对于C，＝－a＋4b，＝3(a－b)，令＝λ可知λ不存在，所以与不共线，所以B，C，D三点不共线，故选项C不正确； 对于D，＝＋＝2a＋b＋(－a＋4b)＝a＋5b，＝3(a－b)，令 ＝λ可知λ不存在，所以和不共线，所以A，C，D三点不 共线，故选项D不正确. 13.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，  AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于 A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b ∵△DEF∽△BEA，∴＝＝. ∴DF＝AB＝DC， ∴＝＋＝＋. ∵＝＋＝a，＝－＝b， 联立得＝(a－b)，＝(a＋b)， ∴＝(a＋b)＋(a－b)＝a＋b. 14.已知在△ABC中，点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝_____. ∵＋＋＝0， ∴＋＝3，∴m＝3. 15.已知在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD为 ∵＝＋＋＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b) ＝－8a－2b＝2(－4a－b)， ∴＝2. ∴与共线，且||＝2||. $$