2025年中考数学压轴题训练——二次函数与面积问题

2025年中考数学压轴题训练——二次函数与面积问题 1．已知二次函数的图像经过点、，、是该二次函数图像上的两个动点，它们的横坐标分别为、． (1)求二次函数的表达式： (2)如图1，点在直线的下方，过点作轴于点，交于点，连接、、．若，证明：； (3)如图2，抛物线顶点为，过坐标原点，过点作轴的平行线，分别交直线、于点、．请问是否存在常数，使恒成立？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由． 2．如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接、、、，与相交于点Q． (1)求抛物线的解析式； (2)设的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标； (3)抛物线上存在点P，满足，则点P的坐标为__________． 3．如图，已知抛物线与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴的交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点，使的面积是，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点为轴上的一个动点，当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标． 4．综合与探究 如图，抛物线与坐标轴交于，，三点，其中点和点的坐标分别为和． (1)求抛物线的解析式． (2)求线段的长． (3)如图2，P为抛物线第三象限上的一个动点，过点P作轴，交y轴于点H，连接，，与y轴交于点D．设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不用写出t的取值范围），并直接写出当时，S的值． 5．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)若点在抛物线对称轴上，点在平面上，以点，，，为顶点作菱形，请直接写出符合题意的点的坐标． 6．在平面直角坐标系中，点为坐标的原点，抛物线交轴于、两点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求、的值； (2)如图1，点为该抛物线的顶点，连接，点在的延长线上，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，过点作，，交轴于点，连接、，过点作交的延长线于点，连接，过点作于点，连接，若，求直线的解析式． 7．综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，动点在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图，过原点作直线交抛物线于、两点，点的横坐标为，点的横坐标为．求证：是一个定值． 8．如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为．    (1)求二次函数的解析式； (2)点为该二次函数的图象在第一象限上一点，当的面积最大时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中找一点，当、、、为顶点所构成的四边形是平行四边形时，直接写出的坐标． 9．如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与二次图象交于y轴上的一点B，二次函数的顶点C在x轴上，且． (1)求二次函数的解析式； (2)设一次函数的图象与二次函数图象另一交点为D． ①在抛物线上是否存在点P，使面积与面积相等． ②已知P为x轴上一个动点，且为直角三角形，求点P坐标． 10．在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线与y轴交于点C． (1)如图，当时，点P是抛物线段上的一个动点． ①求A，B，C，D四点的坐标； ②当面积最大时，求点P的坐标； (2)在y轴上有一点，当点C在线段上时，直接写出m的取值范围； 11．已知抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右边），与y轴正半轴交于点C，．直线交抛物线于点D，交x轴于点F． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（1），E是抛物线上一点，点E到的距离为2，连接交于点G，连接，求与的面积比； (3)如图（2），H是抛物线上直线右侧上一点，连接交于点M，直线交于点N，若，求n值． 12．如图1，抛物线与x轴的负半轴交于点A；过顶点D的直线交第一象限的抛物线于另一点E． (1)求点D的坐标； (2)若的面积为15，求直线的解析式； (3)如图2，将抛物线的顶点移到原点，直线与平移后的抛物线交于M，N两点，P是直线上一动点，直线，分别交抛物线于另一点G，H，连接交于点F．在点P的运动过程中，点F的位置是否发生变化?若不变，求出点F的坐标；若变化，请说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，有一抛物线，直线（）与抛物线相交于点A，直线与抛物线分别相交于点B． (1)当时，求A，B两点坐标． (2)在（1）的条件下，第一象限一点P在抛物线上，当时，求P点的横坐标． (3)试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 14．如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D为抛物线上第四象限中的点，过点作轴，垂足为，延长至点，且，求五边形的面积的最大值； (3)如图2，作，且与抛物线交于点，连接，点为延长线上点，且，若点为直线上动点，求最小值． 15．如图，抛物线顶点坐标为点，交x轴于点，交y轴于点B． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结，，当P点运动到顶点C时，求的铅垂高及； (3)是否存在一点P，使，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 16．如图，抛物线与轴相交于点和，与轴相交于点． (1)直接写出该抛物线的解析______（结果用一般式表示） (2)如图，将直线绕点顺时针旋转后得到直线与抛物线的另一个交点为，求的长． (3)如图，点是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接分别交、轴于点、，若、的面积分别为、，求的最大值． 17．已知，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，抛物线过，，点为第一象限内抛物线上一动点： (1)求抛物线的函数表达式和直线的函数表达式； (2)在轴上取，连接，，当面积最大时，求点横坐标； (3)当时，点在抛物线对称轴右侧时，直线上存在两点（在上方），，动点从出发，沿运动到终点，当运动路程最短时，直接写出点坐标． 18．如图1，抛物线与x轴交于点A、（A点在B点左侧），与y轴交于点，点P是抛物线上一个动点，连接，， (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点P的横坐标为3，求的面积； (3)如图2所示，当点P在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时P点坐标． (4)若点M是轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B，M，N，P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年1月25日初中数学作业》参考答案 1．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得直线的解析式为，根据题意得出，则，，进而分别表示出即可求解； （3）设，，设直线为，联立得出则，，进而得出即，从而得出，根据已知可得四点共圆，进而证明，得出垂直平分即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图像经过点、， ∴， 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）解：设直线的解析式为，代入、， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； ∵，则，， ∴，，点到的距离为， 又∵， ∴点到的距离为， ∴ ∴； （3）解：∵抛物线顶点为，则 设直线为， 联立 ∴ 设，， ∴，， 如图所示，过点作直线，过点作的垂线，垂足分别为， ∴，， ∴ ∵ ∴ 即， ∴ 又∵则 ∴ 又∵ ∴四点共圆， 又∵， ∴ ∴ ∴垂直平分 又 ∴，即． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，一次函数与抛物线交点问题，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的面积问题，正切的定义；熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．(1) (2)点P的坐标是或 (3) 【分析】（1）将，代入，利用待定系数法确定函数解析式； （2）根据图形得到：，即．运用三角形的面积公式求得点的纵坐标，然后由二次函数图象上点的坐标特征求得点的横坐标即可； （3）过点作轴于点，根据得到，可推出，由相似的性质进行即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴． 令， 则， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴． 设， ∴， ∴或， ∴或； （3）解：存在，点的坐标是． 理由：过点作轴于点， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 设点， ∴，， ∴， 整理得， 解得或（不符合题意）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，勾股定理的应用以及三角形面积公式，相似三角形的性质等知识点． 3．(1) (2)， (3)或或 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，勾股定理，等腰三角形的定义等． （1）将点和点的坐标分别代入解析式，即可求解； （2）设点的坐标为，根据三角形的面积列出方程，解方程求出的值，即可求出点的坐标； （3）先根据勾股定理求出的长，再分为点是等腰的顶点和点是等腰的顶点，两种情况进行分析即可求解． 【详解】（1）解：把点、代入解析式， 得， 解得：， 故抛物线的解析式为． （2）解：设点的坐标为， 则， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：或， 当时，； 当时，； 即点的坐标为，． （3）解：连接，如图： 在中，， 当点是等腰的顶点时，此时点在点的上方， 则， 故此时点的坐标为； 当点是等腰的顶点，点在点的下方时， 此时， 故此时点的坐标为； 当点是等腰的顶点，点在点的上方时， 此时， 故此时点的坐标为； 故点的坐标为或或． 4．(1) (2) (3)； 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）令，求得点的坐标，即可求解； （3）过点作轴于点，则，四边形是矩形，根据，表示出，进而求得的长，根据三角形的面积公式，列出函数关系式，进而根据得出纵坐标为，即可求解． 【详解】（1）解：将和代入得， 解得： ∴； （2）当时， 解得： ∴ ∴ （3）解：∵P为抛物线第三象限上的一个动点，设点P的横坐标为t， ∴， 如图所示，过点作轴于点，则，四边形是矩形， ∵， ∴， ∴ 即 ∴ ∴ ∴， 即 ∵四边形是矩形，，当时，则 ∴ 解得：或（舍去） ∴ 5．(1) (2)， (3)或或或 【分析】（1）先求得，，三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果； （2）作于，交于，根据点和点坐标可表示出的长，进而表示出三角形的面积，进而表示出的函数关系式，进一步求得结果； （3）根据菱形性质分别进行分类讨论，即以为对角线或以为边这两个情况，进而求得点的坐标，根据菱形性质，进一步求得点坐标． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，， ， ， 对称轴为直线， ， 设抛物线的表达式：， ， ， 抛物线的表达式为：； （2）解：如图1， 作于，交于， ，， ， ， ， ， 当时，， 当时，， ； （3）解：∵点在抛物线对称轴上， ∴设， ∵以点，，，为顶点作菱形， ∴当以，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ， 即：， ， ， ， ，， ，， ． ∴当以，，，为顶点的四边形是以为边的菱形， ，且 即：， ， ， ，或 ∵当，即四边形是菱形， ∴，， ，； 此时； ∵当，即四边形是菱形， ∴，， ，； 此时； ∴当以，，，为顶点的四边形是以为边的菱形， ，且 即：， ， ， ，或 ∵当，即四边形是菱形， ∴，， ，； 此时； ∵当，即四边形是菱形， ∴，， ，； 此时； 综上：或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的面积综合，待定系数法解二次函数的解析式，二次函数的图象性质，勾股定理，三角形的面积，菱形性质等知识，解题的关键是熟练掌握知识点． 6．(1)，． (2) (3)直线的解析式 【分析】利用待定系数法求得二次函数解析式即可； 根据二次函数得，利用待定系数法求得直线的解析式为，则，结合坐标点得，利用三角形面积即可求得面积； 连接，利用两点之间的距离求得，根据抛物线的对称性可知，证得则是等腰直角三角形，进一步得A，P，B，D四点共圆，可得平分，延长至点R，使得，过点D作，可证明，进一步证得，可判定为的角平分线，则点D为的内心，再次证明和，利用勾股定理求得，则有，求得点，可求得直线的解析式为，有点，即可求得点，同理可求得直线的解析式为，设点，利用两点之间的距离求得a，即可求得直线的解析式． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于、两点，点的坐标为，点的坐标为 ∴ 解得： ∴，． （2）解：由（1）可知二次函数 ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为 ∴， 设的解析式为 则 解得： 则的解析式为， ∴， ∴． （3）解：∵为顶点坐标，抛物线与x轴的交点坐标为，，连接， ∴， 则由抛物线的对称性可知：， 又， ∵ ∴， 则是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， 则， 则A，P，B，D四点共圆， 又∵， ∴为圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 延长至点R，使得，过点D作，如图， 则， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的角平分线， 则点D为的内心， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， 设， ∵， ∴，解得， ∵，， ∴， 在中，则，解得， 那么，，，， ∴， ∴， 则点， 设直线的解析式为，则 ，解得， 那么，直线的解析式为， 则点， 过点E作于点H，则， ∴， ∴点， 同理可求得直线的解析式为， 设点， ∵， ∴，解得， 则点， ∴同理可求得直线的解析式为， 故直线的解析式． 【点睛】本题主要考查二次函数和三角形的综合，难度较大，涉及知识点有待定系数法求解析式、两点之间的距离、二次函数的性质、等腰三角形的判定和性质、四点共圆、三角形内心的判定和性质，以及三角形的全等，解题的关键是熟悉二次函数的性质和三角形的性质． 7．(1)； (2)，； (3)见解析． 【分析】利用待定系数法把点和点的坐标代入，得到，解方程组求出、的值，可得抛物线的解析式； 过点作轴，交于点，把分成和，可得的面积为，配方可得，从而可知当时，的面积有最大值，此时的坐标为； 设直线的解析式为，因为、是抛物线与直线的交点，可得方程，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系可证是一个定值． 【详解】（1）解：把点和点的坐标代入， 得到：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：如下图所示，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 整理得：， 可知当时，的面积有最大值，最大值是， 当时，， 此时点的坐标为； （3）证明：设直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 整理得：， 一元二次方程中， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 这两个不相等的实数根分别为、， 则有， 是一个定值． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质． 8．(1) (2) (3)或或 【分析】（1）先求出点B，C的坐标，再利用待定系数法求解； （2）先求出直线的解析式，作轴于点D，交直线于点E，设点，用含p的二次函数表示出的面积，即可求解； （3）设点Q的坐标为，分点P在第一、二、四象限三种情况，利用平行四边形的性质列方程，即可求解 【详解】（1）解：中，令，得， 令，则，解得， ，， 将，，代入， 得：，解得， 二次函数的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为． 如图，作轴于点D，交直线于点E，    设点，则， ， ， 当时，取最大值4， ， 点的坐标为； （3）解：设点Q的坐标为，分三种情况， 当点Q在第一象限时，， 即， 解得， 点Q的坐标为； 同理，当点Q在第四象限时，， 即， 解得， 点Q的坐标为； 当点Q在第二象限时，， 即， 解得， 点Q的坐标为； 综上可知，点Q的坐标为或或．    【点睛】本题属于二次函数综合题，考查一次函数的图象和性质，二次函数的最值，平行四边形的性质等，第二问的关键是用二次函数表达出，第三问的关键是注意分情况讨论，避免漏解． 9．(1) (2)①存在，P的坐标为，，；②和 【分析】（1）根据交x轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A，B两点坐标，二次函数的顶点C在x轴上，且．得出可设二次函数，进而求出即可； （2）①分点P在直线上方和点P在直线下方两种情况，利用平行关系和对称性求出直线，解析式再分别和抛物线解析式联立求出点P坐标． ②根据当B为直角顶点，当D为直角顶点，以及当P为直角顶点时，分别利用三角形相似对应边成比例求出即可． 【详解】（1）解：∵交x轴于点A，与y轴交于点B， ∴令，则，解得，即， 令，则，即， ∵二次函数的顶点C在x轴上，且， ∴由图可得， ∴可设二次函数， 把代入得： ∴二次函数的解析式：； （2）解：①∵面积与面积相等， ∴点在过点且与平行的直线上或与平行且点到的距离与到的距离相等的直线上； 如图，当点P在直线下方时，过点C作， 由（1）知，直线解析式为，故设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的解析式：， 联立①②得，（舍）或， ∴； 当点P在直线上方时，过点C作直线于E，并延长使，则点与点关于直线对称，过点作， 设，直线的解析式为，则， ∴， ∴， ∴， 将代入得：， ∴直线解析式为， 联立②③得，或， ∴或， 综上所述：使面积与面积相等的点P的坐标为，，； ②由（1）可得：，， ∴，， ∴， （Ⅰ）如图1，当B为直角顶点时，过B作交x轴于点， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴，即， ∴，即， （Ⅱ）如图2，当为直角顶点时，作，连接， 将与联立求出两函数交点坐标：D点坐标为：， 则， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， 则， 故点坐标为； （Ⅲ）如图3，当P为直角顶点时，过点D作轴于点E，设 ∵， ∴， ∵， ∴ 得：， ∵方程无解， ∴点不存在， ∴点P的坐标为：和． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合面积问题、相似三角形的判定与性质、求一次函数的解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 10．(1)①，，，；② (2)或 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数上点的坐标特点，三角形的面积，不等式的应用，分类讨论思想等相关内容． （1）①根据函数上点的坐标特点可分别得出，，，的坐标，当时，代入上述坐标即可得出结论； ②过点作轴交直线于点，设点的横坐标为，所以，，根据三角形的面积公式可得的面积，再利用二次函数的性质可得出结论； （2）由（1）可知，，，轴上有一点，点在线段上，需要分两种情况：当点的坐标大于点的坐标时；当点的坐标小于点的坐标时，分别得出的取值范围即可． 【详解】（1）解：直线与轴，轴分别交于，两点， ，； ， 抛物线的顶点为， 令，则， ， ①当时，，， ∴，，，， ②当时，直线的解析式为：，抛物线的解析式为：， 如图，过点作轴交直线于点， 设点的横坐标为， ，， ， ∴的面积为：， ， 当时，的面积的最大值为3， 此时； （2）解：由（1）可知，，， 轴上有一点，点在线段上， 需要分两种情况： 当时，可得， 当时，可得， 的取值范围为：或． 11．(1) (2) (3)1 【分析】本题考查了二次函数与面积类以及定点定值类的综合问题，涉及待定系数法求二次函数和一次函数解析式，因式分解，熟练求解含有参数的函数解析式以及细心化简计算是解决本题的关键． （1）待定系数法求函数解析式即可； （2）显然，可求直线的解析式为，由题意得，故的面积，的面积，则与的面积比为； （3）设，代入点，可求直线的表达式为：，则，同理可求直线表达式为：，则，由，得，因此得到，化简得：，故或（舍）． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵点B在点A的右边 ∴ 把代入 得出 解得 ∴； （2）解：∵ ∴ ∴ 设的解析式为 把，代入 得 ∴ ∴直线的解析式为 ∵直线交抛物线于点D，交x轴于点F ∴ ∵点E到的距离为2， ∴的面积， 的面积 ∴； （3）解：设，设直线的表达式为：， 代入点得：， 解得：， ∴直线的表达式为： ∴， ∵，， 同理可求直线表达式为：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 化简得：， ∴或（舍）． 12．(1) (2) (3)点F的位置不变， 【分析】（1）利用配方法求抛物线的顶点坐标即可； （2）先求出点的坐标，然后设点E的坐标为，求出直线的解析式，过点D作轴交于点Q，根据解方程求出点E的坐标，然后求解析式即可； （3）由题意得平移后的抛物线为：，联立直线表达式求出，设，可求，，，联立直线的表达式得：，求出，由于点在直线上，则，整理得，，联立直线的表达式，解得：，将代入，得：，因此，故点的位置不变． 【详解】（1）解：， ∴点D的坐标为； （2）当时，，解得，， ∴点A的坐标为， 设点E的坐标为， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 过点D作轴交于点Q， 当时，， ∴点Q得坐标为， ∴， 解得：或（舍去） ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为； （3）解：由题意得平移后的抛物线为：， 联立与， 得：， 解得：或， ∴， 设，， ∴， 解得：， ∴， 同理可求：，， 联立直线的表达式 得：， 解得：， ∴， ∵点在直线上， ∴， 整理得，， 联立直线的表达式， 得：， 解得：， 将代入， 得：， ∴， 故点的位置不变． 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数的平移，三角形的面积，两个一次函数图像的交点问题掌握二次函数的性质是解题的关键． 13．(1)， (2)P点的横坐标为或 (3)直线经过定点 【分析】（1）当时，联立和，可求出A点坐标，联立和可求出B点坐标． （2）先求出直线的解析式为．设，过P点作轴，交直线于E点，则．根据求出m的值，即可得P点的横坐标． （3）由得，由得．设直线的解析式为，则可求得，由此可得直线经过定点． 【详解】（1）解：当时， 联立， 得（舍去），， ． 联立， 得（舍去），， ． （2）解：如图，过P点作轴，交直线于E点， 设直线的表达式为，则 ，解得， ∴：． 设，则． ∴， ， ， ， ． ①当时， 解得，（舍去）． ②当时， 解得，（舍去）． ∴P点的横坐标为或． （3）解：由，得（舍去），， ∴． 由，得（舍去），， ∴． 设直线的解析式为，则 ， 解得，． ∴直线的解析式为． ∴直线经过定点． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数脚钉问题，二次函数与三角形面积问题，掌握“三角形面积水平宽铅锤高”是解题的关键． 14．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，利用二次函数解决面积最值问题，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质等． 把，，代入，求出，，的值即可求出抛物线的解析式； 求出直线和直线的解析式，设点，则，，根据表示五边形的面积，通过二次函数的增减性求出面积的最值； 有题意得，从而证明∽，∽，得到直线的解析式为直线，根据轴对称得到的最小值． 【详解】（1）解：把，，代入， 得，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为，把，代入， 得，则， 即直线的解析式为， 由，设直线的解析式为， 把代入，得直线的解析式为， 设点，则，， 点为抛物线上第四象限中的点， ，， ， 整理得， 当，五边形的面积取最大值，最大值为； （3）解：联立，解得点的坐标，舍去，， 点的坐标为， 延长交轴于点，与交于点， ，， ， ∽， ， ， ， ∽， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，， 轴， 直线的解析式为直线， 作点关于直线的对称点， 当点为和直线的交点时，的值最小，且最小值即为线段的长度， ，， ， 的最小值为． 15．(1)， (2)， (3)存在， 【分析】本题考查了二次函数的解析式的求法、二次函数与几何图形综合题，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）用待定系数法即可求解； （2）当时，分别代入和得，，得到，进而求解； （3）假设存在符合条件的点，设点的横坐标是，的铅垂高，则，由即可求解． 【详解】（1）解：抛物线顶点坐标为点，且经过点， 设抛物线的解析式为：， 把代入解析式， 解得：， 抛物线的解析式为， 抛物线与轴的交点坐标， 设直线的表达式为， 则有：， 解得： ∴直线的表达式为：； （2）解：点，点在抛物线上，点在直线上， 当时，分别代入和得，， ， ； （3）解：假设存在符合条件的点，设点的横坐标是，的铅垂高， 则， 由得：， 化简得， 解得， 将代入得， 符合条件的点的坐标为． 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）待定系数法求出函数函数解析式即可； （2）求出点坐标，勾股定理定理及其逆定理推出，延长与交直线于点，过点作轴，易得为等腰直角三角形，进而求出的长，解直角三角形，求出点的坐标，进而求出直线的解析式，联立直线与抛物线的解析式求出点坐标，进而求出的长即可； （3）设，过点作轴，证明，求出的长，将转化为，进而转化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点和， ∴，解得：， ∴； （2）解：∵，当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 延长与交直线于点，过点作轴，则：， ∵将直线绕点顺时针旋转后得到直线 ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，，代入，得： ，解得：， ∴， 联立，解得：或， ∴， ∴； （3）设，过点作轴， 则：，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴ ； ∴当时，有最大值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 17．(1)， (2) (3) 【分析】（1）设直线的表达式为，将点D，E代入，解关于k，c的二元一次方程组求解即可；将点D，E代入，解关于a，b的二元一次方程组即可求解； （2）如图，连接，过点作轴于点，作轴于点，分别表示出，即可表示出，通过列方程求解即可； （3）根据题意可得，则可得到；如图所示，取，作点T关于直线的对称点K，连接，设直线与x轴，y轴分别交于、H，连接，证明，由轴对称的性质可得，，则，可得；证明四边形是平行四边形，得到，则当三点共线时，的值最小，即此时点Q的运动路程最小，同理可得直线解析式为，联立，解得，则；设，则，可得． 【详解】（1）解：设直线的表达式为． 直线经过点和点， ，解得 直线的表达式为； 将点、的坐标代入抛物线函数表达式得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：如图，连接，过点作轴于点，作轴于点， 将代入，得， ，． ， ． ， ．设点的坐标为． ，， ， ， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∴此时； 点的坐标是或． （3）解：∵， ∴或， ∵点在抛物线对称轴的右侧，即在直线的右侧， ∴点； 如图所示，取，作点T关于直线的对称点K，连接，设直线与x轴，y轴分别交于、H，连接， ∴， ∴，， ∴， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵动点从出发，沿运动到终点， ∴点Q的运动路程， ∴当三点共线时，的值最小，即此时点Q的运动路程最小， 同理可得直线解析式为， 联立，解得， ∴； 设， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，一次函数的图像和性质，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，轴对称的性质，平移，解二元一次方程组，平行四边形的判定和性质，勾股定理，交点坐标等问题，根据平移和轴对称做辅助线，利用方程求交点坐标是解交本题的关键． 18．(1) (2) (3)四边形面积最大面积是，此时 (4)存在，或或或 【分析】（1）直接使用待定系数法求解即可； （2）过点P做轴的平行线交于点，将分为和分别求解即可； （3）结合（2）将四边形面积分为和两部分相加，设，则，列出四边形面积的表达式，将其化为顶点式即可解题； （4）根据平行四边形的性质，结合坐标与图形，以及二次函数图象与性质，分别讨论点B，M，N，P形成平行四边形的情况，再求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点A、（A点在B点左侧），与y轴交于点， 将、两点代入得：， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）解：设的所在直线的解析式为：， 将代入得：，解得：， 的所在直线的解析式为， 将P的横坐标代入得：， 的坐标为， 如图，过点P做轴的平行线交于点，则点横坐标为， 将点横坐标为代入，， 的坐标为， 由图知： ； （3）解：， 抛物线的对称轴为直线， 点A、（A点在B点左侧）关于直线对称， ， ， 如（2）所示： 设，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 此时即； （4）解：由（2）可知：的坐标为， ①如图所示，四边形为平行四边形， ，且， ∴点的纵坐标为，，解得：，， ∴点的坐标为， ， 设点， ， ，则，即； ②如图所示，四边形是平行四边形，过点作轴于点，过点作轴于点， ，，，， 可得， ，且，设，， ，解得：，， 当时，，即，则，当时，，即，则， 点的坐标为或； ③如图所示，四边形为平行四边形， ，，， 设，则， ，即点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，坐标与图形，二次函数与几何图形的综合，二次函数的最值，平行四边形性质，掌握二次函数图像的性质，动点的运动规律，几何图形的面积计算方法及性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$