2025年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数压轴题（线段周长问题）

2025年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数压轴题（线段周长问题） 1．综合与探究： 如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，点P为线段BC上一动点，过点P作BC的垂线交抛物线于点Q，请解答下列问题： （1）求抛物线与x轴的交点A和B的坐标及顶点坐标 （2）求线段PQ长度的最大值，并直接写出及此时点P的坐标． 2．如图，直线y＝x－1与抛物线y＝ax＋x＋c交于点A、B两点，点A在y轴上，点B的横坐标为6，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C． （1）求此抛物线的表达式； （2）若直线PQ∥y轴， 与抛物线、直线AB、x轴分别交于点P、Q、D，且点D位于线段OC之间，求线段PQ长度的最大值； （3）连接BP、CQ，当四边形PQCB是平行四边形时，求点D的坐标． 3．如图，抛物线与轴的交点分别是，与y轴的交点为C，直线是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P是直线上一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标； (3)若点E是抛物线上且位于直线BC上方的一个动点，求的面积最大时点E的坐标． 4．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且经过点，点是抛物线对称轴上的动点，是否存在点，使得的值最小？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 5．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣2，0)和点B(8，0)，与y轴交于点C(0，﹣8)，连接AC，D是抛物线对称轴上一动点，连接AD，CD，得到△ACD． （1）求该抛物线的函数解析式． （2）△ACD周长能否取得最小值，如果能，请求出D点的坐标；如果不能，请说明理由． （3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点E，使得△ACE与△ACD面积相等，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x=﹣1，点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与A、B重合）．若△ABC的周长为m，四边形AOBC的周长为 （用含m的式子表示）． 7．(2016·大连中考)如图，抛物线y＝x2－3x＋与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E. (1)求直线BC的解析式； (2)当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．    8．如图，抛物线与轴相交于点，，且过点． (1)求的值和该抛物线顶点的坐标； (2)若抛物线平移后，顶点为原点，应怎么平移？并写出平移后抛物线的解析式． 9．抛物线与轴交于A，B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D． (1)求m的值及顶点D的坐标； (2)如图1，若点E是抛物线上对称轴右侧一点，设点E到直线AC的距离为，到抛物线的对称轴的距离为,当时，请求出点E的坐标． (3)如图2，直线交抛物线于点M，N，连接AM，AN分别交y轴的正半轴和负半轴于点P，Q，试探究线段OP，OQ之间的数量关系． 10．如图，已知抛物线y＝x2﹣5x+4与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C. (1)求A、B、C三点的坐标； (2)如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状，并说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ.在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由. 11．如图，已知二次函数y＝－x2＋4x－6． （1）直接写出抛物线与坐标轴的交点坐标； （2）设二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积； （3）若抛物线的顶点为D，在y轴上是否存在一点P，使得△PAD的周长最小？若存在，求出△PAD的周长；若不存在，请说明理由． 12．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为，已知P点为抛物线上一动点（不与A、D重合）． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，求的最大值； (3)设M为直线l上的动点，以为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形，求所有符合条件的M点坐标． 13．如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，BC．已知△ABC的面积为2． （1）求抛物线的解析式； （2）平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点．过P，Q向x轴作垂线，垂足分别为G，H．若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长； （3）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N （2，0）．点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点F．在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 14．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D． （1）填空：抛物线的解析式为　 　； （2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，设点P的横坐标为t，过点P作y轴的平行线交AC与M，当t为何值时，线段PM的长最大，并求其最大值； （3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点E的坐标；若不能，请说明理由． 15．如图，二次函数y＝﹣x2+x+6与x轴相交A，B两点，与y轴相交于点C． （1）若点E为线段BC上一动点，过点E作x轴的垂线与抛物线交于点P，垂足为F，当PE﹣2EF取得最大值时，在抛物线y的对称轴上找点M，在x轴上找点N，使得PM+MN+NB的和最小，若存在，求出该最小值及点N的坐标；若不存在，请说明理由． （2）在（1）的条件下，若点P′为点P关于x轴的对称点，将抛物线y沿射线BP′的方向平移得到新的抛物线y′，当y′经过点A时停止平移，将△BCN沿CN边翻折，点B的对应点为点B′，B′C与x轴交于点K，若抛物线y′的对称轴上有点R，在平画内有点S，是否存在点R、S使得以K、B′、R、S为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点S的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数压轴题（线段周长问题）》参考答案 1．（1）点A的坐标为（－2，0），点B的坐标为（4，0），顶点坐标为（1，）．（2）PQ的最大值=，此时，点P的坐标为（1，3） 2．（1）；（2）；（3）D或 3．(1) (2)P的坐标 (3) 4．存在， 5．（1）抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣8；（2）△ACD周长能取得最小值，点D(3，﹣5)；（3）存在，点E(﹣1，﹣4+11)或(﹣﹣1，4+11) 6．m+2． 7．(1)   (2) 解：(1)∵抛物线y＝x2－3x＋与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，∴令y＝0，可得x＝或x＝，∴A点坐标为，B点坐标为；令x＝0，则y＝，∴C点坐标为.设直线BC的解析式为y＝kx＋b，则有解得∴直线BC的解析式为y＝－x＋； (2)设点D的横坐标为m，则坐标为，∴E点的坐标为.设DE的长度为d.∵点D是直线BC下方抛物线上一点，则d＝－m＋－＝－m2＋m.∵a＝－1＜0，∴当m＝＝时，d有最大值，d最大＝＝，∴m2－3m＋＝－3×＋＝－，∴点D的坐标为. 8．(1)，点的坐标为 (2)抛物线向左平移个单位，向上平移个单位，此时， 9．(1)， (2) (3) 10．(1)点A（1，0），点B（4，0），点C（0，4） (2)平行四边形 (3)存在；F（0，1）或（0，﹣1）或（0，） 11．（1）、、；（2）6；（3）存在， 12．(1) (2)18 (3)， 13．（1）；（2）或；（3）是，3NE+NF为定值4 14．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）当t=时，PM有最大值，最大值为；（3）（0，1）或（，）或（，）． 15．（1）点H（9，﹣3），PM+MN+NB的和最小值为9；（2）（，﹣）或（﹣，）； 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$