2025年中考数学总复习压轴题训练-手拉手模型+一线三等角模型

2025年沪科版九年级中考数学总复习压轴题训练 1、手拉手模型 一、解答题 1.已知：如图，为线段上一点，，都是等边三角形，交于点，交于点，连接． 求证：； 求证：为等边三角形； 请直接写出三条与不同的正确结论． 2.如图，已知等腰三角形和等腰三角形，，，，连接，交于点，连接 求证：≌．．．平分． 3.如图，在和中，，，，连接，，与交于点，与交于点 求证：． 4.在和中，，，． 当点在上时，如图所示，线段，有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论； 当点在如图所示的位置时，请问中的数是关系和位置关系是否还成立？请说明理由． 5.如图，在中，，是边上一点不与点，重合，以为一边在的右侧作，使，，连结． 求证：； 如图，若，求的度数； 如图，设，，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 6.已知为等边三角形，点为直线上一动点点不与点，重合以为边作等边三角形，连接． 如图，当点在边上时 求证：； 直接判断结论是否成立不需证明； 如图，当点在边的延长线上时，其他条件不变，请写出，，之间的数量关系，并证明． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 2025年沪科版九年级中考数学总复习压轴题训练 2、一线三等角模型 1、 解答题 1.通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图如图，由外到内含三个正方形中提炼出两个三角形全等模型图如图、图， 【问题发现】如图，已知中，，，一直线过顶点，过，分别作其垂线，垂足分别为，，求证：； 如图，若改变直线的位置，其余条件与相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】在的条件下，若，，求的面积． 2.【问题情境】有这样一个问题：如图，把一块三角尺放入一个形槽中，使三角形的三个顶点，，分别在槽的两壁及底边上滑动，其中在滑动过程中，你发现线段与有什么关系？试证明你的结论． 【变式探究】小明在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型，如图，点，，分别在边，，上，若，则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角，请你写出其中的一组，并加以证明． 【拓展应用】如图，在中，，，，分别是边，上的动点，且，以为腰向右作等腰三角形，使得，，连接． 试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由； 如图，已知，是的中点，直接写出的最小值． 3.模型建立如图，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：≌； 模型应用如图，直线：与坐标轴交于点、，直线经过点与直线垂直，求直线的函数表达式． 如图，平面直角坐标系内有一点，过点作轴于点、轴于点，点是线段上的动点，点是直线上的动点且在第四象限内．若成为等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 4.通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： 模型呈现如图，，，过点作于点，过点作于点由，得又，可以推理得到≌进而得到          ， 模型应用 如图，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为          ． A.            深入探究如图，，，，连接，，且于点，与直线交于点求证：点是的中点； 5.如图，等腰直角三角形中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可以证明，我们将这个模型称为“一线三直角”接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： 如图，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，点在第二象限，点坐标为，的坐标为，则点的坐标为          ； 如图，在平面直角坐标系中，等腰，与轴交点，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标． 如图，等腰，，当点在轴正半轴上运动，点在轴正半轴上运动，点在第四象限时，作轴于点，请直接写出，，之间的关系． 2025年沪科版九年级中考数学总复习压轴题训练-手拉手模型 答案和解析 1.【答案】【小题】 解：证明：，都是等边三角形，，，，  即  在和中，≌． 【小题】证明：≌，，  在和中，≌  又，为等边三角形． 【小题】答案不唯一，如：≌；≌；． 2.【答案】【小题】 证明：，，即又，，≌． 【小题】≌， 【小题】设，相交于点≌，又，． 【小题】 过点分别作于点，于点，则在和中，≌平分．  3.【答案】证明：， ，即． 在和中， ． ． ， ． ， ， ，， ，即．  4.【答案】解：结论：，， 理由：如图，延长交于点． ，，， ， ，． ， ， ， 在中，， ． 结论：，， 理由：如图，延长交于点、交于点． ， ，即． 在和中， ， ，， 在和中， ，， ， ． 5.【答案】【小题】 解：证明：， ， 即． 在和中， ． 【小题】 由得， ． ， ， ， 即． 【小题】 ． 6.【答案】【小题】 证明：和是等边三角形，，，，即在和中，成立， 【小题】 解：证明：和是等边三角形，，，，即在和中，． 2025年沪科版九年级中考数学总复习压轴题训练-一线三等角模型 答案和解析 1.【答案】证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ≌， 解：，理由如下： ，， ， ， 又， ≌， ，， ， 即； 解：由得且，， ， ， ， ，则， ．  2.【答案】解：【问题情境】证明如下：  因为，所以因为，所以因为，所以≌，所以． 【变式探究】证明如下：因为，所以，所以． 【拓展应用】理由如下：因为，所以因为，所以，所以      【解析】【拓展应用】提示：在上截取，连接，作点关于的对称点，连接，因为，，所以因为，所以≌，所以，因为，所以，所以，所以，所以点在与夹角为的射线上运动．因为点与点关于对称，所以，所以，所以当，，三点共线时，的值最小，最小值为的长．因为，，所以，所以由对称性可知，，所以因为是的中点，，所以，所以在中，，所以的最小值为． 3.【答案】证明：如图所示： ，， ， 又，， ， 又， ， 在和中， ， ≌； 解：如图，在上取点，使，过点作，垂足为， 直线与坐标轴交于点、， ，， ，， 由同理得≌， ，， ， ， 设的解析式为， ，解得：， 直线的函数表达式为：； 点的坐标为或或．  【解析】【分析】 本题是一次函数和四边形的综合题，综合考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，一次函数上点的坐标的特点等知识点，重点是运用类比的方法，作辅助线，构建全等三角形依次解决问题． 由垂直的定义得，平角的定义和同角的余角的相等求出，最后由角角边证明：≌； 如图，仿照作辅助线，构建三角形全等，同理证明≌，求出点的坐标为，最后利用待定系数法可得直线的函数表达式； 分三种情况：如图，时，如图，，此时与重合，如图，，分别作辅助线，构建三角形全等，根据全等三角形的性质可得点的坐标． 【解答】 见答案； 见答案； 解：分三种情况： 如图，时，过作轴，过作轴，和交于， 是等腰直角三角形，， ， 同理得≌， ，， 设，则， 点是直线上的动点且在第四象限内． ， 解得：， ； 如图，，此时与重合，过作轴于， 是等腰直角三角形， 同理得≌， ，， ； 如图，，过点作轴，延长交于，则， 是等腰直角三角形， 同理得≌， ，， 设，则，， ， 点是直线上的动点且在第四象限内， ， 解得：， ； 综上，点的坐标为或或． 4.【答案】【小题】 【小题】 【小题】 明：如图，过作于，过作于， 由“字”模型得：， ， 同理：， ， ，， ， 在与中， ， ， 即点是的中点．   【解析】  利用全等三角形的性质解答即可； ， ， 故答案为：；   由“字”模型可知，，，得出线段间的数量关系，然后结合图形求解面积即可； 如图中， 由“字”模型可知，，， ，，，， ， 图中实线所围成的图形的面积梯形的面积一的面积一的面积一的面积一的面积 ， 故选：；   过作于，过作于，由“字”模型得出，再由全等三角形的判定和性质得出，得出，即可得出结果． 5.【答案】【小题】   【小题】 解：过点作交于点，如图， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ，， ， ， ， 则， 那么，点的坐标； 【小题】 解：过点作交于点，如图， 则， 点在轴正半轴上运动，点在第四象限， ，， 同理可证，， ， ， ， 则．   【解析】  本题主要考查全等三角形的判定和性质，直角坐标系中点与线段之间的关系，  过点作交直线于点，利用“一线三直角”可证明，有，结合点的坐标得，根据即可求得点坐标； 【详解】解：过点作交直线于点，如图， ，，， ， ， 点坐标为，的坐标为， ， ， 则点的坐标为， 故答案为：；   过点作交于点，由题意得，进一步利用证明，则结合即可求得点坐标；   过点作交于点，则，根据点坐标得，，同理可证，，则，结合即可求得关系式．   $$