4.3 直线与平面的位置关系 课件-2024-2025学年高二上学期高教版(2021)中职数学拓展模块一（上册）

第四章 立体几何 4.3 直线与平面的位置关系 中职高教（2021）数学拓展模块上册（修订版） 01 新课导入 03 巩固练习 02 新课讲解 04 拓展延伸 目录 新课导入 第一部分 PART 01 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here 如图所示,将一支铅笔平放到桌面上,然后水平拿起来,再坚直放置在桌面上.在此过程中,这支铅笔(看作一条直线)与桌面分别有几个公共点？ 新课导入 容易看出,当笔平放在桌面上时,它与桌面有无数多个公共点；将笔水平拿起,它与桌面没有公共点; 当笔竖直放置时,它与桌面只有一个公共点.事实上,根据公理2,当一条直线与一个平面有两个公共点时,这条直线上的所有点都在这个平面内.除此之外,直线与平面或者只有1个公共点,或者没有公共点.因此,直线与平面有三种 位置关系. 新课导入 1.直线在平面内,此时直线与平面有无数个公共点. 如图(1)所示,当直线a在平面α内时,记作a ⊆ α. 新课导入 2. 直线与平面相交,此时直线与平面只有一个公共点. 如图(2)所示,当直线b在平面α相交于点B时,记作b∩α=B . 新课导入 3. 直线与平面平行,此时直线与平面没有公共点. 如图(3)所示,当直线c在平面α平行时,记作c∥α . 画图时,把直线画在表示平面的平行四边形外,并与平行四边形的一条边平行 . 新课导入 直线l与平面α相交或平行,称直线 l 在平面α外,记作l与⊈α. 新课导入 新课讲解 第二部分 PART 02 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here 如图所示,一本打开的书的封面右边沿所在直线m已经不在书内页所在平面α内,那么,m与α是相交还是平行呢？ 观察发现,书脊所在直线n是封面所在平面与书内页所在平面的交线,且m∥n. 能否通过m∥n来判断直线m与平面α之间的位置关系呢？ 新课讲解 直线与平面平行 直线与平面平行的判定定理  如果平面外的一条直线与这个平面内的一条直线平行,那么这条平面外直线与这个平面平行. 一般情形为,m⊈α,n⊆α,且m∥n,如图(1)所示.  假设直线m与平面α相交,记交点为点P,如图(2)所示.  由m∥n知P∉n.根据异面直线判定定理,m与n是异面直线,这与m∥n矛盾.故直线 m 与平面α不相交,从而m∥α. 于是有下面的结论： 新课讲解 例1 如图所示,在棱柱ABCD-A1B1C1D1中： （1）与平面AC平行的棱所在直线有哪些？ （2）判断 AA1与平面DBB1D1的位置关系.  解 （1）因为棱柱各侧面均为平行四边形, 所以A1B1∥AB.  又因为A1B1⊆平面AC,AB ⊆平面AC,所以  A1B1 ∥平面AC ；同理可知,直线B1C1、C1D1、A1D1均与平面AC平行.  因此,与平面AC平行的棱所在直线有A1B1、B1C1、C1D1、A1D1.  （2）因为  AA1∥BB1,且AA1⊈平面 DBB1D1,BB1⊆平面DBB1D1,所以AA1//平面DBB1D. 例题讲解 例2 在空间四边形ABCD 中,点E、F分别是AB、AD 的中点,如图所示,求证:EF//平面BCD.   证明 连接E、F.因为E、F分别是 AB、AD 的中点,所以EF//BD.  又因为E⊈平面BCD,BD⊆平面BCD,所以BF//平 面 BCD. 例题讲解 既然直线与直线的平行可以用来判定直线与平面平行,那么能否利用直线与平面的平行来判定直线与直线平行呢？ 新课讲解 如图(1)所示, m∥α, m⊆β,α∩β=n.那么, m与n是什么位置关系？ 新课讲解   直线与平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行, 那么经过这条直线的任一平面和这个平面的交线与这条直线平行. 显然,m与n共面于平面B内,则n与n要么相交,要么平行.若m与n相交，且交点为P,如图(2)所示,则P也是直线m与平面α的交点,这与条件m//α相矛盾.所以m//n.于是,有下面的结论： 新课讲解 例3 已知n //m,m//α,n⊈ α ,求证：n //α. 证明  过直线n 作平面β交平面α于直线l, 如图所示. 因为m//α,根据直线与平面平行的性质定理,可知m//l .又 m //n,故n//l. 根据直线与平面平行的判定定理,由n⊈l, l⊆α, 可知n //α. 例题讲解 1. 判断下列命题的真假,并说明理由. （1）如果m//n,n⊆α,那么m//α;  （2）如果m//n,m⊈α,那么m//α;  （3）如果m//α,n⊆α,那么m//n; （4）如果m//α,m⊆β, α∩β=n,那么m//n.  课堂练习 2. 填空题. (1) 如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与这个平面有 个公共点； (2) 如果一条直线与一个平面有两个公共点,那么它们的位置关系是 ,此时直线与平面面共有 个公共点：  (3)如果一条直线与一个平面相交,那么它们有 个公共点； (4)如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与平面内的 条直线平行. 课堂练习 3. 如图所示,四面体ABCD中,点E、F分别是 AB、AD 上的点,且 求证：EF∥平面ECD. 课堂练习 4. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1.求证： (1) CD∥平面A1C1； (2) A1C1∥平面AC. 课堂练习 5. 某中职学校机械加工技术专业学生在加工长方体 ABCD-A1B1C1D1形状的零件时,如图所示,需要沿着 由上底面A1C1上的点E与棱AD确定的平面将零件切开.切削前需在长方体相应的面上画出轮廓线,试问该怎样画这个轮廓线？经过点E所画的直线与底面AC 是什么位置关系？ 课堂练习 某型号无人机如图所示,其每根螺旋桨(如BC)与旋转轴 AB 均垂直,垂足是B.设螺旋桨旋转时构成的平面为α,显然,无人机的每根螺旋桨都在平面α内.试问,平面α与旋轴 AB 之间有怎样的位置关系？ 新课讲解 直线与平面垂直 容易看出,平面α内经过点B的螺旋桨所在直线都与旋转轴 AB 垂直.对于平面α内不过点B的任意一条直线,它一定与平面α内过点B的某条直线平行.由异面直线所成角的定义可知,这条直线也与旋转轴AB 垂直.因此,平面α内的每一条直线都与AB 垂直. 据此,有如下定义：   如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面互相垂直.这条直线称为这个平面的垂线,这个平面称为这条直线的垂面,直线与平面的交点称为垂足.直线l与平面α垂直记作l ⊥α. 新课讲解 如图所示,若l⊥α,m⊆α,根据直线与平面垂直的定义可知l⊥m.这是利用“直线与平面垂直”推出“直线与直线垂直”的主要方法. 画竖直的直线与水 平平面垂直时,应 将直线画成与表示平面的平行四边形的横边垂直． 新课讲解 在日常生活和生产中,常常需要判断直线与平面的垂直关系.例如,国旗的旗杆与地面垂直、建筑的立柱与地面垂直等.但是,判断直线与平面内每一条直线都垂直是很难做到的. 经过观察研究,人们发现以下判定直线与平面垂直的方法：   直线与平面垂直的判定定理  如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线与这个平面垂直. 新课讲解   如图所示,若m、n是平面α内的两条相交直线,且直线l⊥m, l⊥n,则l⊥α. 新课讲解 例4  四个面都是正三角形的四面体称为正四面体.已知正四面体ABCD,如图所示.求证：BD⊥AC. 证明 设BD的中点为O,连接 AO 、CO.  因为正四面体 ABCD 的四个面都是正三角形，所以AO⊥BD,CO ⊥BD. 又AO∩CO=O,且AO、CO ⊆平面AOC,故BD⊥平面AOC. 根据直线与平面垂直的定义,由AC ⊆平面AOC,可知BD⊥AC. 例题讲解 例5  证明: 如果两条平行线中有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.  已知: m∥n,m⊥α,如图所示.  求证: n⊥α. 证明 在平面α内任取两条相交直线c和d ,因为 m⊥α,c⊆α, d ⊆ α,所以m⊥c,m⊥d. 又m∥n,故n⊥c,n⊥d, 根据直线与平面垂直的判定定理,由c与d相交,n⊥α. 例题讲解 例5是直线与平面垂直的另一个判定定理. 新课讲解 可以证明,例5中所述命题的逆命题也成立.如图所示若m⊥α, n⊥α,则m∥n.   直线与平面垂直的性质定理  如果两条直线都垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.  根据该定理可以证明：  在空间中经过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.  新课讲解 证明 例6 如图所示,已知一条直线l和平面α平行,过直线l上任意两点A、B分别引平面α的垂线 AA' 、BB',垂足分别为A' 、B'. 求证: AA'=BB'.    因为 AA'⊥α, BB'⊥α,所以AA'∥ BB'. 设经过直线AA'、BB'的平面为β,则β∩α=A'B'.  由l∥α ,可知l∥A'B' ,因此四边形AA'B'B   为平行四边形,所以AA'=BB'.  例题讲解 课堂练习 2.已知如图,PO⊥α,垂直为O, PA∩α=A,m⊆α,且m⊥OA.求证: m⊥PA. 课堂练习 3. 如果l⊥α,m//α,求证: l⊥m. 4. 己知线段AB、CD 位于平面α的同侧, AB ⊥α, DC⊥α, 垂足分别为 B、C,AB=DC.求证: AD=BC. 课堂练习 5. 某中职学校建设新校区时,修建了升旗台,用于开展爱国主义教育活动.技术人员在安装旗杆时,要保证旗杆与地面垂直.请你帮忙设计一个方案以确保旗杆与地 面垂直. 课堂练习 我国是拥有斜拉索桥最多的国家.斜拉索桥是大跨度桥梁的主要桥型,依靠若干斜拉将梁体重量和桥面载荷传至桥塔、桥墩.斜拉索安装位置的设计是斜拉索桥设计的重要内容.如图所示,斜拉索AC所在的直线与桥面所在的平面口相交,但是它们并不垂直.不同斜拉索相对于桥面的倾斜程度是不同的,如何描述这种不同呢？ 新课讲解 直线与平面所成的角   如果直线与平面相交但不垂直,就称直线是平面的斜线.斜线与平面的交点称为斜足,经过斜线上不是斜足的一点作平面的垂线,连接垂足与斜足的直线称为斜线在这个平面上的射影.  如图所示, 直线m是平面α的斜线, 点P为斜足, A∈m且AB⊥α, 垂足为B,则BP是斜线m在平面α内的射影.显然, 直线 AP 与射影BP所成的角θ反映了斜线相对于平面的倾斜程度.  新课讲解   一般地,平面的一条斜线与它在该平面上的射影所成的角,称为这条斜线与这个平面所成的角.  规定:当直线在平面内或直线与平面平行时,它与平面所成的角是0;当直线与平面垂直时,它与平面所成的角为 于是,直线与平面所成的角的范围为  新课讲解 例7 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a. 解 所以 射影. 例题讲解 例7 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a. 解 例题讲解 例7 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a. 解 例题讲解 例8  中国于2015年实现了“无电地区人口全部用上电”的目标. 如图所示, 为防止电杆倾斜.工作人员用一根钢丝绳作牵拉绳.受周围环境影响, 牵拉绳接地点 A 到电杆与地面的交点C的距离是2.5m. 若牵拉绳与水平地面所成的角为 60°.求牵拉绳与电杆的连接处点B到点C的距离.  解 由题意可知电杆与地面是垂直的,所以 BC⊥AC, 且AC是AB在地面上的射影,于是∠BAC= 60°. 在RtΔABC中, 因为AC=2.5m, 所以 BC=ACtan∠BAC= 因此,牵拉绳与电杆的连接处点B到点C的距离  例题讲解 巩固练习 第三部分 PART 03 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here 巩固练习   3. 在长方体 ABCD-A1B1C1D1中, 找出对角线AC1分别在六个面上的射影.  4. 己知AB∩α=A, 线段AB 的长是它在平面α上射影的2倍, 求直线 AB 与平面α所成的角的大小. 巩固练习   5. 在长正方体 ABCD-A1B1C1D1中, 求：  (1) AD1 与平面ABCD所成的角的大小； (2) AC1 与平面BCC1B1所成的角的正切值. 巩固练习 拓展延伸 第四部分 PART 04 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here 课堂小结 课堂作业 1.书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾; 3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容. 在PPT软件中双击 图标打开配套讲稿 第四章 立体几何 4.3 直线与平面的位置关系 中职高教（2021）数学拓展模块上册（修订版） 授课 题目 4.3 直线与平面的位置关系 选用教材 高等教育出版社《数学》 （拓展模块一上册） 授课 时长 5 课时 授课类型 新授课 教学提示 本课是整章的重点内容，将点、直线、平面均融合在一起．通过引导学生将笔抽象为直线，将桌面抽象为平面，比较笔与桌面的不同位置，来直观感受直线与平面之间的不同位置关系，并由此总结出直线与平面的三种位置关系．在此基础上通过平面性质 2，引导学生从理论上归纳出直线与平面的三种位置关系，然后引导学生用自然语言表示出三种位置的定义，并用图形语言、符号语言来表示．教学时可以引导学生动手实验或观察教室、课桌等特殊长方体，加深对三种 位置关系的理解． 教学目标 知道直线与平面之间的三种位置关系；知道直线与平面平行的定义、判定与性质定理，能根据判定定理来证明直线与平面平行，能根据性质定理来证明直线与直线平行；知道直线与平面垂直的定义、判定与性质定理，能根据定义或判定定理来证明直线与平面垂直，能根据性质定理来证明直线与直线平行；知道直线在平面内的射影的定义，知道直线与平面所成角的定义；会找出直线在平面内的射影，会解决直线与平面所成角的简单问题；逐步培养和提升直观想象、逻辑 推理和数学运算等核心素养. 教学 重点 直线与平面平行的判定与性质定理；直线与平面垂直的判定与性质定理． 教学 难点 直线与平面垂直的判定定理、直线与平面所成角的求法． 教学 环节 教学内容 教师 活动 学生 活动 设计 意图 如图所示，将一支铅笔平放到桌面上，然后水平拿起来，再坚直放置在桌面上.在此过程中，这支铅笔(看作一条直线)与桌面分别有几个公共点？ 提出 思考 结合 问题 熟悉 情境导入 引发思考 分析 回答 内容 创设学习 情境 新知探索 容易看出，当笔平放在桌面上时，它与桌面有无数多个公共点；将笔水平拿起，它与桌面没有公共点；当笔竖直放置时，它与桌面只有一个公共点.事实上，根据公理 2，当一条直线与一个平面有两个公共点时，这条直线上的所有点都在这个平面内.除此之外，直线与平面或者只有 1 个公共点，或者没有公共点.因此，直线与平面有三种 位置关系. 讲解 讲解说明 理解 思考领会 借助实例总结出直线与平面的三种位置关系 1.直线在平面内，此时直线与平面有无数个公共点. 如图(1)所示，当直线 a 在平面 α 内时，记作 a ⊆ α. 2. 直线与平面相交，此时直线与平面只有一个公共点.如图(2)所示，当直线 b 在平面 α 相交于点 B 时，记作 b∩α=B. 3. 直线与平面平行，此时直线与平面没有公共点.如图(3)所示，当直线 c 在平面 α 平行时，记作 c∥α .画图时,把直线画在表示平面的平行四边形外,并与平行四边形的一条边平行. 直线 l 与平面 α 相交或平行，称直线 l 在平面 α 外， 记作 l 与⊈α. 情境导入 4.3.1 共面直线 如图所示，一本打开的书的封面右边沿所在直线 m 已经不在书内页所在平面 α 内，那么，m 与 α 是相交还是平行呢？ 观察发现，书脊所在直线 n 是封 面所在平面与书内页所在平面的交 提出问题引发思考 观察思考讨论交流 引出异面直线概念 线，且 m∥n. 能否通过 m∥n 来判断直线 m 与平面 α 之间的位置关系呢？ 一般情形为，m⊈α，n⊆α，且 m∥n，如图(1)所示. 讲解 理解 该定 展示图形提示 观察特征交流 理实质是通过证明 直线 新知探索 假设直线 m 与平面 α 相交，记交点为点 P，如图(2)所示. 由 m∥n 知 P∉n.根据异面直线判定定理，m 与 n 是异面直线，这与 m∥n 矛盾.故直线 m 与平面 α 不相交，从而 m∥α. 于是有下面的结论： 直线与平面平行的判定定理 如果平面外的一条直线与这个平面内的一条直线平行，那么这条平面外直线 说明 说明强调 讨论 领会要点 与直线平行得到直线与平面 平行 与这个平面平行. 例 1 如图所示，在棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中： (1) 与平面 AC 平行的棱所在直线有哪些？ (2) 判断 AA1 与平面 DBB1D1 的位置关系. 解 (1)因为棱柱各侧面均为平行四边形，所以 A1B1∥AB. 又因为 A1B1⊆平面 AC，AB ⊆平面 AC，所以 A1B1∥平面 AC；同理可知，直线 B1C1、C1D1、A1D1 均与平面 AC 平行. 因此，与平面 AC 平行的棱所在直线有 A1B1、B1C1、 提问 引导 思考 分析 例 1 在回 顾棱 讲解 解决 柱基 典型例题 强调 指导 交流 主动 础上初次 利用 学习 求解 判定 定理 解决 问题 C1D1、A1D1. (2)因为 AA1∥BB1，且 AA1⊈平面 DBB1D1，BB1⊆平面 DBB1D1，所以 AA1//平面 DBB1D. 例 2 在回顾三 角形 例 2 在空间四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是 AB、AD 的中点，如图所示，求证:EF//平面 BCD. 证明 连接 E、F.因为 E、F 分别是 AB、AD 的中点，所以 EF//BD.又因为 E⊈平面 BCD，BD⊆平 面 BCD，所以 BF//平 面 BCD. 提问引导 讲解强调 思考分析 解决交流 中位线定理基础上巩固提升 探究与发现 引导 情境 既然直线与直线的平行可以用来判定直线与平面平行，那 引发 讨论 学生 导入 么能否利用直线与平面的平行来判定直线与直线平行 思考 交流 发现 呢？ 问题 如图(1)所示， m∥α， m⊆β，α∩β=n.那么，m 与 n 是 什么位置关系？ 讲解 理解 解决 设定 新知 展示图形提示说明 观察特征交流讨论 问题引出性质定 理， 探索 显然，m 与 n 共面于平面 B 内，则 n 与 n 要么相交，要么平行.若 m 与 n 相交，且交点为 P，如图(2)所示，则 P 也是直线 m 与平面 α 的交点，这与条件 m//α 相矛盾.所以 m//n.于是，有下面的结论： 直线与平面平行的性质定理 如果一条直线和一个 平面平行，那么经过这条直线的任一平面和这个平面的交 说明强调 领会要点 反证法提升逻辑推理核 心素 线与这条直线平行. 养 例 3 已知 n //m，m//α，n⊈ α，求证：n //α. 证明 过直线 n 作平面 β 交平面 α 于直线 l，如图所示. 因为 m//α，根据直线与平面平行的性质定理，可知 m//l .又 m //n，故 n//l. 根据直线与平面平行的判定定理，由 n⊈l，l⊆α，可知 n //α. 提问 思考 巩固 引导 分析 定 理， 讲解 解决 引导 典型 强调 交流 学生 例题 指导 主动 作辅 助平 求解 面解 决问 题 巩固练习 练习 4.3.1 1. 判断下列命题的真假,并说明理由. (1) 如果 m//n，n⊆α，那么 m//α； (2) 如果 m//n，m⊈α，那么 m//α； 提问 思考 及时掌握学生 (3) 如果 m//α，n⊆α，那么 m//n; (4) 如果 m//α，m⊆β，α∩β=n，那么 m//n. 2. 填空题. (1) 如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面有 个公共点； (2) 如果一条直线与一个平面有两个公共点，那么它们的位置关系是 ，此时直线与平面面共有 个公共点： (3) 如果一条直线与一个平面相交，那么它们有 个公共点； (4) 如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与平面内的 条直线平行. 3. 如图所示，四面体 ABCD 中，点 E、F 分别是 AB、 AD 上的点，且 AE= 1 AB，AF= 1 AD. 3 3 求证：EF∥平面 ECD. 4. 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1.求证： (1) CD∥平面 A1C1； (2) A1C1∥平面 AC. 5. 某中职学校机械加工技术专业学生在加工长方体 ABCD-A1B1C1D1 形状的零件时，如图所示，需要沿着由上底面 A1C1 上的点 E 与棱 AD 确定的平面将零件切开.切削前需在长方体相应的面上画出轮廓线，试问该怎样画这个轮廓线？经过点 E 所画的直线与底面 AC 是什么位置关系？ 巡视 动手 掌握 求解 情况 查漏 补缺 指导 交流 4.3.2 直线与平面垂直 某型号无人机如图所示，其每根螺旋桨(如 BC)与旋转轴 AB 均垂直，垂足是B.设螺旋桨旋转时构成的平面为 α，显然，无人机的每根螺旋桨都在平面 α 内.试问，平面 α 与旋轴 AB 之间有怎样的位置关系？ 提出 思考 从线 问题 面垂 引发 分析 直概 情境 思考 回答 念的 导入 的形 成过 程引 入 探索新知 容易看出，平面 α 内经过点 B 的螺旋桨所在直线都与旋转轴 AB 垂直.对于平面 α 内不过点 B 的任意一条直线，它一定与平面 α 内过点 B 的某条直线平行.由异面直线所成角的定义可知，这条直线也与旋转轴 AB 垂直.因此，平面 α 内的每一条直线都与 AB 垂直. 据此，有如下定义： 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面互相垂直.这条直线称为这个平面的垂线，这个平面称为这条直线的垂面，直线与平面的交点称为垂足.直线 l 与平面 α 垂直记作 l ⊥α. 如图所示，若 l⊥α，m⊆α，根据直线与平面垂直的定义可知 l⊥m.这是利用“直线与平面垂直”推出“直线与直线垂直”的主要方法. 在日常生活和生产中，常常需要判断直线与平面的垂直关系.例如，国旗的旗杆与地面垂直、建筑的立柱与地面垂直等.但是，判断直线与平面内每一条直线都垂直是很难做到的. 经过观察研究，人们发现以下判定直线与平面垂直的方法： 直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直.如图所示，若 m、n 是平面 α 内的两条相交直线，且 直线 l⊥m，l⊥n，则 l⊥α. 讲解 说明 展示图像引发思考 理解 领会 观察图像分析问题 通过 “线线垂直”来说明 “线面垂直” 利用三角形全等的证明过程较为复 杂，教材对判定定理未作证明 典型例题 例 4 四个面都是正三角形的四面体称为正四面体.已知正四面体 ABCD，如图所示.求证：BD⊥AC. 证明 设 BD 的中点为 O，连接 AO 、CO. 因为正四面体 ABCD 的四个面都是正三角形，所以 提问引导 讲解强调 指导 思考分析 解决交流 主动求解 例 4引导学生认识在空间怎样通过作辅助线来建立辅助 AO⊥BD，CO ⊥BD. 又 AO∩CO=O，且 AO、CO ⊆平面 AOC，故 BD⊥平面 AOC. 根据直线与平面垂直的定义，由 AC ⊆平面 AOC，可知 BD⊥AC. 例 5 证明: 如果两条平行线中有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. 已知: m∥n，m⊥α，如图所示. 求证: n⊥α. 证明 在平面 α 内任取两条相交直线 c 和 d ，因为 m⊥ α,c⊆α，d ⊆ α，所以 m⊥c，m⊥d. 又 m∥n，故 n⊥c， n⊥d，根据直线与平面垂直的判定定理，由 c 与 d 相交， n⊥α. 温馨提示 例 5 是直线与平面垂直的另一个判定定理. 可以证明，例 5 中所述命题的逆命题也成立.如图所示若 m⊥α，n⊥α，则 m∥n. 直线与平面垂直的性质定理 如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行. 根据该定理可以证明： 在空间中经过一点有且只有一条直线与已知平面垂 直. 面 例 5巩固线面垂直判定定理的同时，介绍了线面垂直的另一种判定方法，可以看作线面垂直第二判定定理 典型例题 例 6 如图所示，已知一条直线 l 和平面 α 平行，过直线 l上任意两点 A、B 分别引平面 α 的垂线 AA'、BB'，垂足分别为 A'、B'. 求证: AA'=BB'. 提问引导 讲解强调 指导分析 思考分析 解决交流 主动求解 例 6为学有余力学生思考 “线面平 行” 证明 因为 AA'⊥α，BB'⊥α，所以 AA'∥ BB'. 设经过直线 AA'、BB'的平面为 β，则 β∩α=A'B'. 由 l∥α，可知 l∥A'B' ，因此四边形 AA'B'B 为平行四边形，所以 AA'=BB'. 距离打下基础 巩固练习 练习 4.3.2 1.判断下列命题的真假. (1) 如果直线 m 垂直于平面 α 内的无数条直线，那么 m⊥α； (2) 如果 l⊥m，且 m⊆α，n⊆α，那么 l⊥α； (3) 如果 l⊥α，m⊥α，那么 l⊥m. 2. 已知如图，PO⊥α，垂直为 O， PA∩α=A，m⊆α，且 m⊥OA.求证: m⊥PA. 3. 如果 l⊥α，m//α，求证: l⊥m. 4. 己知线段 AB、CD 位于平面 α 的同侧，AB ⊥α， DC⊥α，垂足分别为 B、C，AB=DC.求证: AD=BC. 5. 某中职学校建设新校区时，修建了升旗台，用于开展爱国主义教育活动.技术人员在安装旗杆时，要保证旗杆与地面垂直.请你帮忙设计一个方案以确保旗杆与地 面 垂直. 提问 巡视 指导 思考 动手求解 交流 及时掌握学生掌握情况查漏补缺 情境导入 4.3.3 直线与平面所成的角 我国是拥有斜拉索桥最多的国家.斜拉索桥是大跨度桥梁的主要桥型，依靠若干斜拉将梁体重量和桥面载荷传至桥塔、桥墩.斜拉索安装位置的设计是斜拉索桥设计的重要内容.如图所示，斜拉索 AC 所在的直线与桥面所在的平面口相交，但是它们并不垂直.不同斜拉索相对于桥面的倾斜程度是不同的,如何描述这种不同呢？ 提出问题 引发思考 观察思考 交流回答 感受直线与平面所成角的情况， 透课程思政 探索新知 如果直线与平面相交但不垂直,就称直线是平面的斜线.斜线与平面的交点称为斜足,经过斜线上不是斜足的一点作平面的垂线,连接垂足与斜足的直线称为斜线在这个平面上的射影. 如图所示，直线 m 是平面 α 的斜线，点 P 为斜足， A∈m 且 AB⊥α,垂足为 B,则 BP 是斜线 m 在平面 α 内的射影.显然, 直线 AP 与射影 BP 所成的角 θ 反映了斜线相 对于平面的倾斜程度. 讲解 说明 理解 思考 将 “线 面”问题转化为 “线 线” 一般地,平面的一条斜线与它在该平面上的射影所成的角,称为这条斜线与这个平面所成的角. 规定:当直线在平面内或直线与平面平行时,它与平面所成的角是 0;当直线与平面垂直时,它与平面所成的角    为 于是,直线与平面所成的角的范围为0，  . 2  2  展示图像帮助思考 讲解强调 观察图像理解要点 学习领会 问 题， “降 维”解决 典型例题 例 7 如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a. (1) 找出 BC1 在底面 ABCD 上的射影； (2) 求 BC1 与底面 ABCD 所成角的大小； (3) 求 BD1 与底面 ABCD 所成角的正切值. 解 (1)因为正方体ABCD-A1B1C1D1 的各个面都是正方形，所以 CC1⊥DC，CC1⊥BC，且 DC∩BC=C，从而， CC1⊥平面 ABCD 且垂足为 C. 又 BC1∩平面 ABCD=B，故 BC 是 BC1 在平面 ABCD 上的射影. (2) 由(1)知，BC1 与底面 ABCD 所成的角是∠C1BC.因  为 BC1 是正方形 BCC1B1 的对角线，所以∠C1BC= .于是， 4  BC1 与底面 ABCD 所成角为 . 4 (3) 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，因为 DD1⊥AD， DD1⊥DC，且 AD∩DC=D，所以 DD1⊥底面 ABCD，从而 BD 是 BD1 在平面 ABCD 上的射影，且 DD1⊥BD. 因为 DD1=a，BD= 2 a，所以 tanD1BD= DD1  2 ， BD 2 即 BD1 与底面 ABCD 所成角的正切值是 2 . 2 例 8 中国于 2015 年实现了“无电地区人口全部用上电”的目标. 如图所示，为防止电杆倾斜.工作人员用一根钢丝绳作牵拉绳.受周围环境影响，牵拉绳接地点 A 到电杆与地面的交点 C 的距离是 2.5m. 若牵拉绳与水平地面所成 提问引导 讲解强调 指导分析 提问引导 思考分析 解决交流 主动求解 思考分析 例 7在学生熟悉的正方体中习得线面所成角的概念及求法，归纳出求线面所成角的三个基本步 骤： “找 ”、 “证 ”、 “求 ” 例 8是线面所 成角 的角为 60°.求牵拉绳与电杆的连接处点 B 到点 C 的距离.解 由题意可知电杆与地面是垂直 的，所以 BC⊥AC，且 AC 是 AB 在地面上的射影，于是∠BAC= 60°. 在RtΔABC 中，因为 AC=2.5m，所以 BC=ACtan∠BAC= 2.5tan60°= 5  3= 5 3 (m) . 2 2 因此，牵拉绳与电杆的连接处点 B 到点 C 的距离是 5 3 m . 2 讲解强调 指导分析 解决交流 主动求解 在实际生活中的应用，同时实施课程思政 巩固练习 练习 4.3.3 1. 观察教室墙面，从中找出直线与平面之间三种位置关系的情形. 2. 画出符合下列描述的一个图形，并用符号表示出 来. (1) 直线 l 与平面 α 平行，直线 m 在平面 α 内； (2) 点 M 在直线 l 上，且在平面 β 内，l 不在平面 β 内； (3) 直线 AB 与平面 γ 相交于点 A，直线 BC 垂直于平面 γ，且垂足为 C. 3. 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 找出对角线 AC1 分别在六个面上的射影. 4. 己知 AB∩α=A, 线段 AB 的长是它在平面 α 上射影的 2 倍, 求直线 AB 与平面 α 所成的角的大小. 5. 在长正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求： (1) AD1 与平面 ABCD 所成的角的大小； (2) AC1 与平面 BCC1B1 所成的角的正切值. 提问 巡视 指导 思考 动手求解 交流 及时掌握学生掌握情况查漏补缺 归纳总结 引导提问 回忆反思 培养学生总结学习过程能力 布置作业 1. 书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》； 2. 查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾; 3. 拓展作业：阅读教材扩展延伸内容. 说明 记录 继续探究延伸 学习 $$