精品解析：江苏省泰州市海陵区2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题

2024-2025学年度泰州市海陵区期末质量监测 高一数学试题 （本卷满分150分 考试时间120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用交集的定义可求得集合. 【详解】已知集合，集合，则. 故选：B. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由是否得出，判定充分性；由是否推出，判定必要性是否成立． 【详解】∵等价于， 当或时，不成立； ∴充分性不成立； 又∵等价于，有； ∴必要性成立； ∴“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 3. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次函数的对称轴及函数的单调性列出不等式求解. 【详解】因为函数在区间上单调递减， 所以，解得. 故选：D 4. 若的终边与的终边垂直，且，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义可得答案. 【详解】因为的终边与的终边垂直，且， 所以， 则. 故选：B. 5. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，代入所求式子，结合诱导公式化简即可得出结果. 【详解】令，则，， 则. 故选：C. 6. 北京时间2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，发射取得圆满成功.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度和燃料的质量､火箭（除燃料外）的质量的函数关系的表达式为.若火箭的最大速度达到，则的值是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合对数式和指数式的互化，即可求得答案. 【详解】由题意知火箭的最大速度达到， 故，即， 故选：B 7. 已知定义在上的函数，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分段函数的周期性化简之后再代入，最终求出余弦值即可. 详解】由题意可知， 所以， 故选：C 8. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对给定的幂或对数变形，借助幂函数和对数函数单调性并结合“媒介”数即可判断作答. 【详解】依题意，，函数在上单调递增，而，于是得，即， 函数单调递增，并且有， 则， 于是得，即，则， 又函数在单调递增，且，则有， 所以. 故选：C 【点睛】思路点睛：同指数的幂或同底数的幂，同底数的对数大小比较可分别利用幂函数、指数函数、对数函数单调性进行比较， 如果既有幂，又有对数，一般是选取适当的“媒介”数，分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知、、、均为非零实数，则下列一定正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式可推出，由此可判断A; 利用基本不等式可判断B;举例可判断C；利用不等式的性质可判断D. 【详解】、、、均为非零实数,则 ，故 ，即，故A正确； 由题意可知 ，故 ，当且仅当，即 时取等号，故B正确； 若，比如a=1，b=-1，则不成立，故C错误； 若，，则若，，故，故D正确， 故选：ABD 10. 如图，摩天轮的半径为，其中心点距离地面的高度为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中（ ） A. 转动后点距离地面 B. 若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的 C. 第和第点距离地面的高度相同 D. 摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于的时间为 【答案】AC 【解析】 【分析】求出摩天轮的周期，设出时间，求出点上升的高度，求出点距离地面的高度，再逐个分析判断即可 【详解】解：摩天轮转一圈， 在内转过的角度为， 建立平面直角坐标系，如图， 设是以轴正半轴为始边，表示点的起始位置为终边的角， 以轴正半轴为始边，为终边的角为， 即点的纵坐标为， 又由题知，点起始位置在最高点处， 点距地面高度关于旋转时间的函数关系式为： 即 当时，，故A正确； 若摩天轮转速减半，，则其周期变为原来的2倍，故B错误； 第点距安地面的高度为 第点距离地面的高度为 第和第时点距离地面的高度相同，故C正确； 摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于， 即， 即，， 得， 或， 解得或， 共，故D错误． 故选：AC． 11. 设定义在上的函数满足：①当时，；②，则（ ） A. B. 为减函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，令即可验算；对于B，令，则，结合已知以及单调性的定义即可判断；对于C，令即可判断；对于D，若要判断是否成立，只需判断是否成立，结合基本不等式以及单调性即可判断. 【详解】对于A，在中，令得，，解得，故A正确； 对于B，令，则，此时有，即，即为增函数，故B错误； 对于C，令得，，故C正确； 对于D，由基本不等式得，等号成立当且仅当， 由B选项分析可知为增函数， 所以，所以，即，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：对于AC选项的判断比较常规，直接赋值即可，B选项的关键是结合已知以及单调性的定义，D选项的关键是分析得到，从而即可顺利得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 12. 已知正实数，满足，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 因为为正实数，所以， 所以，当且仅当时等号成立，即时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为， 故答案为：. 13. 设函数，则满足的的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合函数解析式，对分三种情况讨论，分别计算可得. 【详解】当时，，则在时无解； 当时，，在单调递增，时，则的解集为； 当时，，则在时恒成立； 综上，的解集为. 故答案为：． 14. 已知函数的零点为.若，则的值是__________；若函数的零点为，则的值是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用函数零点存在性定理可得；由已知可得为两函数图象的交点的横坐标，为两函数图象的交点的横坐标，根据函数与的图象关于对称，求出交点的横坐标可得答案. 【详解】因为在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 因为，， 且，所以； 由可得， 令可得， 所以即为两函数图象的交点的横坐标， 令可得， 所以即为两函数图象的交点的横坐标， 因为函数与的图象关于对称，且互相垂直， 且由解得，即、的中点为， 所以. 故答案为：1；2. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键点将零点问题转化成函数图象交点问题. 四、解答题：本题共5小题，共77.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）化简：； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）利用所给范围，结合同角关系式进行化简； （2）利用关系式和范围，求出、的值，化简式子代入即可. 【小问1详解】 原式 因为，所以，所以原式 【小问2详解】 因为，所以，即， 所以. 所以. 因为，所以.所以. 所以. 所以. 16. 已知函数的图象关于点对称. （1）求的值； （2）将函数的图象向右平移个单位，然后将所得的图象上各点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，，又，从而即可求解； （2）由三角函数的图象变换可得，由，即可求解函数的值域. 【小问1详解】 解：因为函数的图象关于点对称， 所以， 又，所以； 【小问2详解】 解：由（1）知，将的图象向右平移个单位得， 再将图象上各点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变）得， 因为，所以，所以， 所以函数的值域为. 17. 设，集合关于的方程无实根. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式得到不等式，求出，进而得到，求出并集； （2）根据充分条件得到，参变分离得到，利用基本不等式求出，从而得到. 【小问1详解】 因为无实根，所以. 解得，故. 当时，，即，解得或. 故或. 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 因为是的充分条件，所以. 所以对任意的恒成立. 即对任意的. 因为， 当且仅当即时，取“， 所以. 18. 设为实数，已知函数，. （1）若函数和的定义域为，记的最小值为，的最小值为.当时，求的取值范围； （2）设为正实数，当恒成立时，关于的方程是否存在实数解？若存在，求出此方程的解；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用指数函数的单调性及二次函数的性质，分别求出和的最小值，然后解不等式即可； （2）利用二次函数的性质，求得的最小值为，由题意可得，当时,，，可得，即可得出结论. 【小问1详解】 当时，函数和均单调递增，所以函数单调递增，故当时，取最小值，则； 当时，，， 则当，即时，取最小值，即， 由题意得，则，即的取值范围是； 【小问2详解】 当时，，， 则当，即时，取最小值为， 则恒成立时，有，即， 当时，，， 则，则， 故关于的方程不存在实数解. 19. 若存在实数使得，则称函数为的“函数”. （1）若为，的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求，的解析式； （2）设函数，，是否存在实数使得为，的“函数”，且同时满足：(i)是偶函数；(ii)的值域为? 若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）利用为奇函数，为偶函数，可得答案； （2）假设存在实数使得为，的“函数”，可得，根据是偶函数，可得，再利用基本不等式可得答案. 【小问1详解】 因为为，的“函数”， 所以①，所以， 因为为奇函数，为偶函数，所以，， 所以②， 联立①②，解得； 【小问2详解】 存在，且，理由如下， 假设存在实数，使得为，的“函数”， 则， (i)因为是偶函数，所以， 即，即， 又，可得， 因为需对任意成立，所以； (ii) ， 因为，当且仅当即时取等号， 所以， 由于的值域为，所以，所以， 又因为，所以. 综上所述，存在满足要求. 【点睛】关键点点睛：第二问解题关键点为根据是偶函数，可得，再利用基本不等式可得答案. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度泰州市海陵区期末质量监测 高一数学试题 （本卷满分150分 考试时间120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 4. 若的终边与的终边垂直，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 北京时间2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，发射取得圆满成功.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度和燃料的质量､火箭（除燃料外）的质量的函数关系的表达式为.若火箭的最大速度达到，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的函数，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知、、、均为非零实数，则下列一定正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，，则 10. 如图，摩天轮的半径为，其中心点距离地面的高度为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中（ ） A. 转动后点距离地面 B. 若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的 C. 第和第点距离地面的高度相同 D. 摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于的时间为 11. 设定义在上的函数满足：①当时，；②，则（ ） A. B. 为减函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 12. 已知正实数，满足，则的最小值为______. 13. 设函数，则满足的的取值范围是__________. 14. 已知函数的零点为.若，则的值是__________；若函数的零点为，则的值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）化简：； （2）若，求的值. 16. 已知函数的图象关于点对称. （1）求值； （2）将函数的图象向右平移个单位，然后将所得的图象上各点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的值域. 17. 设，集合关于方程无实根. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 18. 设为实数，已知函数，. （1）若函数和的定义域为，记的最小值为，的最小值为.当时，求的取值范围； （2）设为正实数，当恒成立时，关于的方程是否存在实数解？若存在，求出此方程的解；若不存在，请说明理由. 19. 若存在实数使得，则称函数为的“函数”. （1）若为，的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求，的解析式； （2）设函数，，是否存在实数使得为，“函数”，且同时满足：(i)是偶函数；(ii)的值域为? 若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$