2024-2025学年人教版数学九年级上册 强化第八讲 期中复习一

期中复习（一） 【例1】（1）规定表示取a和b中较大的数，举例如下：，，；若，则________ （2）Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是关于x方程x2﹣（k+2）x+2k＝0的两个根，则△ABC的周长是 　 　． 【练1.1】对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝　 　． 【练1.2】若α，β是一元二次方程x2+3x﹣1＝0（α≠β）的两个根，那么α2+2a﹣β的值是 　 　． 【例2】如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面宽增加时，则水面应下降的高度是（　　） A. B. C. D. 【练2】如图所示是一座抛物线拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，则当水面上升3m时，水面的宽度是 　 　米． 【例3.1】已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若△ABC的一条边BC的长为，另两边AB，AC的长分别为关于x的一元二次方程x2﹣4x+k+1＝0的两个实数根．当k＝2时，请判断△ABC的形状，并说明理由； （3）设方程两实数根分别为x1、x2，且＝x1x2﹣4，求实数k的值． 【例3.2】已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，直接写出它的根． 【练3.1】已知关于x的方程mx2+（3﹣m）x﹣3＝0（m为实数，m≠0）． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值． 【练3.2】已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+k﹣3＝0． （1）求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）当矩形ABCD的对角线长为，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长． 【例4】如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）．有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【练4.1】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①2a+b＝0；②3a+c＞0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④若A（x1，0），B（x2，0），则x1+x2＝2，其中正确的有（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【练4.2】已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，有下列结论：①4a+2b+c＜0；②a+c＞0；③2a+b+c＞0；④当﹣1＜x＜3时，y随x的增大而增大．其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【例5】某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表： 售价x（元/件） 60 70 80 周销售量y（件） 100 80 60 周销售利润w（元） 2000 2400 2400 （1）求y关于x的函数解析式； （2）直接写出该商品的进价，并求出该商品周销售利润的最大值； （3）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过70元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是2000元，求m的值． 【练5】某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖5件．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售件数为y，每个月的销售利润为W元． （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）若在销售过程中每一件商品有a（a＞4）元的其他费用，商家发现当售价每件不高于67元时，一个月的销售最大利润为2530，试求出a的值． 【例6】某商品的进价为每件30元，当售价为每件40元时，每个月可卖230件．如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件．规定每件售价不能高于55元，设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ （3）若在销售过程中，每件商品都有a（a＞2）元的其它费用，商家发现，当售价每件不低于49元时，每月的销售利润随x的增大而减小．求a的取值范围． 【练6】超市销售一种水果，进价为20元/件，经过市场调查发现，该水果的日销售量y（件）与当天的销售单价x（元/件）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如表： 销售单件（元/件） 20 30 40 日销售量（件） 400 300 200 （1）求y与x的关系式； （2）求该水果每天获得的利润w（元）的最大值； （3）春节前夕，批发商调整进货价格，该水果的进价变为m元（m为整数），该超市每天的销量与当天的销售单价的关系不变，该超市为了不亏本，至少需按25元/件销售，而物价部门规定，销售单价不超过41元/件，在实际销售过程中，发现该水果每天获得的利润随x的增大而增大，求m的最小值． 【例7】已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）． （1）求b，c的值； （2）P为第一象限抛物线上一点，△PBC的面积与△ABC的面积相等，求直线AP的解析式； 【练7】如图①，抛物线y＝ax2+x+c，与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于C点，顶点为E，其中，点A坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝2． （1）求此抛物线解析式； （2）在第四象限的抛物线上找一点F，使S△FBC＝S△ACB，求点F的坐标； 【课后作业】 1. 如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象关于直线x＝﹣1对称，则下列五个结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a﹣3b+c＜0；④a（m2﹣1）+b（m+1）≤0（m为任意实数）；⑤3a+c＜0．其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 2. 已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若x1，x2满足x12+x22＝16+x1x2，求实数k的值． 3. 第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，大熊猫是成都最具特色的对外传播标识物和“品牌图腾”，是天府之国享有极高知名度的个性名片．此次成都大运会吉祥物“蓉宝”便是以熊猫基地真实的大熊猫“芝麻”为原型创作的．某商店销售”蓉宝”的公仔毛绒玩具，进价为40元/件，经市场调查发现：该商品的月销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系如图所示． （1）求y关于x的函数表达式； （2）由于某种原因，该商品进价提高了a元/件（a＞0），物价部门规定该玩具售价不得超过50元/件，该商品在今后的销售中，月销售量与销售价仍然满足（1）中的函数关系，若该商品的月销售最大利润w是2100元，求a的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$