广东省广州市越秀区2022-2023学年高二上学期期末考试数学试卷

第1页（共19页） 2022-2023学年广东省广州市越秀区高二（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．直线 l经过 A（﹣2，3），B（﹣1，2）两点，则直线 l的倾斜角是（ ） A． 𝜋 4 B． 3𝜋 4 C． 𝜋 3 D． 2𝜋 3 2．抛物线 y＝4x2 的准线方程为（ ） A．x＝﹣1 B．y＝﹣1 C．x= − 1 16 D．y= − 1 16 3．圆𝐶1：𝑥 2 + 𝑦2 = 9和圆𝐶2：𝑥 2 + 𝑦2 − 8𝑥 + 6𝑦 + 9 = 0的位置关系是（ ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 4．在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬 奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 T和 lgP的关系，其中 T表示温度，单位 是 K；P表示压强，单位是 bar．下列结论中正确的是（ ） A．当 T＝220，P＝1026 时，二氧化碳处于液态 B．当 T＝270，P＝128 时，二氧化碳处于气态 C．当 T＝300，P＝9987 时，二氧化碳处于超临界状态 D．当 T＝360，P＝729 时，二氧化碳处于超临界状态 5．若函数 f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2 在区间（﹣∞，3）上是单调函数，则实数 a的取值范围是（ ） A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，+∞） C．（﹣∞，4] D．[4，+∞） 6．直线 l的方向向量为𝑚 → = (1，− 1，0)，且 l过点 A（1，1，2），则点 P（2，﹣2，1）到直线 l的距离 为（ ） A．√2 B．√3 C．√6 D．2√2 7．已知空间三点 A（4，1，9），B（10，﹣1，6），C（2，4，3），则下列结论不正确的是（ ） 第2页（共19页） A．|AB|＝|AC| B．点 P（8，2，0）在平面 ABC内 C．AB⊥AC D．若𝐴𝐵 → = 2𝐶𝐷 → ，则 D的坐标为(1，− 5，− 3 2 ) 8．已知直线 l1：x+y+2＝0 与直线 l2：x+my﹣2m＝0 相交于点 P，圆 C：x 2+y2﹣4x﹣2y＝0 交 y轴正半轴于 M，若 N是圆 C上的动点，则|PM|+|PN|的最小值是（ ） A．√5 B．2√5 C．3√5 D．4√5 二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分． 9．已知直线 l0：x+y+1＝0，则下列结论正确的是（ ） A．点（0，1）到直线 l0 的距离是√2 B．直线 l1：x﹣y+1＝0，则 l0⊥l1 C．直线 l2：mx+（m 2﹣2）y+2＝0（m为常数），若 l0∥l2，则 m＝﹣1 或 m＝2 D．直线 l3：x+y﹣1＝0，则 l0 和 l3 的距离为 2 10．已知曲线 C：mx2+ny2＝mn（ ） A．若 m＝n＞0，则 C是圆，其半径为 n B．若 mn＜0，则 C是双曲线，其渐近线方程为𝑦 = ±√− 𝑚 𝑛 𝑥 C．若 mn＞0，且 m＞n，则 C是椭圆，其焦点在 x轴上 D．若 C是等轴双曲线，则以原点为顶点以 x＝n为准线的抛物线方程为 y2＝4mx 11．在棱长为 a 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，P，Q 为底面 ABCD 内两动点且满足𝐴1𝑃 → = 𝐴1𝐴 → +x𝐴𝐵 → + 𝑥𝐴𝐷 → （x∈[0，1]），异面直线 B1Q与 AA1 所成角为 30°，则（ ） A．𝐶1𝑃 → ⋅ 𝐵1𝐷1 → = 0 B．直线 PQ与 DD1 为异面直线 C．线段 PQ长度最小值等于( √2 2 − √3 3 )𝑎 D．三棱锥 B1﹣APQ的体积可能取值为 𝑎3 18 12．已知椭圆𝐶： 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏 2 = 1(𝑎＞𝑏＞0)的左，右两焦点分别是 F1，F2，其中|F1F2|＝2c，直线 l：y＝k（x+c） （k∈R）与椭圆交于 A，B两点．则下列说法中正确的有（ ） A．若|AF2|+|BF2|＝m，则|AB|＝4a﹣2m 第3页（共19页） B．若 AB的中点为M，则𝑘𝑂𝑀 ⋅ 𝑘 = − 𝑏 2 𝑎2 C．|AB|的最小值为 2𝑏2 𝑎 D．𝐴𝐹1 → ⋅ 𝐴𝐹2 → = 3𝑐2，则椭圆的离心率的取值范围是[ √5 5 ， √2 2 ] 三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分． 13．过点（1，2）且与圆 x2+y2＝1 相切的直线方程为 ． 14．如图，在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，∠BAD＝90°，AB＝3，AD＝ 2，AA1＝3，M是底面 ABCD的中心，设𝐴𝐵 → = 𝑎 → ，𝐴𝐷 → = 𝑏 → ，𝐴𝐴1 → = 𝑐 → ，则𝐷1𝑀 → = （用𝑎 → ，𝑏 → ，𝑐 → 表示），D1M的长度为 ． 15．已知抛物线 C：x2＝8y的焦点为 F，准线为 l，过 F的直线交 C于 P、Q两点，交 l于点 M，且𝑃𝐹 → = 2𝐹𝑄 → ， 则|MQ|＝ ． 16．已知曲线𝐶： 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏 2 = 1(𝑎＞𝑏＞0)的离心率是 1 2 ，P为其上顶点，F1，F2 分别为左、右焦点，过 F1 且 垂直于 PF2 的直线与 C交于 M，N两点，|MN|＝12，则△PMN的周长是 ． 四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10 分）在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c．已知3𝑎 = √5𝑐，𝑐𝑜𝑠𝐶 = 4 5 ． （1）求 sinA的值； （2）若 b＝4，求△ABC的面积． 18．（12 分）如图，在四面体 ABCD中，AD⊥平面 BCD，M是 AD的中点，P是 BM的中点，点 Q在线段 AC上，且 AQ＝3QC． （1）求证：PQ∥平面 BCD； （2）若 DA＝DB＝DC＝4，∠BDC＝90°，求 AC与平面 BQM所成角的余弦值． 第4页（共19页） 19．（12 分）在平面直角坐标系 xOy中： ①圆 C过 A（1，0）和 B（﹣1，2），且圆心在直线 l：2x+y+2＝0 上； ②圆 C过𝐸(0，√3)，𝐹(1，0)，𝐺(−1，− 2)三点． （1）在①②两个条件中，任选一个条件求圆 C的标准方程； （2）在（1）的条件下，过直线 x＝3 上的点 P（3，﹣4）分别作圆 C的两条切线 PQ，PR（Q，R为切 点），求直线 QR的方程，并求弦长|QR|． 20．（12 分）已知圆⊙：x2+y2＝4 上的动点M在 x轴上的投影为 N，点 C满足𝐶𝑁 → = √2 2 𝑀𝑁 → ． （1）求动点 C的轨迹方程 C； （2）过点 P（1，0）的直线 l与 C交于 A，B两个不同点，求△OAB面积的最大值． 21．（12 分）如图，在四棱锥 S﹣ABCD中，满足 AB⊥AD，AB⊥BC，SA⊥底面 ABCD，AD＝1，AB= √3， BC＝3． （1）求证：平面 SBD⊥平面 SAC； （2）若平面 SCD与平面 SAB的夹角的余弦值为 √6 4 ，求 B到平面 SCD的距离． 22．（12 分）在平面直角坐标系 xOy中，曲线 C上的任意一点到点 F（2，0）的距离比到直线 x+4＝0 的距 离小 2． （1）求曲线 C的方程； （2）过点 F作斜率为 k1，k2 的两条直线分别交 C于M，N两点和 P，Q两点，其中𝑘1 + 𝑘2 = 1 2 ．设线 段 MN 和 PQ 的中点分别为 A，B，过点 F 作 FD⊥AB，垂足为 D．试问：是否存在定点 T，使得线段 TD的长度为定值．若存在，求出点 T的坐标及定值；若不存在，说明理由． 第5页（共19页） 2022-2023学年广东省广州市越秀区高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．直线 l经过 A（﹣2，3），B（﹣1，2）两点，则直线 l的倾斜角是（ ） A． 𝜋 4 B． 3𝜋 4 C． 𝜋 3 D． 2𝜋 3 解：设直线的倾斜角为 α， 由已知可得直线的斜率 k＝tanα= 3−2 −2−(−1) = −1， 又 α∈[0，π），所以𝛼 = 3𝜋 4 ， 故选：B． 2．抛物线 y＝4x2 的准线方程为（ ） A．x＝﹣1 B．y＝﹣1 C．x= − 1 16 D．y= − 1 16 解：因为抛物线 y＝4x2，可化为：x2= 1 4 y， 则抛物线的准线方程为 y= − 1 16 ． 故选：D． 3．圆𝐶1：𝑥 2 + 𝑦2 = 9和圆𝐶2：𝑥 2 + 𝑦2 − 8𝑥 + 6𝑦 + 9 = 0的位置关系是（ ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 解：∵圆 x2+y2﹣8x+6y+9＝0 的标准方程为（x﹣4）2+（y+3）2＝16， ∴圆 x2+y2﹣8x+6y+9＝0 的圆心是 C2（4，﹣3），半径＝4． 又∵圆 x2+y2＝9 的圆心是 C1（0，0），半径 r2＝3． ∴|C1C2|＝5， ∵|r1﹣r2|＝1，r1+r2＝7， ∴|r1﹣r2|＜|OC|＜r1+r2，可得两圆相交． 故选：B． 4．在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬 奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 T和 lgP的关系，其中 T表示温度，单位 是 K；P表示压强，单位是 bar．下列结论中正确的是（ ） 第6页（共19页） A．当 T＝220，P＝1026 时，二氧化碳处于液态 B．当 T＝270，P＝128 时，二氧化碳处于气态 C．当 T＝300，P＝9987 时，二氧化碳处于超临界状态 D．当 T＝360，P＝729 时，二氧化碳处于超临界状态 解：对于 A，当 T＝220，P＝1026 时，lgP＞3，由图可知二氧化碳处于固态，故 A错误； 对于 B：当 T＝270，P＝128 时，2＜lgP＜3，由图可知二氧化碳处于液态，故 B错误； 对于 C：当 T＝300，P＝9987 时，lgP≈4，由图可知二氧化碳处于固态，故 C错误； 对于 D：当 T＝360，P＝729 时，2＜lgP＜3，由图可知二氧化碳处于超临界状态，故 D正确； 故选：D． 5．若函数 f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2 在区间（﹣∞，3）上是单调函数，则实数 a的取值范围是（ ） A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，+∞） C．（﹣∞，4] D．[4，+∞） 解：函数 f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2 图象是开口向上，对称轴为 x＝1﹣a， 则函数 f（x）在（﹣∞，1﹣a）上单调递减，在（1﹣a，+∞）上单调递增， 又函数 f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2 在区间（﹣∞，3）上是单调函数， 所以 1﹣a≥3，解得 a≤﹣2， 所以实数 a的取值范围为（﹣∞，﹣2]． 故选：A． 6．直线 l的方向向量为𝑚 → = (1，− 1，0)，且 l过点 A（1，1，2），则点 P（2，﹣2，1）到直线 l的距离 为（ ） A．√2 B．√3 C．√6 D．2√2 解：∵A（1，1，2），P（2，﹣2，1）， ∴𝐴𝑃 → =（1，﹣3，﹣1），又𝑚 → =（1，﹣1，0）， 第7页（共19页） ∴𝐴𝑃 → 在𝑚 → 方向上的投影|𝐴𝑃 → |•cos＜𝐴𝑃 → ⋅ 𝑚 → ＞ = 𝐴𝑃 → ⋅𝑚 → |𝑚 → | = 4 √2 =2√2， ∴P到 l距离 d= √|𝐴𝑃 → |2 − (2√2)2 = √11 − 8 = √3． 故选：B． 7．已知空间三点 A（4，1，9），B（10，﹣1，6），C（2，4，3），则下列结论不正确的是（ ） A．|AB|＝|AC| B．点 P（8，2，0）在平面 ABC内 C．AB⊥AC D．若𝐴𝐵 → = 2𝐶𝐷 → ，则 D的坐标为(1，− 5，− 3 2 ) 解：因为|AB|√62 + (−2)2 + (−3)2 =7，|ACl= √(−2)2 + 32 + (−6)2 =7，故 A正确； 因为𝐴𝐵 → •𝐴𝐶 → =（6，﹣2，﹣3）•（﹣2，3，﹣6）＝﹣12﹣6+18＝0，所以 AB⊥AC，故 C正确； 因为𝐴𝐵 → =（6，﹣2，﹣3），𝐴𝐶 → =（﹣2，3，﹣6），𝐴𝑃 → =（4，1，﹣9）， 所以𝐴𝑃 → = 𝐴𝐵 → + 𝐴𝐶 → =（4，1，﹣9），所以点 P（8，2，0）在平面 ABC内，故 B正确； 因为𝐴𝐵 → =（6，﹣2，﹣3），2𝐶𝐷 → =2（﹣1，﹣9，− 9 2 ）＝（﹣2，﹣18，﹣9），显然不成立，故 D错误． 故选：D． 8．已知直线 l1：x+y+2＝0 与直线 l2：x+my﹣2m＝0 相交于点 P，圆 C：x 2+y2﹣4x﹣2y＝0 交 y轴正半轴于 M，若 N是圆 C上的动点，则|PM|+|PN|的最小值是（ ） A．√5 B．2√5 C．3√5 D．4√5 解：由直线 l1：x+y+2＝0 与直线 l2：x+my﹣2m＝0 相交于点 P， 故 P为直线 l1 上任意一点， 圆 C：x2+y2﹣4x﹣2y＝0，得圆心为 C（2，1），半径 r= √5，与 y轴正半轴交于点 M（0，2）， 设 M（0，2）关于直线 x+y+2＝0 对称点 D的坐标为（m，n）， 则{ 𝑛−2 𝑚−0 × (−1) = −1 𝑚 2 + 𝑛+2 2 + 2 = 0 ，解得 m＝﹣4，n＝﹣2， ∴D（﹣4，﹣2）， ∴|DC|= √(−4 − 2)2 + (−2 − 1)2 =3√5， ∴|PM|+|PN|＝|PD|+|PN|≥|DN|≥|DC|−√5 =2√5． 故选：B． 二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全 第8页（共19页） 部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分． 9．已知直线 l0：x+y+1＝0，则下列结论正确的是（ ） A．点（0，1）到直线 l0 的距离是√2 B．直线 l1：x﹣y+1＝0，则 l0⊥l1 C．直线 l2：mx+（m 2﹣2）y+2＝0（m为常数），若 l0∥l2，则 m＝﹣1 或 m＝2 D．直线 l3：x+y﹣1＝0，则 l0 和 l3 的距离为 2 解：对于 A：直线 l0：x+y+1＝0，则点（0，1）到直线的距离 d= |0+1+1| √1 2 +1 2 = √2，故 A正确； 对于 B：直线 l0：x+y+1＝0 的斜率 k1＝﹣1，直线 l1：x﹣y+1＝0 的斜率 k2＝1，所以 k1•k2＝﹣1，故 l0 ⊥l1，故 B正确； 对于 C：直线 l0：x+y+1＝0，直线 l2：mx+（m 2﹣2）y+2＝0（m为常数），若 l0∥l2，则 m＝m 2﹣2，解 得 m＝2 或﹣1，当 m＝2 时，两直线重合舍去；当 m＝﹣1 时，两直线平行，故 m＝﹣1．故 C错误； 对于 D：直线 l0：x+y+1＝0，直线 l3：x+y﹣1＝0，则直线 l0∥l3，所以这两直线的距离 d= |1+1| √1 2 +1 2 = √2， 故 D错误． 故选 AB． 10．已知曲线 C：mx2+ny2＝mn（ ） A．若 m＝n＞0，则 C是圆，其半径为 n B．若 mn＜0，则 C是双曲线，其渐近线方程为𝑦 = ±√− 𝑚 𝑛 𝑥 C．若 mn＞0，且 m＞n，则 C是椭圆，其焦点在 x轴上 D．若 C是等轴双曲线，则以原点为顶点以 x＝n为准线的抛物线方程为 y2＝4mx 解：对 A选项，∵m＝n＞0， ∴曲线 C：mx2+ny2＝mn可化为：x2+y2＝n， ∴曲线 C是圆，其半径为√𝑛，∴A选项错误； 对 B选项，∵mn＜0，∴曲线 C：mx2+ny2＝mn可化为： 𝑥2 𝑛 + 𝑦2 𝑚 = 1， ∴曲线 C是双曲线，其渐近线方程为 𝑥2 𝑛 + 𝑦2 𝑚 = 0， 即𝑦 = ±√− 𝑚 𝑛 𝑥，∴B选项正确； 对 C选项，∵mn＞0，且 m＞n， ∴曲线 C：mx2+ny2＝mn可化为： 第9页（共19页） 𝑦2 𝑚 + 𝑥2 𝑛 = 1，∴m＞n＞0， ∴曲线 C是焦点在 y轴上的椭圆，∴C选项错误； 对 D选项，∵曲线 C：mx2+ny2＝mn是等轴双曲线， ∴曲线 C：mx2+ny2＝mn可化为： 𝑥2 𝑛 + 𝑦2 𝑚 = 1， ∴m+n＝0，且 mn＜0， ∴以原点为顶点以 x＝n为准线的抛物线方程为 y2＝4mx，∴D选项正确． 故选：BD． 11．在棱长为 a 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，P，Q 为底面 ABCD 内两动点且满足𝐴1𝑃 → = 𝐴1𝐴 → +x𝐴𝐵 → + 𝑥𝐴𝐷 → （x∈[0，1]），异面直线 B1Q与 AA1 所成角为 30°，则（ ） A．𝐶1𝑃 → ⋅ 𝐵1𝐷1 → = 0 B．直线 PQ与 DD1 为异面直线 C．线段 PQ长度最小值等于( √2 2 − √3 3 )𝑎 D．三棱锥 B1﹣APQ的体积可能取值为 𝑎3 18 解：由𝐴1𝑃 → = 𝐴1 → 𝐴 → + 𝑥𝐴𝐵 → + 𝑥𝐴𝐷 → (𝑥 ∈ [0，1])，可知𝐴1𝑃 → = 𝐴1𝐴 → +x𝐴𝐶 → （x∈[0，1]）， 即 P点在 AC上，连接 BD，则 BD∥B1D1， 由于 AA1⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，故 AA1⊥BD， 又 BD⊥AC，且 AC∩AA1＝A，AC，AA1⊂平面 AA1C1C， 故 BD⊥平面 AA1C1C，C1P⊂平面 AA1C1C，所以 BD⊥CP， 则 B1D1⊥C1P，∴𝐶1𝑃 → •𝐵1𝐷1 → =0，A正确； 因为异面直线 B1Q与 AA1 所成角为 30°，且 AA1∥BB1， 故 B1Q与 BB1 所成角为 30°，即∠QB1B＝30，则 BQ= √3 3 a， 第10页（共19页） 故 Q点在以 B为圆心，BQ= √3 3 a为半径的圆弧上运动， 当 Q为该圆弧与 BD的交点，且 P为 AC，BD的交点时，直线 PQ与 DD1 为相交直线，B错误： 由于 P点在 AC上，Q点在以 B为圆心，BQ= √3 3 a为半径的圆弧上运动， 故线段 PQ长度最小值为点 B到直线 AC的距离 √2𝑎 2 减去圆弧的半径 BQ= √3 3 a，即最小值为（ √2 2 − √3 3 ） a，C正确； 三棱锥 B1﹣APQ的高为 BB1＝a，假设其体积可取到 𝑎3 18 ，则其底面积 S△APQ= 1 6 a2， 又因为当 P点位于 C处，Q位于其所在圆弧与 AB或 BC的交点处时， △APQ的面积取到最大值，最大值为 1 2 × √2a× √2 2 （a− √3 3 a）= 1 6 （3−√3）a， 因为 1 6 （3−√3）a2＞ 1 6 a2，故假设成立，即三棱锥 B1﹣APQ的体积可能取值为 𝑎3 18 ，D正确． 故选：ACD． 12．已知椭圆𝐶： 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏 2 = 1(𝑎＞𝑏＞0)的左，右两焦点分别是 F1，F2，其中|F1F2|＝2c，直线 l：y＝k（x+c） （k∈R）与椭圆交于 A，B两点．则下列说法中正确的有（ ） A．若|AF2|+|BF2|＝m，则|AB|＝4a﹣2m B．若 AB的中点为M，则𝑘𝑂𝑀 ⋅ 𝑘 = − 𝑏 2 𝑎2 C．|AB|的最小值为 2𝑏2 𝑎 D．𝐴𝐹1 → ⋅ 𝐴𝐹2 → = 3𝑐2，则椭圆的离心率的取值范围是[ √5 5 ， √2 2 ] 解：由题意可知，直线 l过左焦点 F1，作出图形如下： 对于 A，由椭圆的定义可知，|AB|+|AF2|+|BF2|＝4a， ∴|AB|＝4a﹣m，故 A正确； 对于 B，联立方程{ 𝑦 = 𝑘(𝑥 + 𝑐) 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏 2 = 1 ，消去 y得：( 1 𝑎2 + 𝑘 2 𝑏 2)𝑥 2 + 2𝑐𝑘 2 𝑏 2 𝑥 + 𝑘 2 𝑐2 𝑏 2 − 1 = 0， 由韦达定理可得，x1+x2= − 2𝑐𝑘 2 𝑎2 𝑏 2 +𝑎2𝑘 2，y1+y2＝k（x1+x2）+2kc= 2𝑘𝑐𝑏 2 𝑏 2 +𝑎2𝑘 2， ∴AB的中点弦的斜率为 kOM= 𝑦1+𝑦2 𝑥1+𝑥2 = − 𝑏 2 𝑎2𝑘 ， 第11页（共19页） ∴kOM•k= − 𝑏 2 𝑎2 ，故 B正确； 对于 C，显然，当 AB⊥x轴时，|AB|最短，此时 (−𝑐)2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 =1， ∴y= ± 𝑏 2 𝑎 ， ∴|AB|= 2𝑏 2 𝑎 ， 但是由于直线 AB的斜率 k是存在的，直线 AB不会垂直于 x轴，所以|AB|＞ 2𝑏 2 𝑎 ，故 C错误； 对于 D，设 A（x0，y0），则有𝐴𝐹1 → =（c﹣x0，﹣y0）， ∴𝐴𝐹1 → ⋅ 𝐴𝐹2 → = −𝑐2 + 𝑥0 2 + 𝑦0 2 =3c2， ∴𝑥0 2 + 𝑦0 2 =4c2， 即点 A在以原点为圆心，2c为半径的圆上， 故原题等价于{ 𝑥2 + 𝑦2 = 4𝑐2 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏 2 = 1 有解，解得𝑥2 = 1−4𝑐 2 𝑏 2 1 𝑎2 − 1 𝑏 2 ， 则必有{ 𝑥2 ≥ 0 𝑥2 ≤ 𝑎2 ，即{ 4𝑐2 ≥ 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 4𝑐2 ≤ 𝑎2 ， 解得 √5 5 ≤ 𝑒 ≤ 1 2 ，故 D错误， 故选：B． 三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分． 13．过点（1，2）且与圆 x2+y2＝1 相切的直线方程为 3x﹣4y+5＝0 或 x＝1 ． 解：设切线方程为 y﹣2＝k（x﹣1），即 kx﹣y+2﹣k＝0． 由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即 |2−𝑘| √𝑘2+1 =1，解得 k= 3 4 ， 其方程为 3x﹣4y+5＝0． 又，当斜率不存在时，切线方程为 x＝1． 故答案为：3x﹣4y+5＝0 或 x＝1． 14．如图，在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，∠BAD＝90°，AB＝3，AD＝ 2，AA1＝3，M是底面 ABCD的中心，设𝐴𝐵 → = 𝑎 → ，𝐴𝐷 → = 𝑏 → ，𝐴𝐴1 → = 𝑐 → ，则𝐷1𝑀 → = 1 2 𝑎 → − 1 2 𝑏 → − 𝑐 → （用 𝑎 → ，𝑏 → ，𝑐 → 表示），D1M的长度为 √43 2 ． 第12页（共19页） 解：如图，取 ABCD的中心 M，连接 D1M，AM， 则𝐷1𝑀 → = 𝐴𝑀 → − 𝐴𝐷1 → = 1 2 (𝐴𝐵 → + 𝐴𝐷 → ) − (𝐴𝐴1 → + 𝐴𝐷 → ) = 1 2 (𝑎 → + 𝑏 → ) − (𝑐 → + 𝑏 → ) = 1 2 𝑎 → − 1 2 𝑏 → − 𝑐 → ， ∴𝐷1𝑀 → 2 =（ 1 2 𝑎 → − 1 2 𝑏 → − 𝑐 → ）2= 1 4 × 32 + 1 4 × 22 + 32 − 1 2 𝑎 → ⋅ 𝑏 → − 𝑎 → ⋅ 𝑐 → + 𝑏 → ⋅ 𝑐 → = 9 4 + 1 + 9 − 1 2 × 3 × 2 × 0 − 3 × 3 × 1 2 + 2 × 3 × 1 2 = 43 4 ． 则|𝐷1𝑀 → |= √43 2 ， 故答案为： 1 2 𝑎 → − 1 2 𝑏 → − 𝑐 → ； √43 2 ． 15．已知抛物线 C：x2＝8y的焦点为 F，准线为 l，过 F的直线交 C于 P、Q两点，交 l于点 M，且𝑃𝐹 → = 2𝐹𝑄 → ， 则|MQ|＝ √17 ． 解：如图，过点 P做 PD垂直于准线 l，由抛物线定义得|PF|＝|PD|，焦点坐标（0，2），准线方程 y＝﹣ 2． 因为𝑃𝐹 → = 2𝐹𝑄 → ，设 P（x1，y1），Q（x2，y2），所以 x1＝﹣2x2， 则直线 PQ方程为 y＝kx+2， 联立{ 𝑥2 = 8𝑦 𝑦 = 𝑘𝑥 + 2 ，消去 y得 x2﹣8kx﹣16＝0，解得 x1＝4√2，x2＝﹣2√2，P（4√2，4），Q（﹣2√2，1）， 直线的斜率为 k= √2 4 ，直线方程：y= √2 4 𝑥 + 2， 第13页（共19页） 所以{ 𝑦 = −2 𝑦 = √2 4 𝑥 + 2 ，解得 M（﹣4√2，﹣2）， |MQ|= √(−2√2 + 4√2)2 + (1 + 2)2 = √17． 故答案为：√17． 16．已知曲线𝐶： 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏 2 = 1(𝑎＞𝑏＞0)的离心率是 1 2 ，P为其上顶点，F1，F2 分别为左、右焦点，过 F1 且 垂直于 PF2 的直线与 C交于 M，N两点，|MN|＝12，则△PMN的周长是 26 ． 解：∵ 𝑐 𝑎 = 1 2 ，∴a＝2c，∴b= √𝑎2 − 𝑐2 = √3c， 又|PF1|＝|PF2|＝a，|F1F2|＝2c＝a， ∴△PF1F2 为正三角形， ∴MN直线垂直平分 PF2， ∴|NP|＝|NF2|，|MP|＝|MF2|， ∴△PMN的周长为|NP|+|MP|+|MN|＝|NF2|+|MF2|+|MN|＝4a， ∵△PF1F2 为正三角形，MN直线垂直平分 PF2， ∴易得直线MN的倾斜角为 30°，∴直线MN的斜率为 1 √3 ， ∴设直线MN方程为 x= √3y﹣c， ∵a＝2c，b= √3c， ∴双曲线方程可化为 𝑥2 4𝑐2 + 𝑦2 3𝑐2 = 1，即 3x2+4y2﹣12c2＝0， 联立{ 𝑥 = √3𝑦 − 𝑐 3𝑥2 + 4𝑦2 − 12𝑐2 = 0 ， 可得13𝑦2 − 6√3𝑐𝑦 − 9𝑐2 = 0，设 M（x1，y1），N（x2，y2）， 则|MN|= √1 + 3|𝑦1 − 𝑦2| = 2 × √(6√3𝑐) 2 −4×13×(−9𝑐2) 13 =12， ∴16c2＝169， ∴c= 13 4 ，∴a＝2c= 13 2 ， ∴△PMN的周长为 4a＝26， 第14页（共19页） 故答案为：26． 四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10 分）在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c．已知3𝑎 = √5𝑐，𝑐𝑜𝑠𝐶 = 4 5 ． （1）求 sinA的值； （2）若 b＝4，求△ABC的面积． 解：（1）在△ABC中，由𝑐𝑜𝑠𝐶 = 4 5 ＞0．所以𝐶 ∈ (0， 𝜋 2 )，且𝑠𝑖𝑛𝐶 = √1 − 𝑐𝑜𝑠2𝐶 = 3 5 ． ∵3𝑎 = √5𝑐，∴ 𝑎 𝑐 = √5 3 ， ∴由正弦定理 𝑎 𝑠𝑖𝑛𝐴 = 𝑐 𝑠𝑖𝑛𝐶 ，可得𝑠𝑖𝑛𝐴 = 𝑎𝑠𝑖𝑛𝐶 𝑐 = 𝑎 𝑐 𝑠𝑖𝑛𝐶 = √5 3 × 3 5 = √5 5 ． （2）由3𝑎 = √5，可得𝑎 = √5 3 𝑐＜𝑐， ∴A＜C，故𝐴 ∈ (0， 𝜋 2 )， 又∵𝑠𝑖𝑛𝐴 = √5 5 ，∴𝑐𝑜𝑠𝐴 = 2√5 5 ， ∴𝑠𝑖𝑛𝐵 = 𝑠𝑖𝑛[𝜋 − (𝐴 + 𝐶)] = 𝑠𝑖𝑛(𝐴 + 𝐶) = 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐶 + 𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛𝐶 = 2√5 5 ， ∴由正弦定理可得： 𝑎 𝑠𝑖𝑛𝐴 = 𝑏 𝑠𝑖𝑛𝐵 = 4 2√5 5 = 2√5， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐶 = 1 2 𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛𝐶 = 1 2 × 2 × 4 × 3 5 = 12 5 ． 18．（12 分）如图，在四面体 ABCD中，AD⊥平面 BCD，M是 AD的中点，P是 BM的中点，点 Q在线段 AC上，且 AQ＝3QC． （1）求证：PQ∥平面 BCD； （2）若 DA＝DB＝DC＝4，∠BDC＝90°，求 AC与平面 BQM所成角的余弦值． 解：（1）证明：过 P作 PS∥MD，交 BD于 S，过 Q作 QR∥MD，交 CD于 R，连接 RS， 第15页（共19页） ∵PS∥MD，P是 BM的中点， ∴S是 BD的中点，且 PS= 1 2 MD， ∵QR∥MD，AQ＝3QC，M是 AD的中点， ∴QR= 1 4 𝐴𝐷 = 1 2 𝑀𝐷， ∴QR∥PS，且 QR＝PS，∴四边形 PQRS为平行四边形，∴PQ∥SR， ∵PQ⊄平面 BCD，SR⊂平面 BCD， ∴PQ∥平面 BCD． （2）以 D为坐标原点，DB，DC，DA所在直线分别为 x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则 A（0，0，4），B（4，0，0），C（0，4，0），P（2，0，1），Q（0，3，1）， 则𝐵𝑀 → =（﹣4，0，2），𝑀𝑄 → =（0，3，﹣1），𝐴𝐶 → =（0，4，﹣4）， 设平面 BQM的一个法向量为𝑛 → =（x，y，z）， 则{ 𝑛 → ⋅ 𝐵𝑀 → = −4𝑥 + 2𝑧 = 0 𝑛 → ⋅ 𝑀𝑄 → = 3𝑦 − 𝑧 = 0 ，取 y＝2，得𝑛 → =（3，2，6）， 设 AC与平面 BQM所成角为 θ， 则 sinθ= |𝐴𝐶 → ⋅𝑛 → | |𝐴𝐶 → |⋅|𝑛 → | = 2√7 7 ， 则 AC与平面 BQM所成角的余弦值为：cosθ= √1 − ( 2√7 7 )2 = √41 7 ． 19．（12 分）在平面直角坐标系 xOy中： ①圆 C过 A（1，0）和 B（﹣1，2），且圆心在直线 l：2x+y+2＝0 上； ②圆 C过𝐸(0，√3)，𝐹(1，0)，𝐺(−1，− 2)三点． （1）在①②两个条件中，任选一个条件求圆 C的标准方程； （2）在（1）的条件下，过直线 x＝3 上的点 P（3，﹣4）分别作圆 C的两条切线 PQ，PR（Q，R为切 第16页（共19页） 点），求直线 QR的方程，并求弦长|QR|． 解：（1）选①：∵A（1，0）和 B（﹣1，2），∴AB的垂直平分线方程为 y＝x+1， 由{ 𝑦 = 𝑥 + 1 2𝑥 + 𝑦 + 2 = 0 ，解得{ 𝑥 = −1 𝑦 = 0 ，∴圆心 C（﹣1，0）， ∴r＝|AC|＝2， ∴圆 C的标准方程为（x+1）2+y2＝4； 选②：设圆 C的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F＝0， 则{ 3 + √3𝐸 + 𝐹 = 0 1 + 𝐷 + 𝐹 = 0 1 + 4 − 𝐷 − 2𝐸 + 𝐹 = 0 ，解得{ 𝐷 = 2 𝐸 = 0 𝐹 = −3 ， ∴圆 C的方程为 x2+y2+2x﹣3＝0，即圆 C的标准方程为（x+1）2+y2＝4； （2）由（1）可知圆心 C（﹣1，0），半径为 r＝2， 由已知可得 QR在以 CP为直径的圆上， CP为直径的圆的方程为（x+1）（x﹣3）+y（y+4）＝0， ∴x2+y2﹣2x+4y﹣3＝0， ∴直线 QR的方程 4x﹣4y＝0，即 x﹣y＝0， 圆心 C到直线 QR的距离为 d= |−1−0| √2 = √2 2 ， ∴|QR|＝2√4 − 1 2 = √14． 20．（12 分）已知圆⊙：x2+y2＝4 上的动点M在 x轴上的投影为 N，点 C满足𝐶𝑁 → = √2 2 𝑀𝑁 → ． （1）求动点 C的轨迹方程 C； （2）过点 P（1，0）的直线 l与 C交于 A，B两个不同点，求△OAB面积的最大值． 解：（1）设 C（x，y），动点 M（m，n），由𝐶𝑁 → = √2 2 𝑀𝑁 → ，可得 m＝x，n= √2y， ∵M（m，n）在圆⊙：x2+y2＝4 上，∴m2+n2＝4， ∴x2+2y2＝4，∴动点 C的轨迹方程为 𝑥2 4 + 𝑦2 2 =1； （2）由题意，设直线 l的方程为 1，A（x1，y1），B（x2，y2）， 由{ 𝑥 = 𝑚𝑦 + 1 𝑥2 + 2𝑦2 = 4 ，消去 x得，即（m2+2）y2+2my﹣3＝0， 所以 y1+y2= − 2𝑚 2+𝑚2 ，y1y2= − 3 2+𝑚2 ， 所 以 |AB| = √1 +𝑚2 × √(𝑦1 + 𝑦2) 2 − 4𝑦1𝑦2 = √1 +𝑚 2 ×√(− 2𝑚 2+𝑚2 )2 − 4 × (− 3 2+𝑚2 ) = √1 +𝑚2 × 2√4𝑚2+6 2+𝑚2 ， 第17页（共19页） 而 O到 AB的距离 d= |1| √1+𝑚2 ， 所以 S△AOB= 1 2 |AB|•d= 1 2 √1 +𝑚2 × 2√4𝑚2+6 2+𝑚2 × |1| √1+𝑚2 = √4𝑚2+6 2+𝑚2 ， 设√4𝑚2 + 6 =t≥ √6，则 m2= 1 4 （t2﹣6）， 所以 S△AOB= 𝑡 2+14(𝑡 2−6) = 1 1 4𝑡+ 1 2𝑡 ，∵ 𝑡 4 + 1 2𝑡 在[√6，+∞）上单调递增， 所以△AOB面积的最大值为 √6 2 ，此时 m＝0． 21．（12 分）如图，在四棱锥 S﹣ABCD中，满足 AB⊥AD，AB⊥BC，SA⊥底面 ABCD，AD＝1，AB= √3， BC＝3． （1）求证：平面 SBD⊥平面 SAC； （2）若平面 SCD与平面 SAB的夹角的余弦值为 √6 4 ，求 B到平面 SCD的距离． 解：（1）证明：连接 BD，AC，交于点 E， ∵在平面 ABCD内，AB⊥AD，AB⊥BC，∴AD∥BC， ∴△ADE∽△CBE， ∵AD＝1，BC＝3，∴AE= 1 3 𝐸𝐶，BE＝3ED， AB= √3，又 AB⊥AD，AB⊥BC，∴BD= √3 + 1 =2，AC= √3 + 9 = 2√3， ∴AE= 1 4 𝐴𝐶 = √3 2 ，BE= 3 4 𝐵𝐷 = 3 2 ， ∴𝐴𝐸2 + 𝐵𝐸2 = 3 4 + 9 4 =3＝AB2，∴AE⊥BE，∴BD⊥AC， 又 SA⊥平面 SBD，BD⊂平面 ABCD，∴SA⊥BD， SA∩AC＝A，∴BD⊥平面 SAC， BD⊂平面 SBD，∴平面 SBD⊥平面 SAC． （2）∵SA⊥平面 ABCD，AD，AB⊂平面 ABCD，∴SA⊥AB，SA⊥AD， 又 AB⊥AD，∴以 A 为坐标原点，AD，AB，AS 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标 系， 第18页（共19页） 设 AS＝t，（t＞0），则 S（0，0，t），A（0，0，0），B（0，√3，0），D（1，0，0），C（3，√3，0）， ∴𝑆𝐷 → =（1，0，﹣t），𝐷𝐶 → =（2，√3，0）， 设平面 SDC的法向量为𝑚 → =（x，y，z）， 则{ 𝑚 → ⋅ 𝑆𝐷 → = 𝑥 − 𝑡𝑧 = 0 𝑚 → ⋅ 𝐷𝐶 → = 2𝑥 + √3𝑦 = 0 ，取 z＝1，得 x＝t，y= − 2𝑡 √3 ， ∴𝑚 → =（t，− 2𝑡 √3 ，1）， 平面 SAB的法向量为𝑛 → =（1，0，0）， ∵平面 SCD与平面 SAB的夹角的余弦值为 √6 4 ，∴ |𝑡| 1×√𝑡2+ 4𝑡2 3 +1 = √6 4 ， 解得 t= √3， ∴SC= √𝑆𝐴2 + 𝐴𝐶2 = √3 + 12 = √15，DC= √3 + (3 − 1)2 = √7， SD= √𝑆𝐴2 + 𝐴𝐷2 = √3 + 1 = 2， ∴cos∠SDC= 𝑆𝐷2+𝐷𝐶 2 −𝑆𝐶 2 2𝑆𝐷⋅𝐷𝐶 = 4+7−15 2×2×√7 = − √7 7 ， ∵∠SDC∈（0，π），∴sin∠SDC= √42 7 ， ∴𝑆△𝑆𝐶𝐷 = 1 2 ⋅ 𝑆𝐷 ⋅ 𝐷𝐶 ⋅ 𝑠𝑖𝑛∠𝑆𝐷𝐶 = 1 2 × 2 × √7 × √42 7 = √6， 设 B到平面 SCD的距离为 h， 由 VB﹣SCD＝VS﹣BCD，得 1 3 × √6ℎ = 1 3 × 1 2 × 3 × √3 × √3， 解得 h= 3√6 4 ， ∴B到平面 SCD的距离为 3√6 4 ． 22．（12 分）在平面直角坐标系 xOy中，曲线 C上的任意一点到点 F（2，0）的距离比到直线 x+4＝0 的距 离小 2． （1）求曲线 C的方程； 第19页（共19页） （2）过点 F作斜率为 k1，k2 的两条直线分别交 C于M，N两点和 P，Q两点，其中𝑘1 + 𝑘2 = 1 2 ．设线 段 MN 和 PQ 的中点分别为 A，B，过点 F 作 FD⊥AB，垂足为 D．试问：是否存在定点 T，使得线段 TD的长度为定值．若存在，求出点 T的坐标及定值；若不存在，说明理由． 解：（1）∵曲线 C上的任意一点到点 F（2，0）的距离比到直线 x+4＝0 的距离小 2， ∴曲线 C上的任意一点到点 F（2，0）的距离与到直线 x+2＝0 的距离相等， 由抛物线的定义可知，曲线 C是以点 F（2，0）为焦点，以直线 x+2＝0 为准线的抛物线， 设抛物线方程为 y2＝2px（p＞0）， 则 𝑝 2 =2，∴p＝4， ∴曲线 C的方程为 y2＝8x； （2）由题意可知，k1≠0，k2≠0，k1≠k2，直线MN的方程为 y＝k1（x﹣2）， 联立方程{ 𝑦 = 𝑘1(𝑥 − 2) 𝑦2 = 8𝑥 ，消去 y得，𝑘1 2𝑥2 − (4𝑘1 2 + 8)𝑥 + 4𝑘1 2 =0， 设 M（x1，y1），N（x2，y2）， ∴x1+x2＝4+ 8 𝑘1 2，y1+y2＝k1（x1﹣2）+k1（x2﹣2）＝k1（x1+x2）﹣4k1= 8 𝑘1 ， ∴A（2+ 4 𝑘1 2， 4 𝑘1 ），同理可得 B（2+ 4 𝑘2 2， 4 𝑘2 ）， ∴直线 AB的方程为 y= 𝑘1𝑘2 𝑘1+𝑘2 （x﹣2− 4 𝑘1 2）+ 4 𝑘1 = 𝑘1𝑘2 𝑘1+𝑘2 （x﹣2）+ 4 𝑘1+𝑘2 ， 又∵𝑘1 + 𝑘2 = 1 2 ， ∴直线 AB的方程为 y＝2k1k2（x﹣2）+8， ∴直线 AB过定点（2，8），设该点为 E（2，8）， 又∵FD⊥AB，∴点 D在以 EF为直径的圆上， ∵E（2，8），F（2，0）， ∴|EF|= √(2 − 2)2 + 82 =8，EF的中点坐标为（2，4）， ∴以 EF为直径的圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣4）2＝16， ∴存在定点 T（2，4），使得线段 TD的长度为定值．