2.1 从位移、速度、力到向量 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

§1　从位移、速度、力 到向量 第二章　平面向量及其应用 学习目标 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，理解向量与数量的区别. 2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量. 3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相反向量、相等向量及向量的模等概念，会找两向量所成的夹角. 帆船运动是借风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动.1900年第二届奥运会将其列为正式比赛项目.帆船的最大动力来源是“伯努利效应”，如果一艘帆船所受“伯努利效应”产生力的效果可使船向北偏东30°以20 km/h的速度行驶，而此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，可求得帆船速度的大小和方向. 在现实生活和科学实验中常常会遇到两类量，一类量只有大小而没有方向，这类量叫作数量；另一类量既有大小又有方向，即本章要学习的向量. 导语 内容索引 一、向量的概念 二、两种特殊向量 课时对点练 三、向量的基本关系 随堂演练 四、向量的夹角 向量的概念 一 问题1　在物理学中，位移、速度、力等物理量，与长度、面积相比有什么共同的特征？ 提示　既有大小又有方向. 1.向量与数量 (1)向量：既有 又有 的量. (2)数量：只有 没有 的量. 2.向量的表示 (1)具有 和长度的线段称为有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段，记作 .线段AB的长度称为有向线段 的长度，记作 . (2)向量可以用 表示，其中有向线段的长度表示 ，箭头所指的方向表示 . 方向 大小 方向 大小 有向线段 方向 向量的大小 向量的方向 知识梳理 7 (3)向量也可以用黑斜体小写字母如a，b，c，…或 ，…(书写)来表示.向量a的大小，记作 ，又称作向量的模. 注意点： (1)书写向量时要带箭头. (2)有向线段是向量的直观表示，并不是说向量就是有向线段. (3)向量不能比较大小，向量的模可以比较大小. |a| 知识梳理 8 例1　一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向北偏西40°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点. 9 由题意，可知四边形ABCD为平行四边形， 10 作向量的方法 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点. 反思感悟 11 跟踪训练1　某人从点A出发，向西走了200 m后到达点B，然后改变方向，向北偏西一定角度的某方向行走了 到达点C，最后又改变方向，向东走了200 m到达点D，发现点D在点B的正 北方. 12 如图. 由题意可知，四边形ABCD是平行四边形， 14 二 两种特殊向量 1.零向量： 的向量称为零向量，记作0或 ，任何方向都可以作为零向量的方向. 2.单位向量：模等于 个单位长度的向量. 注意点： (1)若用有向线段表示零向量，则其终点与起点重合. (2)注意0与0的区别与联系：0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0. (3)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同. 1 长度为0 知识梳理 16 例2　下列说法中，正确的是 A.零向量没有大小，没有方向 B.零向量的方向都是相同的 C.单位向量都是同方向 D.单位向量的长度都相等 对于A，零向量的长度为0，方向是任意的，故错误； 对于B，零向量的方向是任意的，故错误； 对于C，单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误； 对于D，长度等于1个单位长度的向量叫作单位向量，故正确. √ 17 解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题. 反思感悟 18 跟踪训练2　下列说法中正确的是 A.向量的模都是正实数 B.单位向量的方向与大小都相同 C.向量的大小与方向无关 D.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 √ 19 零向量的模为0，故A不正确； 单位向量的方向可以是任意的，故B不正确； 向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确； 不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故D不正确. 20 三 向量的基本关系 问题2　速度相等等价于方向相同、大小相等；两个力相等等价于方向相同、大小相等，还包括作用点相同，根据上述例子探究相等向量的条件. 提示　相等向量等价于长度相等且方向相同. 相等向量 指它们的长度 且方向 .向量a与b相等，记作_____ 共线向量 (平行向量) 定义：若两个非零向量a，b的方向 或 ，则称这两个向量为共线向量或平行向量，也称这两个向量共线或平行，记作a∥b.规定零向量与任一向量共线，即对于任意的向量a，都有0∥a 判定方法：表示两个向量的有向线段所在的直线重合或平行，则这两个向量共线或平行 相等 相同 相同 相反 a＝b 知识梳理 23 相等 相反向量 若两个向量的长度 、方向 ，则称它们互为相反向量.相反向量是共线向量.向量a的相反向量记作－a，零向量的相反向量仍是零向量 相反 注意点： (1)向量平行包括所在直线重合的情况，故也称向量共线. (2)零向量与任一向量共线. 知识梳理 24 例3　如图所示，△ABC的三边均不相等，D，E， F分别是BC，AC，AB的中点. 因为E，F分别是AC，AB的中点， 又因为D是BC的中点， 25 26 27 相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线. (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉已知向量的相反向量. 反思感悟 28 跟踪训练3　如图所示，四边形ABCD和ABDE都是 平行四边形. 在平行四边形ABCD和平行四边形ABDE中， 29 ∴E，D，C三点共线， 6 30 四 向量的夹角 1.夹角：已知两个 a和b，在平面内选一点O，作 ＝a， ＝b，则θ＝ (0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角(如图所示). 当θ＝0°时，a与b ；当θ＝180°时，a与b . 2.垂直：当a与b的夹角是90°时，则称a与b垂直，记作a⊥b.规定零向量与任一向量 ，即对于任意的向量a，都有0⊥a. 非零向量 ∠AOB 同向 反向 垂直 知识梳理 32 例4　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心. 33 34 根据向量夹角的定义，只有当两个向量的起点重合时，所对应的角才是两个向量的夹角，若两个向量的起点不重合，可平移其中一个向量使其起点重合，然后确定两个向量的夹角. 反思感悟 35 √ 所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°. 36 1.知识清单： (1)向量的概念及表示. (2)向量的相关概念：零向量、单位向量、相等向量、共线向量(平行向量)、相反向量、向量的夹角. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：零向量和单位向量的方向容易混淆、误读向量夹角. 课堂小结 随堂演练 五 1.在同一平面内，把所有长度为1的向量的起点固定在同一点，那么这些向量的终点形成的图形是 A.单位圆 B.一段弧 C.线段 D.直线 1 2 3 4 √ 2.(多选)下列说法错误的是 A.共线的两个单位向量相等 B.相等向量的长度相等 C.若 ，则一定有直线AB∥CD D.若向量 共线，则点A，B，C，D必在同一直线上 1 2 3 4 √ √ √ 1 2 3 4 A错，共线的两个单位向量的方向可能相反； B对； C错，直线AB与CD可能重合； D错，AB与CD可能平行，则A，B，C，D四点不共线. 3.(多选)如图所示，设O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的是 1 2 3 4 √ √ √ ∴A正确； ∵A，O，C三点在一条直线上， 1 2 3 4 1 2 3 4 135° 4.在等腰Rt△ABC中，A＝90°，则向量 的夹角为______. 课时对点练 六 1.(多选)下列说法正确的是 A.若a＝0，则|a|＝0 B.零向量是没有方向的 C.零向量与任意向量平行 D.零向量的方向是任意的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础巩固 零向量的长度为0，方向是任意的，它与任意向量都平行，所以A，C，D正确，B错误. 16 √ √ √ 2.下列说法中，正确的是 A.速率、力、角度这些物理量都是向量 B.若|a|＝|b|，则a与b的方向相同 C.共线向量又叫平行向量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 A中，只有力是向量，故错误； B中，|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明方向关系，故错误； C正确； D中，两向量方向不同，故错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.30° B.60° C.120° D.150° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为O是△ABC的外心， A.相等向量 B.模相等的向量 C.平行向量 D.起点相同的向量 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 6.(多选)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法正确的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.若A地位于B地正西方向5 km处，C地位于A地正北方向5 km处，则C地相对于B地的位移的大小是______ km，方向是_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 西北 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 菱形 16 ∴四边形ABCD是平行四边形， 9.如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 长度与 的模相等的线段是六条边和六条连接中心与顶点的线段(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个. 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴CN＝MA，CN∥MA， ∴四边形CNAM是平行四边形， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵CB＝DA，CM＝NA，∴MB＝DN. 又DN∥MB， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合运用 16 11.(多选)下列能使a∥b成立的是 A.a＝b B.|a|＝|b| C.a与b方向相反 D.|a|＝0或|b|＝0 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 又∠ACB＝90°， 13.(多选)在下列结论中，正确的有 A.a∥b且|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件 B.a∥b且|a|＝|b|是a＝b的既不充分也不必要条件 C.a与b方向相同且|a|＝|b|是a＝b的充要条件 D.a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ 若a＝b，则a与b方向相同，模相等，所以A，C，D正确，B错误. √ 14.设O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中，与 共线的向量为_____________；与 模相等的向量为_______________________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 16 √ 由向量相等及共线的概念，结合图形可知C不一定成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形 组成，方格纸中有两个定点 A，B.点C为小正方 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)所画的图知， ①当点C位于点C1或C2时， ②当点C位于点C5或C6时， || ，， (1)作出向量，，； 向量，，如图所示. (2)求||. ∴||＝||＝200(km). 100 m (1)在图中作出向量，，(图中1个单 位长度表示100 m)； (2)求向量的模. 所以||＝||＝100(m). (1)写出与共线的向量； 所以EF∥BC，EF＝BC. 所以与共线的向量有，，，，，，. (2)写出模与的模相等的向量； 模与的模相等的向量有，，，，. (3)写出与相等的向量. 与相等的向量有，. ∴与向量相等的向量有，. (1)与向量相等的向量有________； ， ∵＝，＝，∴＝， (2)若||＝3，则||＝______. 由(1)知，＝， ||＝||＋||＝2||＝6. 又AC⊥BE，∴与的夹角为90°. (1)分别写出与，与夹角的大小； ∵∥且与方向相反， ∴与的夹角为180°. ∵＝，∴与的夹角为∠AFE＝120°. (2)分别指出与，与的夹角，并求出角的大小. ∵＝，＝， ∴与的夹角为∠COD＝60°. 跟踪训练4　在△ABC中，C＝90°，BC＝AB，则与的夹角等于 A.30° B.60° C.120° D.150° 如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角. 在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝AB， ∥ ， A.＝ B.∥ C.与共线 D.＝ ∵AB∥DC，∴与共线，C正确； ∵与方向不同，∴二者不相等，D错误. ∵与方向相同，长度相等， ∴∥，B正确； 与 D.有向线段与表示同一向量 3.已知在▱ABCD中，∠DAB＝60°，则与的夹角为 如图，∠DAB＝60°，则与的夹角为∠ABC＝120°. 4.设O是△ABC的外心，则，，是 所以||＝||＝||. 5.如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是 A.＝ B.||＝|| C.> D.< ||与||表示等腰梯形两腰的长度，故相等. A.与相等的向量只有1个(不含) B.与的模相等的向量有9个(不含) C.的模恰为的模的倍 D.与的夹角为120° 在Rt△AOD中，因为∠ADO＝30°， 所以||＝||， 由于＝，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，，因此选项A，B正确； 故||＝||，因此选项C正确； 由于＝， 所以与的夹角为∠CDA＝60°，因此选项D不正确. 5 8.在四边形ABCD中，若＝且||＝||，则四边形的形状为______. ∵＝，∴AB＝DC，AB∥DC， ∵||＝||，∴四边形ABCD是菱形. (1)与模相等的向量有多少个？ (2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ 存在.由正六边形的性质可知，BC∥AO∥EF，所以与长度相等、方向相反的向量有，，，，共4个. (3)与共线的向量有几个？ 由(2)知，BC∥OA∥EF，线段OD，AD与OA在同一条直线上，所以与共线的向量有，，，，，，，，，共9个. 10.如图所示，在四边形ABCD中，＝，点N，M分别是AD，BC上的点，且＝，求证：＝. ∵＝，∴AB＝DC且AB∥DC， ∴＝， 又＝， ∴＝，∴CM＝NA，CM∥NA. ∴与的模相等且方向相同， ∴＝. 12.在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB＝30°，||＝2，则||等于 A.1 B. C. D.2 如图，由||＝||，得∠ABC＝∠OCB＝30°， 则||＝||＝×2＝1. ，， ，，，，，， A.||＝|| B.与共线 C.与共线 D.＝ 形的顶点，且||＝. (1)画出所有的向量； 所有的向量，如图所示. (2)求||的最大值与最小值. ||取得最小值＝； ||取得最大值＝. 所以||的最大值为，最小值为. $$