专题03 勾股定理实际应用模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题03 勾股定理实际应用模型 勾股定理将图形与数量关系有机结合起来，在解决实际问题和几何应用中有着广泛的应用。运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）从实际问题中抽象出几何图形（建模）；（2）确定要求的线段所在的直角三角形；（3）确定三边，找准直角边和斜边：①若已知两边,则根据勾股定理直接计算第3边；②若已知一边,则根据勾股定理列方程间接求解。（挖掘两个未知边之间的数量关系，设出一边为未知数，把另一边用含有未知数的式子表示出来）。 1 模型1.梯子滑动模型 1 模型2.轮船航行模型 4 模型3.信号站（中转站）选择模型 7 模型4.台风（噪音）、爆破模型 9 模型5.超速模型 14 模型6.风吹莲动模型 17 模型7.折竹抵地模型 19 模型.8不规则图形面积模型 21 25 模型1.梯子滑动模型 相关模型背景：梯子滑动、绳子移动等。 解题关键：梯子的长度为不变量、墙与地面垂直。 梯子滑动模型解题步骤： 1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离； 2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离； 3）两者相减即可求出梯子在墙上或者地面上滑动的距离。 例1．（2023春·福建三明·八年级统考阶段练习）一架云梯长25米，如图那样斜靠在一面墙上，云梯底端B放在距离墙根C点7米处，另一头A靠墙．(1)这架云梯的顶端A距地面有多高？(2)如果云梯的顶端下滑了4米，那么它的底部在水平方向滑动了多少米？    【答案】(1)这架云梯的顶端A距地面有24米高(2)它的底部在水平方向滑动了8米 【分析】（1）在直角三角形中，利用勾股定理即可求出的长； （2）首先求出的长，利用勾股定理可求出的长，进而得到的值． 【详解】（1）由题意可得：，， 在中，， 答：这架云梯的顶端A距地面有24米高． （2）当云梯的顶端下滑了4米时，， 在中，，， ∴， ∴． 答：它的底部在水平方向滑动了8米． 【点睛】本题考查勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键． 例2．（2023春·江苏镇江·八年级统考期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为 米．    【答案】2.7 【分析】在中，根据勾股定理求出的长，再在中，求出的长，最后由进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，根据题意得：，   ， 在中，米，米，米， 在中，米，米，米， 米，小巷的宽度为2.7米，故答案为：2.7． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型． 例3．（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）图中的两个滑块A，B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．问：当滑块A向下滑13厘米时，滑块B滑动了 厘米．    【答案】9 【分析】根据勾股定理求出的长，再求出下滑后的，利用勾股定理求出下滑后的，继而求出滑块B滑动的距离． 【详解】解：依题意得：，设滑动后点A、B的对应位置是， 由勾股定理得，(厘米)， 当滑块A向下滑13厘米时，(厘米)， ∴(厘米)， ∴滑块B滑动的距离为：(厘米)，故答案为：9． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，善于观察题目的信息，灵活运用勾股定理是解题的关键． 例4．（2023春·广东广州·八年级校考期中）位于苏州乐园的漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面垂直高度为的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子的长为，工作人员以米/秒的速度拉绳子，经过秒后游船移动到点D的位置，问此时游船移动的距离的长是多少？ 【答案】此时游船移动的距离的长是 【分析】在中用勾股定理求出，在中用勾股定理求出，再根据的出结果． 【详解】解：在中，，，，∴， ∵工作人员以米/秒的速度拉绳子，经过秒后游船移动到点D的位置，∴， ∴，∴． 答：此时游船移动的距离的长是． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 模型2.轮船航行模型 相关模型背景：轮船航行等。 解题关键：轮船航行的模型要注意两船终点之间的距离通常为直角三角形的斜边长。 航行模型解题步骤： 1）根据航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形； 2）根据航行速度和时间表示出直角三角形两直角边长； 3）根据勾股定理列方程求解航行角度、速度或距离。 例1．（2023春·北京怀柔·八年级统考期末）如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿东偏南方向以9节（1节=1海里/小时）的速度航行，2号舰沿南偏西方向以节的速度航行，离开港口2小时后它们分别到达A，B两点，此时两舰的距离是（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】D 【分析】由，，求得，，再利用勾股定理的逆定理计算求解． 【详解】解：由题意可得：， ∴， 又∵（海里），（海里）， 在Rt中，（海里）∴此时两舰的距离是海里．故选：D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确得出是解题关键． 例2．（2023春·湖南常德·八年级统考期中）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向南偏东航行，乙船向北偏东航行，2小时后，甲船到达B岛，乙船到达C岛，若CB两岛相距40海里，(1)直接写出的度数；(2)求乙船的航速是多少？ 【答案】(1)(2)12海里/时 【分析】（1）利用平角减去的方向角即可得解；（2）利用路程等于速度乘以时间，求出，利用勾股定理，求出，再利用路程除以时间，求出乙船的航速． 【详解】（1）解：由题意，得：； （2）解：由题意，得：， ∵，∴， ∴乙船的航速是：（海里/时）． 答：乙船的航速是海里/时． 【点睛】本题考查勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理，是解题的关键． 例3．（2023·广东·八年级专题练习）如图所示，MN以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A发现在其正东方向有一走私艇C并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里，并在MN线上巡逻的缉私艇B密切注意，并告知A和C两艇的距离是13海里，缉私艇B测得C与其距离为12海里，若走私艇C的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？ 【答案】走私艇最早在10时41分进入我国领海． 【分析】先判断出△ABC是直角三角形，再用面积相等计算出BD，在Rt△BCD中，由勾股定理计算出CD， 算出走私艇行驶的时间，即可求出进入我国领海的时刻． 【详解】∵   ，∴△ABC为直角三角形．∴∠ABC＝90°． 又BD⊥AC，∴,∴, 在Rt△BCD中，由勾股定理得：． ∴≈0.85(h)＝51(分)．所以走私艇最早在10时41分进入我国领海． 【点睛】本题是与航海有关的实际应用题，考查了勾股定理及其逆定理的应用，用面积相等计算直角三角形斜边上的高是常用的方法． 模型3.信号站（中转站）选择模型 相关模型背景：信号塔、中转站等。 解题关键：信号塔和中转站模型要注意两个目的地到信号塔或中转站的距离是相等的。 信号塔、中转站模型解题步骤： 1）根据问题设出未知量（一般求谁设谁），并根据设出的未知量表示出两个直角三角形的直角边长； 2）在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出斜边长； 3）根据斜边长相等建立方程求解。 例1．（2023春·湖北·八年级校考期中）如图，铁路上A，B两点相距25 km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=16 km，CB=11 km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？ 【答案】E站应建在离A站9.8 km处． 【分析】关键描述语：产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，在Rt△DAE和Rt△CBE中，设出AE的长，可将DE和CE的长表示出来，列出等式进行求解即可． 【详解】∵使得C，D两村到E站的距离相等，∴DE=CE． ∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A=∠B=90°， ∴， ∴，设AE=x，则． ∵DA=16km，CB=8km，∴，解得：x=9.8，∴AE=9.8km． 答：E站应建在离A站9.8km处． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，利用得出是解决问题的关键． 例2．（2024·河南平顶山·八年级校考阶段练习）如图，∠AOB=90°，OA=45cm，OB=15cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？ 【答案】25cm 【分析】小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，得出BC=AC，由勾股定理可求得BC的长． 【详解】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，即BC=CA，设AC为x，则OC=45﹣x，由勾股定理可知OB2+OC2=BC2， 又∵OA=45，OB=15，把它代入关系式152+（45﹣x）2=x2，解方程得出x=25（cm）． 答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是25cm． 【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用． 例3．（2023春·广东八年级课时练习）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（　　） A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定 【答案】B 【分析】设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km，利用勾股定理得到，则，解方程即可． 【详解】解：设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km， ∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D两村到煤栈的距离相等， ∴，∴ ， ∴，解得：x＝16，则煤栈E应距A点16km．故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意得到是解题的关键． 模型4.台风（噪音）、爆破模型 相关模型背景：有爆破、台风（噪音）等。 解题关键：通常会用到垂线段最短的原理。 台风、爆破模型解题步骤： 1）根据勾股定理计算爆破点或台风中心到目的地的最短距离； 2）将计算出的最短距离跟爆破或台风的影响范围的半径作比较； 3）若最短距离大于影响半径则不受影响，若最短距离小于半径则受影响。 例1．（2023春·安徽池州·八年级统考期末）在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一处需要爆破，已知点与公路上的停靠站的距离为300米，与公路上另一停靠站的距离为400米，且，如图，为了安全起见，爆破点周围250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路段是否有危险？是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．    【答案】有危险，需要暂时封锁；理由见解析． 【分析】本题需要判断点C到AB的距离是否小于250米，如果小于则有危险，大于则没有危险．因此过C作于D，然后根据勾股定理在中即可求出的长度，然后利用三角形的面积公式即可求出，然后和250米比较大小即可判断需要暂时封锁． 【详解】解：有危险，需要暂时封锁． 理由：如图，过作于，    米，米，，∴在中，米， ∵，∴米． ∵，∴有危险，段公路需要暂时封锁． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用直角三角形的性质求出的长． 例2．（2023春·云南昭通·八年级统考期中）如图，四边形为某街心花园的平面图，经测量，，且．(1)试判断的形状，并说明理由；(2)若射线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况，且被监控的道路长度要超过．已知摄像头能监控的最大范围为周围（包含），请问该监控装置是否符合要求?并说明理由．（参考数据，） 【答案】(1)直角三角形，见解析；(2)符合要求，见解析 【分析】（1）根据，勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理，即可；（2）过点D作于点E；作A点关于DE的对称点，连接，根据直角三角形的性质，得，根据，则，三角形是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，可推出，即可． 【详解】（1）解：（1）是直角三角形． 理由如下：∵，，∴在中， ∵，∵，， ∴，∴，∴是直角三角形． （2）符合要求，理由如下：过点作于点；作点关于的对称点，连接，∴， ∵，，∴， ∵，∴，∴， ∴在中，∴， ∴，∴， ∵，∴该监控装置符合要求．    【点睛】本题考查直角三角形的知识，解题的关键是掌握勾股定理和勾股定理的逆定理． 例3．（2023春·山东滨州·八年级校考阶段练习）如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m，现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间多长？ 【答案】该校受影响卡车产生的噪声的影响时间为24秒． 【分析】根据题意，先在图上画出学校刚好受影响和结束受影响时卡车所在的点C和D，得到AC=AD=100cm，然后用勾股定理求出CB，受影响的过程就是卡车从C到D的路程，再除以卡车速度可以得到受影响的时间． 【详解】设卡车开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响， 则有CA＝DA＝100m，在中，CB＝＝60m， ∴CD＝2CB＝120m，则该校受影响的时间为：s． 答：该校受影响卡车产生的噪声的影响时间为24秒． 【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，关键在于根据题意画出图象，求出对应的线段长度，后求出时间． 例4．（2023春·广西钦州·八年级校考阶段练习）如图，距沿海某城市A正南220千米的B处，有一台风中心，其最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就减弱1级，该中心正以每小时15千米的速度沿北偏东30°的BC方向移动，且风力不变，若城市A所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响． （1）A城市是否会受台风影响？为什么？（2）若会，将持续多长时间？（3）该城市受台风影响的最大风力为几级？ 【答案】(1)会受到影响，距台风中心160千米就会受到影响．而A城到台风路线BC距离为110千米； (2) 持续4小时； (3)最大风力6.5级． 【分析】（1）求是否会受到台风的影响，就是求A到BC的距离是否大于台风影响范围的半径，如果大于，则不受影响，反之则受影响．如果过A作AD⊥BC于D，AD就是所求的线段，直角三角形ABD中，有∠ABD的度数，有AB的长，AD就不难求出了，因此可以求出答案． （2）受台风影响时，台风中心移动的距离，应该是A为圆心，台风影响范围的半径为半径，所得圆截得的BC上的线段的长即EF得长，可通过在直角三角形AED和AFD中，根据勾股定理求得，有了路程，有了速度，即可求出时间． （3）风力最大时，台风中心应该位于D点，然后根据题目给出的条件判断出时几级风． 【详解】解：(1) 该城市会受到这次台风的影响． 理由是：如图，过A作AD⊥BC于D． 在Rt△ABD中，∵∠ABD=30°，AB=220，∴， ∵城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响， ∴受台风影响范围的半径为20×（12-4）=160． ∵110＜160，∴该城市会受到这次台风的影响． (2) 如上图，以A为圆心，160为半径作⊙A交BC于E、F，则AE=AF=160， ∴台风影响该市持续的路程为：， ∴台风影响该市的持续时间为：t=÷15=4 (3)∵AD距台风中心最近， ∴该城市受到这次台风最大风力为：12-（110÷20）=12-5.5=6.5（级），故最大风力6.5级． 【点睛】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，使问题解决． 模型5.超速模型 相关模型背景：有汽车超速、信号干扰、测河宽等。 解题关键：要将速度统一单位后再进行比较。 超速模型解题步骤： 1）根据勾股定理计算行驶的距离； 2）根据行驶距离和时间求出实际行驶速度； 3）比较实际行驶速度和规定速度。 例1．（2023春·湖北咸宁·八年级期中）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路1旁选取一点P，在公路1上确定点O、B，使得PO⊥l，PO＝100米，∠PBO＝45°．这时，一辆轿车在公路1上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：＝1.41，＝1.73）． 【答案】此车超速，理由见解析. 【分析】解直角三角形得到AB=OA-OB=73米，求得此车的速度≈86千米/小时＞80千米/小时，得到结论． 【详解】解：此车超速， 理由：∵∠POB＝90°，∠PBO＝45°，∴△POB是等腰直角三角形，∴OB＝OP＝100米， ∵∠APO＝60°，∴OA＝OP＝100≈173米， ∴AB＝OA﹣OB＝73米，∴≈24米/秒≈86千米/小时＞80千米/小时，∴此车超速． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用问题．此题难度适中，解题关键是把实际问题转化为数学问题求解，注意数形结合思想的应用． 例2．（2023秋·重庆·八年级专题练习）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，AC＝40米，AB＝30米．出发3秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？ 【答案】不会 【分析】根据题意可分别求出出发3秒钟时小王和小林的赛车行驶的路程，从而可分别求出他们的赛车距离终点的距离，再结合勾股定理即可求出出发3秒钟时他们赛车的距离，和遥控信号会产生相互干扰的距离小于或等于25米作比较即可得出答案． 【详解】解：如图，出发3秒钟时，米，米， ∵AC=40米，AB=30米，∴AC1=28米，AB1=21米， ∴在中，米＞25米， ∴出发3秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰． 【点睛】本题考查勾股定理的实际应用．读懂题意，将实际问题转化为数学问题是解答本题的关键． 例3．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线横渡，由于受水流的影响，实际沿着航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现比河宽多10米． (1)求该河的宽度；（两岸可近似看作平行） (2)设实际航行时，速度为每秒5米，从C回到A时，速度为每秒4米，求航行总时间． 【答案】(1)米(2)航行总时间为67.5秒 【分析】（1）根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边的距离． （2）根据时间路程速度，求出行驶的时间即可． 【详解】（1）解：设米，则米， 在中，根据勾股定理得：，解得：， 答：河宽240米． （2）解：（秒），（秒），（秒）， 答：航行总时间为67.5秒． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，列出方程是解题的关键． 模型6.风吹莲动模型 相关模型背景：莲花、芦苇、吸管、筷子、秋千等。 解题关键：“莲花”高度为不变量。 风吹莲动模型解题步骤： 1）根据问题设出“水深”或者“莲花”的高度； 2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长； 3）根据勾股定理列方程求解。 例1．（2023·四川成都·八年级校考期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有方池一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好碰到池边的水面．则水池里水的深度是（　　） A．5尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺 【答案】C 【分析】根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设水池里水的深度是x尺，由题意得，，解得：， 答：水池里水的深度是12尺．故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理、根据勾股定理正确列出方程是解题的关键． 例2．（2024·广东深圳·八年级校考期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．    【答案】 【分析】设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，再解方程即可得出答案． 【详解】解：在中，， 设秋千的绳索长为，则，故，解得：， 答：绳索的长度是． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 例3．（2023·广西玉林·八年级统考期中）如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为，高为，今有一支的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为（）    A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答． 【详解】解∶，， 露出杯口外的长度为．故答案为：B． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，所述问题是一个生活中常见的问题，与勾股定理巧妙结合，可培养同学们解决实际问题的能力． 模型7.折竹抵地模型 相关模型背景：竹子、旗杆（风筝）拉绳等。 解题关键：“竹子”高度为不变量。 折竹抵地模型解题步骤： 1）根据问题设出“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度； 2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长； 3）根据勾股定理列方程求解。 例1．（2023春·江苏南通·九年级统考阶段练习）《九章算术》是我国古代数学名著，记载着“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”意思是：一根笔直生长的竹子，高一丈（一丈=10尺），因虫害有病，一阵风吹来将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度是多少尺?设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】竹子折断后刚好构成一个直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可； 【详解】设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，根据勾股定理得到：；故选A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而应用勾股定理解题． 例2．（2023春·广东肇庆·八年级统考期末）如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面3米C处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量米，则树原高为 米． 【答案】8 【分析】树高等于，在直角中，用勾股定理求出即可． 【详解】解：根据题意得：米，米，， 由勾股定理得， 米，所以米．故答案为8． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是在实际问题的图形中得到直角三角形． 例3．（2023春·新疆昌吉·八年级统考期末）勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具，也是数形结合的纽带．    (1)应用场景——在数轴上画出表示无理数的点．如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线L垂直于，在L上取点B，使，以原点O为圆心，为半径作弧，求弧与数轴的交点C表示的数． (2)应用场景2——解决实际问题．如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度m，将它往前推6m至C处时，水平距离m，踏板离地的垂直高度m，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】(1)(2)7.5m 【分析】（1）勾股定理求出的长，进而得到的长，即可得出结论； （2）设秋千绳索的长度为xm，在中，利用，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴，∴点C表示的数是；故答案为：． （2）解：设秋千绳索的长度为xm，由题意可得xm， 四边形为矩形，， ∴， 在中，，即 解得；即的长度为7.5m； 答：绳索的长为7.5m． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 模型.8不规则图形面积模型 相关模型背景：有草坪面积、土地面积、网格等。 解题关键：一般所求图形面积为不规则的四边形，要注意转换为两个直角三角形的面积进行求解。 面积模型解题步骤： 1）连接两点作辅助线，将四边形分为两个直角三角形； 2）根据已知条件运用勾股定理求出所连线段长度； 3）运用勾股定理逆定理判定另一个三角形为直角三角形； 4）分别求出两个直角三角形的面积相加或相减即为所求四边形面积。 例1．（2024·山东聊城·八年级期末）聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 【答案】绿化这片空地共需花费17100元 【分析】连接AC，直接利用勾股定理得出AC，进而利用勾股定理逆定理得出∠DAC＝90°，再利用直角三角形面积求法得出答案． 【详解】解：连接AC，如图 ∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，∴AC＝＝15（m）， ∵CD＝17m，AD＝8m，∴AD2＋AC2＝DC2，∴∠DAC＝90°， ∴S△DAC＝×AD•AC＝×8×15＝60（m2），S△ACB＝AB•AC＝×9×12＝54（m2）， ∴S四边形ABCD＝60＋54＝114（m2），∴150×114＝17100（元）， 答：绿化这片空地共需花费17100元． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理以及勾股定理逆定理是解题关键． 例2．（2024·天津河西·八年级期末）如图，将平面直角坐标系放在所示的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，． (1)写出另两个顶点的坐标；(2)求此三角形的周长；(3)的面积为______． 【答案】(1)；(2)(3) 【分析】（1）根据图形直接写出答案； （2）由勾股定理求得三角形的三边长度，进而得到其周长； （3）利用分割法求面积． (1)由图可得：；； (2)，， ∴的周长为； (3)由题意知，．故答案是：9.5． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和坐标与图形性质，求非直角三角形的面积时，利用“分割法”求其面积． 例3．（2024·江西宜春·八年级期中）在学习了勾股定理后，数学兴使小组在江老师的引导下，利用正方形网格和勾股定理运用构图法进行了一系列探究活动： (1)在中，、、三边的长分别为、、，求的面积．如图1，在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），不需要求的高，借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．则的面积为___________． (2)在平面直角坐标系中，①若点A为，点B为，则线段的长为___________；②若点A为，点B为，则线段的长可表示为__________∶ (3)在图2中运用构图法画出图形，比较大小：_______（填“>”或“<”）； (4)若三边的长分别为、、（，．且），请在如图3的长方形网格中（设每个小长方形的长为m，宽为n），运用构图法画出，并求出它的面积（结果用m，n表示）． 【答案】(1)(2)① 5；②(3)<(4) 【分析】（1）利用构图法求出的面积，即可求解；（2）①利用勾股定理，即可求解；②类比①的方法，即可求解；（3）构造出三边长分别为的三角形，即可求解；（4）先画出三边长分别为、、的，再利用构图法求解，即可求解． (1)解：的面积为；故答案为： (2)解：① ；故答案为：5； ②线段的长可表示为；故答案为： (3)解：如图， 根据题意得：，，，∴， ∵，∴；故答案为：< (4)解：解：如图，，，， 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合思想解决问题，学会用转化的思想解决问题，属于中考常见题， 1．（2023春·河北邢台·八年级校考期末）如图，钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为．钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿转到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理进行计算即可得． 【详解】解：在中，，， 根据勾股定理得，， 在中，，， 根据勾股定理得，， ∴，故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键是利用数形结合的思想并掌握勾股定理． 2．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）一条河流的段长，在点的正北方处有一村庄，在点的正南方处有一村庄，在段上有一座桥，把建在何处时可以使到村和村的距离和最小，那么此时桥到村和村的距离和为（    ） A．10 B． C．12 D． 【答案】A 【分析】根据两点之间线段最短的性质结合勾股定理即可得出答案． 【详解】连接AE交BD于C， 则AC+CE距离和最小，且AC+CE=AE， 过A作AH⊥ED交ED的延长线于H， ∵， ∴， ∴此时桥C到A村和E村的距离和为10， 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的性质，属于基础题，注意两点之间线段最短这一知识点的灵活运用． 3．（2023·广西贺州·八年级统考期中）如图在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（    ）．    A．3米 B．4米 C．5米 D．7米 【答案】D 【分析】当地毯铺满楼梯时的长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，即可求得地毯的长度． 【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度（米）， 地毯铺满楼梯的长度应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， 地毯的长度至少是（米）．故选：D． 【点睛】此题考查了生活中的平移现象以及勾股定理，属于基础题，利用勾股定理求出 水平边的长度是解答本题的关键． 4．（2023秋·广东·八年级专题练习）如图所示的是一个长方体笔筒，底面的长、宽分别为和，高为，将一支长为的签字笔放入笔筒内，则签字笔露在笔筒外的的长度最少为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】长方体内斜对角线是最长的，当签字笔在笔筒里对角放置的时候露在外面的长度最小，求出笔筒的对角线长度即可得签字笔露在外面的最短长度． 【详解】解：由题意知：笔筒底面对角长为， ∴笔筒的对角线长：， ∵签字笔长，∴签字笔露在笔筒外面的最短长度是：．故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 5．（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】是直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意可知，是直角三角形， 在中，，， ∴，， 在中，，，则， ∴， ∴小巷的宽为，故选：． 【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的运算方法是解题的关键． 6．（2023春·山东临沂·八年级校考阶段练习）如右图，小旭放风筝时线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面．则风筝距离地面的高度为 米．    【答案】12 【分析】设，则，依据勾股定理即可得到方程，进而得出风筝距离地面的高度． 【详解】解：设，则，由图可得，，， 中，，即，解得， 所以风筝距离地面的高度为12米．故答案为：12 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． 7．（2023·浙江温州·八年级校联考阶段练习）如图，船位于船正东方向5 km处．现在船以2 km/h的速度朝正北方向行驶，同时船以1 km/h的速度朝正西方向行驶，当两船相距最近时，行驶了 h． 【答案】1 【分析】利用勾股定理表示出两船的距离，然后利用配方法求出两船的距离的最小值即可． 【详解】设时两船相距为，则，， 由题意可知：， 故当时，即时两船相距最近，故答案为：1 【点睛】本题考查勾股定理的知识，解答本题的关键是表示出两船之间的距离表达式，注意掌握配方法求最值的应用． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理解答是解决问题的关键． 8．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，小霞将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端12米处，发现此时绳子底端距离打结处约6米，则滑轮到地面的高度为 米．    【答案】9 【分析】设旗杆的高度为x米，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：设旗杆的高度为x米， 根据勾股定理，得，解得：；故答案为：9． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，从题意中勾画出勾股定理这一数学模型是解决问题的关键． 9．（2022秋·广东佛山·八年级校考阶段练习）有一辆载有集装箱的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米．这辆卡车能否通过此桥洞？通过计算说明理由． 【答案】能通过，理由见解析. 【分析】首先画出卡车的横截面图，OE的长度为货车宽的一半，根据勾股定理可求出CE的长度．如果BC的长度大于2.5货车可以通过，否则不能通过． 【详解】能通过． 如图中的长方形是卡车横截面的示意图： 当桥洞中心线两边各为0.8米时，设米，在中，由勾股定理得 ，解得，∵，∴卡车能通过． 【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是根据题意化出图形. 10．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，一根垂直于地面的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离．(1)求旗杆折断处点距离地面的高度； (2)工人在修复的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点处吹断，旗杆的顶点落在水平地面上的处，形成一个直角，请求出的长． 【答案】(1)米(2)米 【分析】（1）由题意可知米，根据勾股定理可得：，又因为米，所以可求得的长，（3）先求出D点距地米，米，再根据勾股定理可以 求得米． 【详解】（1）解：由题意可知：米，∵，∴， 又∵米，∴，∴米； （2）解：∵D点距地面米， ∴米，∴米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图 11．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变，回答下列问题： (1)根据题意，可知________（填“”“”“”）； (2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离（结果保留根号）． 【答案】(1) (2)男孩需向右移动的距离为米 【分析】（1）由绳长始终保持不变即可求解；（2）由勾股定理求出、的长，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变，， （2）解：连接，则点、、三点共线， 在中，（米， （米， 在中，（米， ，（米， 男孩需向右移动的距离为米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出、的长是解题的关键． 12．（2023春·湖南湘西·八年级统考阶段练习）超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？ 【答案】此车超过每小时80千米的限制速度． 【分析】首先，根据在直角三角形BPO中，∠BPO=45°，可得到BO=PO=100m，再根据在直角三角形APO中，∠APO=60°，运用三角函数值，可得到AO=100，根据AB=AO-BO可求得AB的长；再结合速度的计算方法，求出车的速度，然后将车的速度与80千米/时进行比较，即可得到结论. 【详解】解：在Rt△APO中，∠APO＝60°，则∠PAO＝30°.∴AP＝2OP＝200 m， AO＝＝＝100(m)． 在Rt△BOP中，∠BPO＝45°，则BO＝OP＝100 m. ∴AB＝AO－BO＝100－100≈73(m)． ∴从A到B小车行驶的速度为73÷3≈24.3(m/s)＝87.48 km/h>80 km/h. ∴此车超过每小时80千米的限制速度． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，从复杂的实际问题中整理出直角三角形并求解是解决此类题目的关键． 13．（2023秋·广东·八年级专题练习）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米； 第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米； 【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算即可求得旗杆的高度．      (1)依题知___________米，用含有x的式子表示为___________米，(2)请你求出旗杆的高度． 【答案】(1)5，(2)12米 【分析】（1）根据测量的方法即可作答；（2）利用勾股定理有，即可得，解方程即可求解． 【详解】（1）解：依题知米，用含有x的式子表示为米，故答案为：5；； （2）在中，由勾股定理得：      ，即，解得（米）， 答：旗杆的高度为12米． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，明确题意，灵活运用勾股定理，是解答本题的关键． 14．（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，某天上午海岸瞭望塔接到位于其北偏西方向且相距12海里的渔船的求救信号，于是立即通知处在瞭望塔正西方向B处的北斗救援队前往救援，救援队测得渔船位于的东北方向，求此时救援队与渔船之间的距离．（结果保留根号）    【答案】海里 【分析】过点作，得为等腰直角三角形，，在中，可求出海里，从而得海里，在中，由勾股定理可得结论． 【详解】解：过点作，垂足为，    由题意可知：，，海里， ∵，∴， 在中，，海里，∴海里， 在中，，∴，∴海里 在中，根据勾股定理得， ∴海里 答：救援队与渔船之间的距离为海里． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． 15．（2023春·陕西渭南·八年级校考期末）如图，港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一个固定方向航行，甲船沿西南方向以每小时12海里的速度航行，乙船沿东南方向以每小时16海里的速度航行，它们离开港口5小时后分别位于、两处，求此时之间的距离．    【答案】100海里 【分析】根据已知条件，先求出PA、PB的长，再利用勾股定理进行解答． 【详解】解：如图，由已知得，AP=12×5=60海里，PB=16×5=80海里， 在△APB中∵∠APB=90°，由勾股定理得AP2+PB2=AB2， 即602+802=AB2，AB= =100海里． 答：此时A、B之间的距离相距100海里． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答此题要明确方位角东南，西南是指两坐标轴夹角的平分线． 16．（2023春·福建龙岩·八年级校考阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（丈、尺是长度单位，1丈=10尺）．意思是有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？    【答案】水深12尺，芦苇的长度是13尺 【分析】找到题中的直角三角形，设水深为尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深尺，芦苇尺，1丈=10尺， 由勾股定理：， 解得：， ∴， 答：水深12尺，芦苇的长度是13尺． 【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 17．（2023春·吉林白城·八年级统考期末）如图，一架梯子长2.5米，顶端A靠在垂直于地面的墙上，这时梯子下端B离墙角C的距离为1.5米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为0.9米，计算梯子顶端A下滑的距离．    【答案】1.3米 【分析】根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可知，在中，， 由勾股定理可知， 所以， 在中，，，， 由勾股定理可知， 所以， 米， 答：梯子顶端A下滑的距离为1.3米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，运用勾股定理求得和的长是解决问题的关键． 18．（2024·成都市棕北中学八年级月考）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，梯子顶端到地面的距离为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5米．（1）梯子的长是多少？（2）求小巷的宽． 【答案】（1）2.5米；（2）2.7米 【分析】（1）先利用勾股定理求出梯子AB 的长度， （2）由（1）知梯子AB 的长度，利用勾股定理求出BD的长，即可得到答案. 【详解】（1）在中，∵，米，米， ∴．∴（米）． 答：梯子的长是2.5米 （2）在中，∵，米，， ∴，∴． ∵，∴米．∴米． 答：小巷的宽度为2.7米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法． 19．（2024·福建漳州·八年级漳州实验中学校考阶段练习）如图，该路和铁路在P点处交汇，点A处是第九十四中学，米，点A到铁路的距离为80米，假使火车行驶时，周围100米以内会受到吸音影响，火车在铁路上沿方向行驶时． (1)学校是否会受到影响？请说明理由； (2)如果受到影响，已知火车的速度是50米/秒那么学校受到影响的时间是多久？ 【答案】(1)会受到影响，理由见解析 (2)秒 【分析】（1）过点A作于点E，由点A到铁路的距离为80米可知，再由火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响即可直接得出结论； （2）以点A为圆心，100米为半径画圆，交直线于两点，连接，则，在中利用勾股定理求出的长，进而可得出的长，根据火车的速度是180千米/时求出火车经过是所用的时间即可． 【详解】（1）解：会受到影响，理由如下： 过点A作于点E， ∵点A到铁路的距离为80米， ∴， ∵周围100米以内会受到噪音影响，， ∴学校会受到影响； （2）解：以点A为圆心，100米为半径画圆，交直线于两点，连接，则， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：学校受到影响的时间是秒． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在解答此类题目时要根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，再利用勾股定理求解． 20．（2023春·湖南岳阳·八年级校考阶段练习）今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，在A处测得C港在北偏东45°方向上，在B处测得C港在北偏西60°方向上，且千米，以台风中心为圆心，周围600千米以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？（结果保留整数，参考数据，，） 【答案】(1)海港C受台风影响，理由见解析． (2)台风影响该海港持续的时间有45小时． 【分析】（1）判断海港C是否受影响，只需要求得台风距离海港C的最近距离是否在台风的影响范围即可，转换成数学知识就是点到直线之间的最短距离，也就是垂线段最短，通过勾股定理的知识解题即可． （2）当台风中心距离海港C的距离为600千米时，开始受到影响，如图当台风在PQ段海港C受影响，构建三角形，根据勾股定理即可求出PQ的长度，根据速度即可解出受影响的时间． 【详解】（1）过点C作交AB于点H 设 在中，， 在中，， ∴ ∴，∴ ∵，海港C受台风影响 （2）设台风在P点，海港开始受到影响，Q点时停止受影响， 在中，， ∴ ∴ 则时间：（小时） 答：台风影响该海港持续的时间有45小时． 【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构建出直角三角形，再利用勾股定理解答． 21．（2023·江西景德镇·八年级期中）（1）已知三边长分别为，，，小迪在解决这一 问题时有以下思路：先画如图①的正方形网格（小正方形边长均为1），再画出格点三角形ABC，利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出的面积．请你帮助小迪计算出的面积； （2）若三边长分别为，，，在图②的正方形网格（小正方形边长均为a）中，画出格点三角形DEF，并求出的面积；（3）若三边长分别为，，，在图③的长方形网格（小长方形长均为m，宽均为n）中，画出格点三角形OPQ，并求出的面积． 【答案】（1）5；（2）作图见解析，；（3）作图见解析， 【分析】（1）用长为4宽为3的长方形面积减去周围三个三角形的面积求解即可； （2）先根据勾股定理的确定周围三个三角形的边长，再作图即可，再利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出面积；（3）先根据勾股定理的确定周围三个三角形的边长，再作图即可，再利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出面积． 【详解】（1）的面积，所以，的面积为5； （2）是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，作图如下： 的面积； （3）是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，是直角边长分别为的直角三角形的斜边长，格点三角形OPQ如图所示： 的面积． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用及三角形的面积问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 40 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 勾股定理实际应用模型 勾股定理将图形与数量关系有机结合起来，在解决实际问题和几何应用中有着广泛的应用。运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）从实际问题中抽象出几何图形（建模）；（2）确定要求的线段所在的直角三角形；（3）确定三边，找准直角边和斜边：①若已知两边,则根据勾股定理直接计算第3边；②若已知一边,则根据勾股定理列方程间接求解。（挖掘两个未知边之间的数量关系，设出一边为未知数，把另一边用含有未知数的式子表示出来）。 1 模型1.梯子滑动模型 1 模型2.轮船航行模型 4 模型3.信号站（中转站）选择模型 7 模型4.台风（噪音）、爆破模型 9 模型5.超速模型 14 模型6.风吹莲动模型 17 模型7.折竹抵地模型 19 模型.8不规则图形面积模型 21 25 模型1.梯子滑动模型 相关模型背景：梯子滑动、绳子移动等。 解题关键：梯子的长度为不变量、墙与地面垂直。 梯子滑动模型解题步骤： 1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离； 2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离； 3）两者相减即可求出梯子在墙上或者地面上滑动的距离。 例1．（2023春·福建三明·八年级统考阶段练习）一架云梯长25米，如图那样斜靠在一面墙上，云梯底端B放在距离墙根C点7米处，另一头A靠墙．(1)这架云梯的顶端A距地面有多高？(2)如果云梯的顶端下滑了4米，那么它的底部在水平方向滑动了多少米？    例2．（2023春·江苏镇江·八年级统考期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为 米．    例3．（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）图中的两个滑块A，B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．问：当滑块A向下滑13厘米时，滑块B滑动了 厘米．    例4．（2023春·广东广州·八年级校考期中）位于苏州乐园的漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面垂直高度为的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子的长为，工作人员以米/秒的速度拉绳子，经过秒后游船移动到点D的位置，问此时游船移动的距离的长是多少？ 模型2.轮船航行模型 相关模型背景：轮船航行等。 解题关键：轮船航行的模型要注意两船终点之间的距离通常为直角三角形的斜边长。 航行模型解题步骤： 1）根据航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形； 2）根据航行速度和时间表示出直角三角形两直角边长； 3）根据勾股定理列方程求解航行角度、速度或距离。 例1．（2023春·北京怀柔·八年级统考期末）如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿东偏南方向以9节（1节=1海里/小时）的速度航行，2号舰沿南偏西方向以节的速度航行，离开港口2小时后它们分别到达A，B两点，此时两舰的距离是（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 例2．（2023春·湖南常德·八年级统考期中）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向南偏东航行，乙船向北偏东航行，2小时后，甲船到达B岛，乙船到达C岛，若CB两岛相距40海里，(1)直接写出的度数；(2)求乙船的航速是多少？ 例3．（2023·广东·八年级专题练习）如图所示，MN以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A发现在其正东方向有一走私艇C并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里，并在MN线上巡逻的缉私艇B密切注意，并告知A和C两艇的距离是13海里，缉私艇B测得C与其距离为12海里，若走私艇C的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？ 模型3.信号站（中转站）选择模型 相关模型背景：信号塔、中转站等。 解题关键：信号塔和中转站模型要注意两个目的地到信号塔或中转站的距离是相等的。 信号塔、中转站模型解题步骤： 1）根据问题设出未知量（一般求谁设谁），并根据设出的未知量表示出两个直角三角形的直角边长； 2）在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出斜边长； 3）根据斜边长相等建立方程求解。 例1．（2023春·湖北·八年级校考期中）如图，铁路上A，B两点相距25 km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=16 km，CB=11 km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？ 例2．（2024·河南平顶山·八年级校考阶段练习）如图，∠AOB=90°，OA=45cm，OB=15cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？ 例3．（2023春·广东八年级课时练习）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（　　） A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定 模型4.台风（噪音）、爆破模型 相关模型背景：有爆破、台风（噪音）等。 解题关键：通常会用到垂线段最短的原理。 台风、爆破模型解题步骤： 1）根据勾股定理计算爆破点或台风中心到目的地的最短距离； 2）将计算出的最短距离跟爆破或台风的影响范围的半径作比较； 3）若最短距离大于影响半径则不受影响，若最短距离小于半径则受影响。 例1．（2023春·安徽池州·八年级统考期末）在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一处需要爆破，已知点与公路上的停靠站的距离为300米，与公路上另一停靠站的距离为400米，且，如图，为了安全起见，爆破点周围250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路段是否有危险？是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．    例2．（2023春·云南昭通·八年级统考期中）如图，四边形为某街心花园的平面图，经测量，，且．(1)试判断的形状，并说明理由；(2)若射线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况，且被监控的道路长度要超过．已知摄像头能监控的最大范围为周围（包含），请问该监控装置是否符合要求?并说明理由．（参考数据，） 例3．（2023春·山东滨州·八年级校考阶段练习）如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m，现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间多长？ 例4．（2023春·广西钦州·八年级校考阶段练习）如图，距沿海某城市A正南220千米的B处，有一台风中心，其最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就减弱1级，该中心正以每小时15千米的速度沿北偏东30°的BC方向移动，且风力不变，若城市A所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响．（1）A城市是否会受台风影响？为什么？（2）若会，将持续多长时间？（3）该城市受台风影响的最大风力为几级？ 模型5.超速模型 相关模型背景：有汽车超速、信号干扰、测河宽等。 解题关键：要将速度统一单位后再进行比较。 超速模型解题步骤： 1）根据勾股定理计算行驶的距离； 2）根据行驶距离和时间求出实际行驶速度； 3）比较实际行驶速度和规定速度。 例1．（2023春·湖北咸宁·八年级期中）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路1旁选取一点P，在公路1上确定点O、B，使得PO⊥l，PO＝100米，∠PBO＝45°．这时，一辆轿车在公路1上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：＝1.41，＝1.73）． 例2．（2023秋·重庆·八年级专题练习）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，AC＝40米，AB＝30米．出发3秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？ 例3．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线横渡，由于受水流的影响，实际沿着航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现比河宽多10米． (1)求该河的宽度；（两岸可近似看作平行）(2)设实际航行时，速度为每秒5米，从C回到A时，速度为每秒4米，求航行总时间． 模型6.风吹莲动模型 相关模型背景：莲花、芦苇、吸管、筷子、秋千等。 解题关键：“莲花”高度为不变量。 风吹莲动模型解题步骤： 1）根据问题设出“水深”或者“莲花”的高度； 2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长； 3）根据勾股定理列方程求解。 例1．（2023·四川成都·八年级校考期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有方池一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好碰到池边的水面．则水池里水的深度是（　　） A．5尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺 例2．（2024·广东深圳·八年级校考期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．    例3．（2023·广西玉林·八年级统考期中）如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为，高为，今有一支的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为（）    A． B． C． D．不能确定 模型7.折竹抵地模型 相关模型背景：竹子、旗杆（风筝）拉绳等。 解题关键：“竹子”高度为不变量。 折竹抵地模型解题步骤： 1）根据问题设出“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度； 2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长； 3）根据勾股定理列方程求解。 例1．（2023春·江苏南通·九年级统考阶段练习）《九章算术》是我国古代数学名著，记载着“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”意思是：一根笔直生长的竹子，高一丈（一丈=10尺），因虫害有病，一阵风吹来将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度是多少尺?设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 例2．（2023春·广东肇庆·八年级统考期末）如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面3米C处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量米，则树原高为 米． 例3．（2023春·新疆昌吉·八年级统考期末）勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具，也是数形结合的纽带．    (1)应用场景——在数轴上画出表示无理数的点．如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线L垂直于，在L上取点B，使，以原点O为圆心，为半径作弧，求弧与数轴的交点C表示的数． (2)应用场景2——解决实际问题．如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度m，将它往前推6m至C处时，水平距离m，踏板离地的垂直高度m，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 模型.8不规则图形面积模型 相关模型背景：有草坪面积、土地面积、网格等。 解题关键：一般所求图形面积为不规则的四边形，要注意转换为两个直角三角形的面积进行求解。 面积模型解题步骤： 1）连接两点作辅助线，将四边形分为两个直角三角形； 2）根据已知条件运用勾股定理求出所连线段长度； 3）运用勾股定理逆定理判定另一个三角形为直角三角形； 4）分别求出两个直角三角形的面积相加或相减即为所求四边形面积。 例1．（2024·山东聊城·八年级期末）聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 例2．（2024·天津河西·八年级期末）如图，将平面直角坐标系放在所示的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，．(1)写出另两个顶点的坐标；(2)求此三角形的周长；(3)的面积为______． 例3．（2024·江西宜春·八年级期中）在学习了勾股定理后，数学兴使小组在江老师的引导下，利用正方形网格和勾股定理运用构图法进行了一系列探究活动： (1)在中，、、三边的长分别为、、，求的面积．如图1，在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），不需要求的高，借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．则的面积为___________． (2)在平面直角坐标系中，①若点A为，点B为，则线段的长为___________；②若点A为，点B为，则线段的长可表示为__________∶ (3)在图2中运用构图法画出图形，比较大小：_______（填“>”或“<”）； (4)若三边的长分别为、、（，．且），请在如图3的长方形网格中（设每个小长方形的长为m，宽为n），运用构图法画出，并求出它的面积（结果用m，n表示）． 1．（2023春·河北邢台·八年级校考期末）如图，钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为．钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿转到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 2．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）一条河流的段长，在点的正北方处有一村庄，在点的正南方处有一村庄，在段上有一座桥，把建在何处时可以使到村和村的距离和最小，那么此时桥到村和村的距离和为（    ） A．10 B． C．12 D． 3．（2023·广西贺州·八年级统考期中）如图在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（    ）．    A．3米 B．4米 C．5米 D．7米 4．（2023秋·广东·八年级专题练习）如图所示的是一个长方体笔筒，底面的长、宽分别为和，高为，将一支长为的签字笔放入笔筒内，则签字笔露在笔筒外的的长度最少为（    ）    A． B． C． D． 5．（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（    ）． A． B． C． D． 6．（2023春·山东临沂·八年级校考阶段练习）如右图，小旭放风筝时线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面．则风筝距离地面的高度为 米．    7．（2023·浙江温州·八年级校联考阶段练习）如图，船位于船正东方向5 km处．现在船以2 km/h的速度朝正北方向行驶，同时船以1 km/h的速度朝正西方向行驶，当两船相距最近时，行驶了 h． 8．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，小霞将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端12米处，发现此时绳子底端距离打结处约6米，则滑轮到地面的高度为 米．    9．（2022秋·广东佛山·八年级校考阶段练习）有一辆载有集装箱的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米．这辆卡车能否通过此桥洞？通过计算说明理由． 10．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，一根垂直于地面的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离．(1)求旗杆折断处点距离地面的高度； (2)工人在修复的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点处吹断，旗杆的顶点落在水平地面上的处，形成一个直角，请求出的长． 11．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变，回答下列问题：(1)根据题意，可知________（填“”“”“”）； (2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离（结果保留根号）． 12．（2023春·湖南湘西·八年级统考阶段练习）超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？ 13．（2023秋·广东·八年级专题练习）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知；【实践探究】设计测量方案：第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米；【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算即可求得旗杆的高度．(1)依题知___________米，用含有x的式子表示为___________米，(2)请你求出旗杆的高度．      14．（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图，某天上午海岸瞭望塔接到位于其北偏西方向且相距12海里的渔船的求救信号，于是立即通知处在瞭望塔正西方向B处的北斗救援队前往救援，救援队测得渔船位于的东北方向，求此时救援队与渔船之间的距离．（结果保留根号）    15．（2023春·陕西渭南·八年级校考期末）如图，港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一个固定方向航行，甲船沿西南方向以每小时12海里的速度航行，乙船沿东南方向以每小时16海里的速度航行，它们离开港口5小时后分别位于、两处，求此时之间的距离．    16．（2023春·福建龙岩·八年级校考阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（丈、尺是长度单位，1丈=10尺）．意思是有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？    17．（2023春·吉林白城·八年级统考期末）如图，一架梯子长2.5米，顶端A靠在垂直于地面的墙上，这时梯子下端B离墙角C的距离为1.5米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为0.9米，计算梯子顶端A下滑的距离．    18．（2024·成都市棕北中学八年级月考）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，梯子顶端到地面的距离为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5米．（1）梯子的长是多少？（2）求小巷的宽． 19．（2024·福建漳州·八年级漳州实验中学校考阶段练习）如图，该路和铁路在P点处交汇，点A处是第九十四中学，米，点A到铁路的距离为80米，假使火车行驶时，周围100米以内会受到吸音影响，火车在铁路上沿方向行驶时．(1)学校是否会受到影响？请说明理由； (2)如果受到影响，已知火车的速度是50米/秒那么学校受到影响的时间是多久？ 20．（2023春·湖南岳阳·八年级校考阶段练习）今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，在A处测得C港在北偏东45°方向上，在B处测得C港在北偏西60°方向上，且千米，以台风中心为圆心，周围600千米以内为受影响区域．(1)海港C受台风影响吗？为什么？(2)若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？（结果保留整数，参考数据，，） 21．（2023·江西景德镇·八年级期中）（1）已知三边长分别为，，，小迪在解决这一 问题时有以下思路：先画如图①的正方形网格（小正方形边长均为1），再画出格点三角形ABC，利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出的面积．请你帮助小迪计算出的面积； （2）若三边长分别为，，，在图②的正方形网格（小正方形边长均为a）中，画出格点三角形DEF，并求出的面积；（3）若三边长分别为，，，在图③的长方形网格（小长方形长均为m，宽均为n）中，画出格点三角形OPQ，并求出的面积． 4 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$