解析几何新定义 专项训练-2025届高三数学二轮复习

解析几何新定义专项训练 解析几何新定义专项训练 考点一 解析几何新定义 1．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间的距离的最大值，S是表示的图形的面积，则（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（2024·四川达州·二模）如图，灯笼的主体可看作将一个椭圆绕短轴旋转得到的，这样的旋转体称为椭圆体.已知椭圆绕短轴旋转得到的椭圆体的体积和表面积可以用公式和计算.若灯笼主体的体积为，则该灯笼主体表面积取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）“四二一广场”是重庆第一中学校的文化地标（如图1），广场中心的建筑形似火炬宛若花开，三朵“花瓣”都是拓扑学中的莫比乌斯带（如图2）.将莫比乌斯带投影到平面上，会得到无穷大符号“∞”.在平面直角坐标系中，设线段AB长度为2a（），坐标原点O为AB中点且点A，B均在x轴上，若动点P满足，那么点P的轨迹称为双纽线，其形状也是无穷大符号“∞”（如图3）.若，点P在第一象限且，则（    ）    A． B． C． D．2 4．（2024·陕西榆林·三模）在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.若，点为双纽线上任意一点，则下列结论正确的个数是（    ） ①关于轴不对称 ②关于轴对称 ③直线与只有一个交点 ④上存在点，使得 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）已知曲线的对称中心为O，若对于上的任意一点A，都存在上两点B，C，使得O为的重心，则称曲线为“自稳定曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”． 则（    ） A．①是假命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①②都是假命题 D．①②都是真命题 6．（24-25高三上·江苏徐州·阶段练习）画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）定义：若直线将多边形分为两部分，且使得多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”．已知双曲线（a，b为常数）和其左右焦点，P为C上的一动点，过P作C的切线分别交两条渐近线于点A，B，已知四边形与三角形有相同的“等线”．则对于下列四个结论： ①； ②等线必过多边形的重心； ③始终与相切； ④的斜率为定值且与a，b有关． 其中所有正确结论的编号是（    ） A．①② B．①④ C．②③④ D．①②③ 8．（24-25高三上·贵州毕节·阶段练习）加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（    ）    A．椭圆的离心率为 B．椭圆的蒙日圆方程为 C．若为正方形，则的边长为 D．长方形的面积的最大值为18 9．（24-25高三上·广东·阶段练习·多选）双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”．如图，曲线是双纽线，关于曲线，下列说法正确的是（   ） A． B．上存在点，使得 C．上的点的纵坐标的最大值为 D．若直线与恰有一个公共点，则的取值范围为 10．（24-25高三上·山东青岛·阶段练习·多选）在平面直角坐标系中，到定点距离之积等于的动点的轨迹称为伯努利双纽线，为该曲线的两个焦点.已知曲线：是一条伯努利双纽线，点是曲线上一点，则（    ） A． B． C．当时， D．上存在两个点，使得 11．（24-25高三上·广东·开学考试·多选）到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设和且，动点满足，动点的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线，则下列描述正确的是（    ） A．曲线的方程是 B．曲线关于坐标轴对称 C．曲线与轴没有交点 D．的面积不大于 12．（24-25高二上·北京·阶段练习）造型在纺织中作为花纹得到广泛应用，这种造型被称为双纽线.已知椭圆的左､右焦点分别为，焦距为4，若动点满足，则动点的轨迹就是一个双纽线.下列说法正确的是 . ①轨迹仅经过一个整点（即横､纵坐标都是整数的点）； ②若点位于椭圆上，且，则的离心率为； ③点与原点之间的距离不超过； ④若直线与曲线有且仅有一个公共点，则或. 13．（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）椭圆的离心率e满足，则称该椭圆为“黄金椭圆”．若是“黄金椭圆”，则 ；“黄金椭圆”两个焦点分别为、（），P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接PM并延长交于N，则 ． 14．（2024·山东枣庄·模拟预测）设为平面上两点，定义、已知点P为抛物线上一动点，点的最小值为2，则 ；若斜率为的直线l过点Q，点M是直线l上一动点，则的最小值为 ． 15．（24-25高三上·吉林长春·期末）已知为椭圆上一点，对于上任意两点，，我们定义关于的生成点的形成过程：过作平行于的直线交于异于的一个点（若与重合，则为在处的切线；若与处切线平行，则交点为），记为，且对，记，称为关于的生成点列. (1)已知，，直接写出和的坐标； (2)若，且均在第一象限，证明：； (3)已知为上异于的一点，且在第一象限内，若关于的生成点列中至少有一点是，求出所有满足题意的点的坐标. 16．（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知为坐标平面内一定点，A为平面上的任意点，向量，点A绕着点逆时针旋转角后得到点，则，我们称该过程为平面上点的旋转，对平面上的任一点做旋转，则称其为平面的旋转变换．平面上的某二次曲线能够通过旋转变成反比例函数图象，我们称该二次曲线为“反比例曲线”． (1)证明曲线是“反比例曲线”，并求出旋转后的反比例函数图象的表达式． (2)证明：“双曲线是‘反比例曲线’”的充要条件是“该双曲线是等轴双曲线”． (3)若存在双曲线是“反比例曲线”，过原点的直线交该双曲线于点，将绕点旋转至能在双曲线的渐近线上找到点，点满足，以此类推，过点作斜率为的直线交双曲线于点，将绕点旋转至能在双曲线的渐近线上找到点，点满足．在中，设底边上的高为，求． 17．（2024·浙江·一模）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线族（不包括直线轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线. (1)圆：是直线族的包络曲线，求，满足的关系式； (2)若点不在直线族的任意一条直线上，求的取值范围及直线族的包络曲线的方程； (3)在（1）（2）的条件下，过曲线上动点向圆做两条切线，，交曲线于点，，求面积的最小值. 18．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”．双曲线的左、右焦点分别为、，其离心率为，且点为双曲线右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于、两点，且点在点上方．当轴时，直线为的等线．已知双曲线在其上一点处的切线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)若是四边形的等线，求四边形的面积； (3)已知为坐标原点，设，点的轨迹为曲线，证明：在点处的切线为的等线． 19．（2024·江西新余·二模）通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P， (1)已知平面内点，点，把点B绕点A逆时针旋转得到点P，求点P的坐标： (2)已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点O逆时针旋转所得的斜椭圆C， （i）求斜椭圆C的离心率； （ⅱ）过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆C于点M、N，过原点O作直线与直线垂直，直线交斜椭圆C于点G、H，判断是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$解析几何新定义专项训练 解析几何新定义专项训练 考点一 解析几何新定义 1．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间的距离的最大值，S是表示的图形的面积，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】设是或上任意一点， 则关于原点对称点为代入方程或，方程式都不变， 所以和都关于原点对称， 设是或上任意一点， 则关于直线对称点为代入方程和，方程式都不变， 则直线是或的对称轴， 设点是或任一点， 则关于对称点为代入方程和，方程式都不变， 则直线是和的对称轴， 由，得或，即， 即椭圆的两个顶点， 由，解得或，即， 即椭圆的两个顶点， 则表示椭圆除去第二，四象限部分； 表示椭圆除去第一，三象限部分； 画出图象如图：    又是中两点间的距离的最大值， 所以椭圆上两点间的距离最大值为长轴长， 即， 又四边形的面积为，所以， 故选：A 2．（2024·四川达州·二模）如图，灯笼的主体可看作将一个椭圆绕短轴旋转得到的，这样的旋转体称为椭圆体.已知椭圆绕短轴旋转得到的椭圆体的体积和表面积可以用公式和计算.若灯笼主体的体积为，则该灯笼主体表面积取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得 ，可得 ，可得 ， 所以表面积 ， 则 ， 令 ，可得 ， 故 时，， 所以函数 在 上单调递增， 而， 所以 . 故选：C. 3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）“四二一广场”是重庆第一中学校的文化地标（如图1），广场中心的建筑形似火炬宛若花开，三朵“花瓣”都是拓扑学中的莫比乌斯带（如图2）.将莫比乌斯带投影到平面上，会得到无穷大符号“∞”.在平面直角坐标系中，设线段AB长度为2a（），坐标原点O为AB中点且点A，B均在x轴上，若动点P满足，那么点P的轨迹称为双纽线，其形状也是无穷大符号“∞”（如图3）.若，点P在第一象限且，则（    ）    A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】，设， 由双纽线的定义得， 即， 化简得， 显然，设，则， 代入方程，得， 所以， 由余弦定理得， 所以， 所以. 故选：C. 4．（2024·陕西榆林·三模）在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.若，点为双纽线上任意一点，则下列结论正确的个数是（    ） ①关于轴不对称 ②关于轴对称 ③直线与只有一个交点 ④上存在点，使得 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】①设到定点的距离之积为4， 可得.，整理得， 即曲线的方程为， 由用代换，方程没变，可知曲线关于轴对称， 由用代换，方程没变，可知曲线关于轴对称， 由用代换，用同时代换，方程没变，可知曲线关于原点对称， 图象如图所示： 所以①不正确，②正确； ③联立方程组，可得，即，所以， 所以直线与曲线只有一个交点，所以③正确. ④原点满足曲线的方程，即原点在曲线上，则， 即曲线上存在点与原点重合时，满足，所以④正确. 故选:C. 5．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）已知曲线的对称中心为O，若对于上的任意一点A，都存在上两点B，C，使得O为的重心，则称曲线为“自稳定曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”． 则（    ） A．①是假命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①②都是假命题 D．①②都是真命题 【答案】B 【详解】椭圆是“自稳定曲线”. 设椭圆方程为，令，则，设， 由是的重心，知，直线过点，    当时，若，直线与椭圆有两个交点，符合题意， 若，直线与椭圆有两个交点，符合题意， 则当，即时，存在两点，使得的重心为原点， 同理，当，即时，存在两点，使得的重心为原点， 当时，，两式相减得， 直线的斜率，方程为，即， 由消去并整理得：， ，即直线与椭圆交于两点，且是的重心， 即当时，对于点，在椭圆上都存在两点，使得为的重心， 综上，椭圆上任意点，在椭圆上都存在两点，使得为重心，①为真命题； 双曲线不是“自稳定曲线”. 由对称性，不妨令双曲线方程为，令，则，设， 假设是的重心，则，直线过点， 当时，直线或直线与双曲线都不相交，因此， ，两式相减得， 直线的斜率，方程为，即， 由消去并整理得：， ，即直线与双曲线不相交， 所以不存在双曲线，其上点及某两点，为的重心，②是假命题. 故选：B 6．（24-25高三上·江苏徐州·阶段练习）画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知的蒙日圆方程为， 因为圆与圆仅有一个公共点， 所以两圆内切或外切，故圆心距等于半径之和或者圆心距等于半径差的绝对值， 所以或， 由此解得， 故选：B. 7．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）定义：若直线将多边形分为两部分，且使得多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”．已知双曲线（a，b为常数）和其左右焦点，P为C上的一动点，过P作C的切线分别交两条渐近线于点A，B，已知四边形与三角形有相同的“等线”．则对于下列四个结论： ①； ②等线必过多边形的重心； ③始终与相切； ④的斜率为定值且与a，b有关． 其中所有正确结论的编号是（    ） A．①② B．①④ C．②③④ D．①②③ 【答案】D 【详解】解：①：设，当时，设，则由，得， 所以，所以切线的斜率为， 所以切线方程为， 因为点在双曲线上，所以，得，， 所以， 所以， 所以，所以， 同理可求出当时的切线方程为， 当时，双曲线的切线方程为，满足， 所以过P点切线方程为， 渐近线方程为 联立两直线方程得， 故有，故 ②：设多边形顶点坐标为，其中 设“等线”方程为，则到等线的距离为： 又因为等线将顶点分为上下两部分，则有 从而 整理得 即等线必过该多边形重心． ③④：考察重心，设，则重心．对于四边形，其重心H必在与重心连线上，也必在与重心连线上，则即为直线GH． 设与重心分别为，则，所以∥， 因为为的重心，所以，所以∥， 所以三点共线， 因为在上，所以∥，过， 因为直线为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，整理得， 所以直线方程，④错误； 又在曲线上，由①的求解过程可知直线为切线方程，所以③正确， 故①②③正确．    故选：D 8．（24-25高三上·贵州毕节·阶段练习）加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（    ）    A．椭圆的离心率为 B．椭圆的蒙日圆方程为 C．若为正方形，则的边长为 D．长方形的面积的最大值为18 【答案】D 【详解】由椭圆方程知，，则，离心率为，A正确； 当长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为和4，其对角线长为，因此蒙日圆半径为，圆方程为，B正确； 设矩形的边长分别为，因此，即，当且仅当时取等号，所以长方形的面积的最大值是20，此时该长方形为正方形，边长为，C正确，D错误． 故选：D． 9．（24-25高三上·广东·阶段练习·多选）双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”．如图，曲线是双纽线，关于曲线，下列说法正确的是（   ） A． B．上存在点，使得 C．上的点的纵坐标的最大值为 D．若直线与恰有一个公共点，则的取值范围为 【答案】ACD 【详解】由图可知，点在C上，所以，A正确， 设曲线C上任一点，由，可得，， 即C上不存在点，使得，B不正确, 方程可化为， 令，得， 由可得， 即，等号成立，故C上的点的纵坐标的最大值为，C正确． 直线与C均经过原点，则直线与C除原点外无其他公共点． 联立方程组整理得． 当时，方程仅有一解，满足题意， 当时，当时，方程恒成立，即恒有一解，当时，方程化简得， 即当时，方程无解，满足题意，综上，，解得或，D正确． 故选：ACD 10．（24-25高三上·山东青岛·阶段练习·多选）在平面直角坐标系中，到定点距离之积等于的动点的轨迹称为伯努利双纽线，为该曲线的两个焦点.已知曲线：是一条伯努利双纽线，点是曲线上一点，则（    ） A． B． C．当时， D．上存在两个点，使得 【答案】AC 【详解】对A：对伯努利双纽线， 令，则，即，解得或， 故点在该曲线上，根据双纽线定义可得：， 故，则，或（舍去），故，又，故，故A正确； 对B：对伯努利双纽线，令， 则，即， 即，该方程无解，，故B错误； 对C：在△中，不妨设， 由A可知，；由据双纽线定义可得：； 则由余弦定理可得：， 即，， 故（舍）或， 即当时，，故C正确； 对D：对方程，令，则，解得， 故斜率存在，设为，则直线对应方程为； 联立与可得：， 即，因为异于，故， 则，则，解得，同理； 若，则，由范围可知，显然不成立，故D错误； 故选：AC. 11．（24-25高三上·广东·开学考试·多选）到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设和且，动点满足，动点的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线，则下列描述正确的是（    ） A．曲线的方程是 B．曲线关于坐标轴对称 C．曲线与轴没有交点 D．的面积不大于 【答案】ABD 【详解】设，由， 得， 化简得，故A正确； 该方程中把改为或把改为方程均不变，故B正确； 在方程中，令得， 当时，或，当时，，当时，，故C不正确； ，故D正确. 故选：ABD. 12．（24-25高二上·北京·阶段练习）造型在纺织中作为花纹得到广泛应用，这种造型被称为双纽线.已知椭圆的左､右焦点分别为，焦距为4，若动点满足，则动点的轨迹就是一个双纽线.下列说法正确的是 . ①轨迹仅经过一个整点（即横､纵坐标都是整数的点）； ②若点位于椭圆上，且，则的离心率为； ③点与原点之间的距离不超过； ④若直线与曲线有且仅有一个公共点，则或. 【答案】①③④ 【详解】对于①，由题意可知， 设，则， 化简，即轨迹的方程为； 令，则，整理可得， 则，解得； 当时，或或， 当时，或，故经过整点，因此轨迹仅经过一个整点，即①正确； 对于②，若点位于椭圆上，所以， 则， 可得，又，所以； 可得，可得的离心率为，即②错误； 对于③，当点与点重合时，点与点之间的距离为0； 当点与点不重合时，点与点之间的距离为， 则点与点之间的距离不超过，即③正确； 对于④，因为直线与曲线有且仅有一个公共点，直线和曲线都经过原点， 因此除原点外，直线与曲线再无公共点， 由可得， 因此当时，方程无解，则， 解得或，即④正确. 故答案为：①③④ 13．（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）椭圆的离心率e满足，则称该椭圆为“黄金椭圆”．若是“黄金椭圆”，则 ；“黄金椭圆”两个焦点分别为、（），P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接PM并延长交于N，则 ． 【答案】 【详解】因为是“黄金椭圆”，故，故， 连接，因为为内心，故为角平分线， 由角平分线性质，有，故， 故答案为：，. 14．（2024·山东枣庄·模拟预测）设为平面上两点，定义、已知点P为抛物线上一动点，点的最小值为2，则 ；若斜率为的直线l过点Q，点M是直线l上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 2 【详解】设，则， ，即，时取得最小值； 易知，，联立有， 显然无解，即直线与抛物线无交点，如下图所示， 过作交l于N，过作， 则（重合时取得等号）， 设，则，所以，    故答案为：2， 15．（24-25高三上·吉林长春·期末）已知为椭圆上一点，对于上任意两点，，我们定义关于的生成点的形成过程：过作平行于的直线交于异于的一个点（若与重合，则为在处的切线；若与处切线平行，则交点为），记为，且对，记，称为关于的生成点列. (1)已知，，直接写出和的坐标； (2)若，且均在第一象限，证明：； (3)已知为上异于的一点，且在第一象限内，若关于的生成点列中至少有一点是，求出所有满足题意的点的坐标. 【答案】(1)，. (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）设，由，，得直线斜率， 则过点且与平行的直线为，即， 由对称性可知，直线与椭圆交点为，即；    由，则， 由题意椭圆在点处的切线方程为， 过点作此切线的平行线交椭圆于点（异于点）； 故，设，则过点， 故设过点且与直线平行的直线方程为， 设椭圆在此点处的切线方程为， 联立椭圆方程， 由所求交点不同于点，则得，故.    故，. （2）设椭圆上任意一点，由椭圆， 则可设，其中参数，下面记对应的参数. 由，可知，由题意均在第一象限， 则，，. 由此，若在椭圆上，可设， 即， 若，若， 则， 由和差化积公式可得， 化简得， 则，，所以， 特别地，若，， 则由，则. 设，其中.    设，根据上述结论由，可得， 即，则， 若，则，. 若，则， 结合图形可知. 有， 所以若，则仍然成立. 故同理可得，， 则. （3）对于生成的点列，下面用数学归纳法证明： 对任意，成立 ①当时，则时，，满足结论； ②当（）时，都有， 则当时，由点与的连线与点与的连线平行， 则由（2）可知，，. 则 ，，， 所以当时，也成立， 综合①②可知，对任意，成立. 因此，若关于的生成点列中至少有一点是， 则存在正整数，使得， 可得，即， 由在第一象限，则由，解得， 故所有满足题意的点的坐标为. 16．（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知为坐标平面内一定点，A为平面上的任意点，向量，点A绕着点逆时针旋转角后得到点，则，我们称该过程为平面上点的旋转，对平面上的任一点做旋转，则称其为平面的旋转变换．平面上的某二次曲线能够通过旋转变成反比例函数图象，我们称该二次曲线为“反比例曲线”． (1)证明曲线是“反比例曲线”，并求出旋转后的反比例函数图象的表达式． (2)证明：“双曲线是‘反比例曲线’”的充要条件是“该双曲线是等轴双曲线”． (3)若存在双曲线是“反比例曲线”，过原点的直线交该双曲线于点，将绕点旋转至能在双曲线的渐近线上找到点，点满足，以此类推，过点作斜率为的直线交双曲线于点，将绕点旋转至能在双曲线的渐近线上找到点，点满足．在中，设底边上的高为，求． 【答案】(1)证明见解析，（或）． (2)证明见解析 (3)． 【详解】（1）由题，在旋转变换公式中取，旋转变换后的坐标为． 得 则，将其代入，得， 化简得， 故曲线是“反比例曲线”，所求反比例函数图象的表达式为； 或在旋转变换公式中取，旋转变换后的坐标为． 得 则，将其代入，得， 化简得， 故曲线是“反比例曲线”，所求反比例函数图象的表达式为， 综上，反比例函数图象的表达式为或. （2）必要性：根据旋转的坐标变换公式，得，所以， 代入得， 化简得， “双曲线是‘反比例曲线’”， 所以，解得，故该双曲线是等轴双曲线，必要性成立； 充分性：由等轴双曲线定义可知，即， 代入（1）中的旋转变换公式，得，化简得， 故该双曲线是“反比例曲线”． 综上所述，“双曲线是‘反比例曲线’”的充要条件是“该双曲线是等轴双曲线”． （3）由（2）可知，双曲线的方程可进一步表示为， 因为旋转变换的角度不影响最终的结果，故本题取， 且旋转变换后得到的反比例函数图象的表达式为，即． 设经过旋转变换后， 因为是等腰三角形，所以， 根据反比例函数定义可得． 故且． 从点向轴作垂线交于点，向轴作垂线交于点， 设矩形的面积为，因为， 当时，． 由于，，故当时， ， 因为，所以，从而． 以此类推， ， 因为， 所以，可得． 17．（2024·浙江·一模）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线族（不包括直线轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线. (1)圆：是直线族的包络曲线，求，满足的关系式； (2)若点不在直线族的任意一条直线上，求的取值范围及直线族的包络曲线的方程； (3)在（1）（2）的条件下，过曲线上动点向圆做两条切线，，交曲线于点，，求面积的最小值. 【答案】(1) (2)，曲线的方程为. (3) 【详解】（1）由题可得，直线族为圆M的切线， 故满足，，所以满足． （2）将点代入，可得关于的方程， 因为点不在直线族上，故方程无实数解， 所以，那么，故， 因为区域的边界为抛物线， 下证：是的包络曲线． 证明：联立直线与，可得，所以， 故直线族：为抛物线的切线. 因此直线族的包络曲线的方程为. （3）设，，， 则， 故 由直线与相切，所以， 整理得，① 同理可得，，② 由①②可得直线． 直线与联立得，（显然） 可得， 由韦达定理可得． 因此， 由于点到直线的距离， 所以面积为， 令，则， 由，解得， 当，，当，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 那么（当且仅当时取到）， 所以面积的最小值是.    18．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”．双曲线的左、右焦点分别为、，其离心率为，且点为双曲线右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于、两点，且点在点上方．当轴时，直线为的等线．已知双曲线在其上一点处的切线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)若是四边形的等线，求四边形的面积； (3)已知为坐标原点，设，点的轨迹为曲线，证明：在点处的切线为的等线． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）解：在双曲线的方程中，令，解得， 因为直线为的等线，显然点在直线的上方，故有， 又、，有，，， 解得，， 所以的方程为． （2）解：设，由题意有方程为，① 渐近线方程为，联立得，， 故， 所以是线段的中点，因为、到过原点的直线距离相等， 则过原点点的等线必定满足：、到该等线距离相等，且分居两侧， 所以该等线必过点，即直线的方程为， 由，解得，故． 所以. 所以， 所以，所以． （3）证明：设，由，所以，， 故曲线的方程为， 由①知切线为，也为，即，即． 易知与在的右侧，在的左侧，分别记、， 到的距离为、、， 由（2）知，， 所以， 由得， 因为， 所以直线为的等线． 19．（2024·江西新余·二模）通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P， (1)已知平面内点，点，把点B绕点A逆时针旋转得到点P，求点P的坐标： (2)已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点O逆时针旋转所得的斜椭圆C， （i）求斜椭圆C的离心率； （ⅱ）过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆C于点M、N，过原点O作直线与直线垂直，直线交斜椭圆C于点G、H，判断是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ⅱ）是，2 【详解】（1）由已知可得，则， 设，则， 所以，，即点P的坐标为； （2）（i）由与交点为和，则， 由与交点为和， 则，所以，； （ⅱ）法一：设直线：，、， 与斜椭圆联立：， 有， ∵，， ∴ ， 设直线：，代入斜椭圆， 有， ∴，∴， 故. 法二：将椭圆顺时针旋转，由①可得椭圆方程为， 点Q旋转后的坐标为， 当直线旋转后斜率不存在时，，，， 当直线旋转后斜率存在时，设直线旋转后为， 旋转后、， 与椭圆方程联立，即， 可得， ，， ， 设直线旋转后为，代入椭圆方程中， 有，， . 综上所述，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$