1.4.4 诱导公式与旋转 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

4.4　诱导公式与旋转 第一章　§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质 学习目标 1.掌握 ±α与α－ 的正弦、余弦诱导公式的推导过程. 2.对诱导公式能作综合归纳，体会出七组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力. 3.能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题. 风车最早出现在波斯，起初是立轴翼板式风车，后来又发明了水平轴风车.如图所示的风车是由4个扇叶组成，相邻两个扇叶之间的角度为直角，若将风车扇叶的最外侧看作一个质点，那么四个质点之间存在什么关系？在平面直角坐标系中的坐标之间有什么关系？ 导语 内容索引 一、正弦函数、余弦函数诱导公式 二、利用诱导公式求值 课时对点练 三、利用诱导公式化简 随堂演练 四、诱导公式的综合应用 正弦函数、余弦函数诱导公式 一 问题1　设锐角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，将终边绕点O沿逆时针方向旋转 得到点P′，即α＋ 的终边与单位圆交于点P′，求出点P′的坐标. 提示　由图可知P′(－v，u). 问题2　根据正弦函数、余弦函数的定义，角α＋ 的正弦函数、余弦函数值分别是什么？ 问题3　角α与角α＋ 的正弦函数、余弦函数具有什么样的关系？ 问题4　角α与角α－ 的正弦函数、余弦函数具有什么样的关系？ 1.正弦函数、余弦函数诱导公式 角 正弦 余弦 α＋2kπ(k∈Z) sin α cos α －α －sin α cos α α＋π －sin α －cos α α－π －sin α －cos α π－α sin α －cos α cos α －sin α cos α sin α 知识梳理 10 2.正弦函数、余弦函数诱导公式的记忆方法 (1)α＋2kπ(k∈Z)，－α，2π－α，α±π的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号，简记为“函数名不变，符号看象限”. (2) ±α的正弦、余弦函数值，函数名改变，把α看作锐角，符号看 ±α的函数值的符号.简记为“函数名改变，符号看象限”. 诱导公式可以统一概括为“k· ±α(k∈Z)”.当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”. 知识梳理 11 二 利用诱导公式求值 13 且α为第三象限角， 14 反思感悟 15 16 三 利用诱导公式化简 例2　化简： ，其中k∈Z. 18 当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则 当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z). 仿上化简得原式＝1. 故原式＝1. 19 用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±α的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简. 反思感悟 20 跟踪训练2　化简： 21 四 诱导公式的综合应用 例3　已知f(x)＝ (1)化简f(x)； 23 24 解决诱导公式与函数相结合的问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再化简或求值，这样可避免公式交错使用而导致的混乱. 反思感悟 25 跟踪训练3　已知f(α)＝ (1)化简f(α)； 26 27 1.知识清单： (1)正弦函数、余弦函数的诱导公式. (2)利用诱导公式进行化简、求值与证明. 2.方法归纳：公式法、构造法、转化与化归. 3.常见误区：函数名称、符号的变化，角与角之间的联系与构造. 课堂小结 随堂演练 五 1.已知sin 25.3°＝a，则cos 64.7°等于 A.a B.－a C.a2 D. cos 64.7°＝cos(90°－25.3°)＝sin 25.3°＝a. 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 课时对点练 六 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 基础巩固 16 √ ∴sin θ<0，∴θ为第三象限角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 sin(π－θ)＝sin θ， sin(π＋θ)＝－sin θ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.－sin θ B.sin θ C.cos θ D.－cos θ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则点P在单位圆上， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当n为偶数时，记n＝2k，k∈Z. 16 当n为奇数时，记n＝2k＋1，k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝－cos α＝右边， 所以等式成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综合运用 16 sin(α－15°)＋cos(105°－α) ＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)] ＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α) ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α) √ 12.(多选)在△ABC中，下列结论正确的是 A.sin(A＋B)＝sin C B.cos(A＋B)＝cos C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，在△ABC中，A＋B＋C＝π，对于选项A，sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，故选项A正确； 对于选项B，cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，故选项B错误； 13.若 ，且角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，则实数a的取值范围是 A.a<3 B.a<－2 C.－2<a<3 D.a>－2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴α是第三象限角， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵角α的终边经过点P(－4,3)， 14.已知角α的终边经过点P(－4,3)，则 ＝_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)， ∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)， ∴－sin(π－α)＝2cos(－α)， ∴sin α＝－2cos α且cos α≠0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若α＝－1 860°，求f(α)的值. 提示　sin＝u，cos＝－v. 提示　sin＝cos α，cos＝－sin α. 提示　sin＝－cos α，cos＝sin α. α＋ －α 例1　(1)已知cos(π＋α)＝－，求sin的值； ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－， ∴cos α＝， 则sin＝cos α＝. (2)已知cos(2π－α)＝－，且α为第三象限角，求cos的值. 因为cos(2π－α)＝cos α＝－， 所以sin α＝－， 所以cos＝－sin α＝. 对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系，如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题. 跟踪训练1　已知cos＝，求sin的值. ∵α＋＝＋， ∴sin＝sin＝cos＝. 原式＝ ＝＝＝1. . 原式＝＝ ＝＝＝1. .  f(x)＝ ＝＝. (2)求f .  f ＝＝＝＝－. .  f(α)＝＝－cos α. (2)若cos(α－π)＝，求f(α)的值. 因为cos(α－π)＝， 所以cos α＝－， 所以f(α)＝－cos α＝. ∴sin＝－cos α＝－. 2.若cos(2π－α)＝，则sin等于 A.－ B.－ C. D.± ∵cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos α＝， cos＋sin＝－sin φ－sin φ＝. 3.若cos＝，则cos＋sin(φ－π)的值为 A.－ B. C.－ D. cos＝－sin φ＝，sin φ＝－， cos＝cos＝sin＝. 4.已知sin＝，则cos＝_____. 1.若sin<0，cos>0，则θ为 ∵sin＝cos θ<0， cos＝－sin θ>0， 2.已知sin＝，那么cos α等于 A.－ B.－ C. D. sin＝sin＝cos α， 故cos α＝. 3.(多选)下列与cos的值一定相等的是 A.sin(π－θ) B.sin(π＋θ) C.cos D.cos 因为cos＝－cos＝－sin θ， cos＝sin θ， cos＝－sin θ， 所以B，D项与cos的值相等. 4.若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值为 A.－ B.－ C. D. 由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－， 得sin α＝， 则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－. 5.化简等于 原式＝＝＝－sin θ. 6.如果角α的终边过点P，则cos α等于 A.－ B. C. D.－ ∴P， cos ＝cos＝cos ＝－cos ＝－， sin ＝sin＝sin ＝， ∴cos α＝－. 7.已知sin＝，则cos＝______. － cos＝cos＝sin＝－sin＝－. 8.已知sin α＝，则·sin(α－π)·cos(2π－α)的值为______. － 原式＝·(－sin α)·cos(－α)＝·(－sin α)·cos α ＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α＝－. 9.化简：sincos，n∈Z. 原式＝sincos＝sincos ＝cos＝sin cos ＝sin cos ＝×＝. 原式＝sincos＝sincos ＝sin cos＝sin cos ＝×＝. 综上，sincos＝，n∈Z. 10.证明：＝－cos α. 因为左边＝＝ 11.已知cos(75°＋α)＝，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是 A. B. C.－ D.－ ＝－2cos(75°＋α)＝－. C.sin ＝cos  D.cos ＝cos  对于选项C，sin ＝sin ＝cos ，故选项C正确； 对于选项D，cos ＝cos ＝sin ，故选项D错误. sin<0，cos<0 sin＝cos α<0， cos＝sin α<0， 则解得a<－2. － ∴sin α＝，cos α＝－， ∴＝＝＝－. 15.已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，则＝______. － ∴原式＝＝＝＝－. 16.已知f(α)＝. (1)若cos＝，求f(α)的值；  f(α)＝＝ ＝. ∵cos＝， ∴cos＝， ∴cos＝， ∴sin α＝－， ∴f(α)＝＝－5. 当α＝－1 860°时，f(α)＝＝＝ ＝＝＝－. $$