2025年中考数学二轮专题复习-二次函数压轴题（相似三角形问题）

2025年中考数学二轮专题复习-二次函数压轴题（相似三角形问题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．如图，抛物线与轴相交于A、两点，与轴相交于点，点在点的左侧，，，是抛物线对称轴上的点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，若点是直线下方抛物线上的动点，求四边形的面积最大值； (3)当点关于直线的对称点落在抛物线上时，求点的横坐标； (4)如图2，点是抛物线的顶点，直线交轴于点，若点是线段上的一个动点，是否存在以点，，为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图1，若关于x的二次函数（a，b，c为常数且）与x轴交于两个不同的点，，与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，O是坐标原点． (1)若 ①求此二次函数图象的顶点M的坐标； ②定义：若点G在某一个函数的图象上，且点G的横纵坐标相等，则称点G为这个函数的“好点”．求证：二次函数有两个不同的“好点”． (2)如图2，连接，直线与x轴交于点P，满足，且的面积为，求二次函数的表达式． 3．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交轴于点，．    (1)如图1，求该抛物线的解析式； (2)如图2，点是第四象限抛物线上的一动点，连接，，，设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数解析式； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交轴于点，过作，过作轴交于点，点在的延长线上，连接，过点作交于点，连接，点为的中点，连接，，若，且点的横坐标为，求点的坐标． 4．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过，．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作，垂足为D，轴，交AB于点E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和PDE周长的最大值； (3)把抛物线平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来． 5．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和两点，与y轴交于，对称轴为直线，直线经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E． (1)求抛物线的解析式和m的值； (2)在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由； (3)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点，，与线段AE交于点，设，，均为正数，，请直接写出t的取值范围 6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． ①为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于点A，B，其中点A（﹣1，0），交y轴于点C（0，2），对称轴交x轴于点M（，0）． (1)求抛物线的解析式； (2)作点C关于点M的对称点D，顺次连接A，C，B，D，判断四边形ACBD的形状，并说明理由； (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，抛物线与轴交于和点，与轴交于点，顶点为，连接，，与抛物线的对称轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是第一象限内抛物线上的动点，连接，，设四边形和的面积分别为和，记，求最大值点的坐标及的最大值； (3)点是对称轴右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B两点，与y轴交于点C（0，3）． (1)求该抛物线的表达式； (2)过点B作x轴的垂线，在该垂线上取一点P，使得△PBC与△ABC相似，请求出点P的坐标． 10．如图，已知抛物线：与x轴交于点A，（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上的任一点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D为线段的中点，则能否是等边三角形？请说明理由； (3)过点P作x轴的垂线与线段交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 11．已知如图，抛物线与轴相交于两点，与轴的正半轴相交于点，过、、三点的与轴相切于点．为轴负半轴上的一个动点，直线交于点，交抛物线于点． (1)请求出点坐标和的半径； (2)请确定抛物线的解析式； (3)若：：，求点坐标； (4)若与以、、为顶点的三角形相似，求的值．（先画出符合题意的示意图再求解） 12．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接．    (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)设线段上的一个动点P的横坐标为t，过点P作直线轴，交抛物线于点N．是否存在点P，使得以三点为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的横坐标t；若不存在，请说明理由． 13．已知抛物线：与轴交于点，过点与点的直线与交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)如图，若点为直线下方的上一点，求点到直线的距离的最大值； (3)如图，将直线绕点顺时针旋转后恰好经过的顶点，沿射线的方向平移抛物线得到抛物线，的顶点为，两抛物线相交于点设交点的横坐标为若，求的值． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C．    (1)求该抛物线的表达式和对称轴； (2)连接，D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），如果的面积与的面积相等，求点D的坐标； (3)设点，点E在抛物线的对称轴上（点E在顶点上方），当，且时，求点E的坐标． 15．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与直线交于点，两点，点是直线下方抛物线上不与，重合的一动点，过点作的平行线交轴于点，设点的横坐标为． (1)请直接写出，，的值； (2)如图，若抛物线的对称轴为直线，点在直线的右侧，与直线交于点，当为的中点时，求的值； (3)线段的长记为． ①求关于的函数解析式； ②若，结合关于的函数图象，直接写出的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年中考数学二轮专题复习-二次函数压轴题（相似三角形问题）》参考答案 1．(1) (2) (3)或 (4)或． 2．(1)①（1，4）； (2) 3．(1) (2) (3) 4．(1) (2)点P的坐标为（2，﹣4），△PDE周长取得最大值 (3)点的坐标为或或． 5．(1)； (2)存在，或 (3) 6．(1)， (2)①当时，有最大值为；②当P的坐标为或时，与相似 7．(1)yx2x＋2 (2)矩形， (3)存在，（，）或（，）或（，5）或（，﹣5） 8．(1) (2)，最大值为56 (3)存在，，， 9．(1)y=x2-4x+3； (2)点P的坐标为（3，2）或（3，9）． 10．(1) (2)不能， (3)(1,4)或者() 11．(1)点坐标是，的半径长为 (2) (3) (4)，或 12．(1)； (2)存在，点P的横坐标或 13．(1)y=x+2 (2) (3) 14．(1)，对称轴为直线 (2) (3) 15．(1)，，， (2) (3)①；②或或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$