2025年九年级中考数学一轮复习考点通关课件：二次函数的实际应用与几何综合

二次函数的实际应用与几何综合 夯基础 知识梳理 实际 应用 解题步骤 1．根据题意得到二次函数解析式 2．根据已知条件确定自变量的取值范围 3．利用二次函数的性质和自变量的取值范围求出最值 常考类型 1．求高度、求利润，此时一般是求二次函数图象上顶点的纵坐标或根据自变量的取值范围，利用函数增减性求二次函数的最值 2．求水平距离，此时一般是令函数值y＝0，解出所得一元二次方程的两个根，求两根之差的绝对值 几何 综合 1．最值问题：利用二次函数求图形面积的最值问题，关键是列出面积与自变量之间的函数关系式，根据二次函数的性质求解 2．存在性问题：注意灵活运用数形结合思想，可先假设存在，再借助已知条件求解，如果有解(求出的结果符合题目要求)，则假设成立，即存在；如果无解(推出矛盾或求出的结果不符合题目要求)，则假设不成立，即不存在 重点1 固考点 重难突破 例1 二次函数的实际应用 (2024·内江改编)端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5 000元购进的猪肉粽盒数与用3 000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现①当猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；②每盒售价提高1元时，少售出10盒． (1)求猪肉粽和豆沙粽每盒进价分别是多少； 【解答】设豆沙粽每盒进价是a元，则猪肉粽每盒进价是(a＋20)元． 根据题意，得，解得a＝30． 经检验，a＝30是原方程的解且符合题意， ∴a＋20＝50． 答：猪肉粽每盒进价是50元，豆沙粽每盒进价是30元． 找：数量关系式：利润＝(售价－进价)×数量． 审：条件①是当x＝52时，每天售出的数量为 盒；条件②是当猪肉粽每盒售价x元(52≤x≤70)时，每天售出的数量为 盒． (2)设猪肉粽每盒售价x元(52≤x≤70)，y表示该商家销售猪肉粽的利润(单位：元)，求出y的最大值． 列：根据题意，得y＝ (写出顶点式即可)．  定：∵ 0，52≤x≤70， ∴当x＝ 时，y取最大值，最大值为 ．  答： ．  －10(x－60)2＋1 000 y的最大值为1 000元 1 000 60 －10< ［180－10(x－52)］ 180 解题通法 针对训练 1．某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y(件)与售价x(万元/件)之间满足一次函数关系，部分数据如表： 售价x/(万元/件) … 24 26 28 30 32 … 月销售量y/件 … 52 48 44 40 36 … (1)求y与x的函数关系式．(不写自变量的取值范围) 解：在表格取点(30，40)，(32，36)． 设y与x的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)， 则解得 ∴y与x的函数关系式为y＝－2x＋100． (2)该产品2024年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w(万元)关于售价x(万元/件)的函数关系式，并求最少利润是多少万元． 解：设三月份每件产品的成本为m万元． 当x＝35时，y＝－2x＋100＝30， 由题意，得30(35－m)＝450， 解得m＝20， 即三月份每件产品的成本是20万元． 四月份每件产品的成本比三月份下降了14万元，则四月份每件产品的成本为20－14＝6(万元)， 由题意得w＝y(x－6)－450＝(－2x＋100)(x－6)－450＝－2x2＋112x－1 050＝－2(x－28)2＋518(25≤x≤30)． ∵－2<0， ∴则当x＝25时，w取得最小值，此时w＝500，即四月份最少利润是500万元． 重点2 二次函数与几何图形的综合探究 例2 (2024·绵阳)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于点A(－3，0)，B(1，0)，与y轴交于点C，连接AC和BC，点P在抛物线上运动，连接AP，BP和CP． 例2题图 (1)求抛物线的表达式，并写出其顶点坐标． (2)点P在抛物线上从点A运动到点C的过程中(点P与点A，C不重合)，作点P关于x轴的对称点P1，连接AP1，CP1，记△ACP1的面积为S1，记△BCP的面积为S2．若满足S1＝3S2，求△ABP的面积． (3)在(2)的条件下，试探究在y轴上是否存在一点Q，使∠CPQ＝45°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． (1)【解答】由题意，得y＝a(x＋3)(x－1)＝a(x2＋2x－3)＝ax2＋2ax－3a＝ax2＋bx＋3， 则－3a＝3，∴a＝－1， ∴抛物线的表达式为y＝－x2－2x＋3， ∴抛物线的对称轴为直线x＝－1， 当x＝－1时，y＝4， 即顶点坐标为(－1，4)． (2)【解答】由抛物线的表达式可知，C(0，3). 设P(m，－m2－2m＋3)，则P1(m，m2＋2m－3). 如答图①，连接PP1交AC于点E，设直线PB交y轴于点D， 易得直线AC的表达式为y＝x＋3，则E(m，m＋3). 易得直线PB的表达式为y＝(－m－3)x＋m＋3，则D(0，m＋3)， ∴S1＝OA·P1E＝×3×(m＋3－m2－2m＋3)＝(－m2－m＋6)， 同理可得S2＝CD·(xB－xP)＝×(3－m－3)×(1－m)＝S1＝(－m2－m＋6)，即m2－m＝－m2－m＋6， 解得m＝(舍去)或m＝－， ∴P(－，2)， ∴△ABP的面积为AB·yP＝×(1＋3)×2＝4. 答图① (3)【解答】存在. 由(2)可知P(－，2)，C(0，3)，∴PC＝3. 当点Q在点C的上方时，∠CPQ＝45°， 易得tan∠PCQ＝＝2＋. 如答图②，过点Q作QH⊥PC于点H. 设CH＝x，则PH＝QH＝(2＋)x，∴PC＝(2＋)x＋x＝3， 解得x＝2，∴CH＝2，QH＝，∴CQ＝＝2－2， ∴OQ＝3＋2－2＝2＋1，即Q(0，2＋1)； 当点Q(此时记为Q')在点C下方时，同理可得CQ'＝6－2，∴Q'(0，2－3). 综上所述，点Q的坐标为(0，2＋1)或(0，2－3). 答图② 针对训练 2．(2023·凉山)如图，已知抛物线与x轴交于A(1，0)和B(－5，0)两点，与y轴交于点C．直线y＝－3x＋3过抛物线的顶点P． (1)求抛物线的解析式． (2)若直线x＝m(－5<m<0)与抛物线交于点E，与直线BC交于点F． ①当EF取得最大值时，求m的值和EF的最大值； ②当△EFC是等腰三角形时，求点E的坐标． 解：(1)∵抛物线与x轴交于A(1，0)和B(－5，0)两点， ∴抛物线的对称轴为直线x2． 在y＝－3x＋3中，令x＝－2，得y＝9， ∴抛物线的顶点坐标为(－2，9)， ∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)2＋9． 将点A(1，0)代入，得0＝9a＋9，解得a＝－1， ∴抛物线的解析式为y＝－(x＋2)2＋9＝－x2－4x＋5． (2)①如答图． 在y＝－x2－4x＋5中，令x＝0，得y＝5， ∴C(0，5)． 易得直线BC的解析式为y＝x＋5， ∴E(m，－m2－4m＋5)，F(m，m＋5)， ∴EF＝－m2－4m＋5－(m＋5)＝－m2－5m＝ ∵－1<0， ∴当m＝时，EF取得最大值，最大值为， ∴m的值为，EF的最大值为 第2题答图 ②由①知E(m，－m2－4m＋5)，F(m，m＋5)，C(0，5)， ∴EF2＝(m2＋5m)2，EC2＝m2＋(m2＋4m)2，FC2＝2m2. 若EF＝EC，则(m2＋5m)2＝m2＋(m2＋4m)2， 解得m＝0(不符合题意，舍去)或m＝－4， ∴E(－4，5)； 若EF＝FC，则(m2＋5m)2＝2m2， 解得m＝0(不符合题意，舍去)或m＝－5或m＝－－5(不符合题意，舍去)， ∴E(－5，－2＋6)； 若EC＝FC，则m2＋(m2＋4m)2＝2m2， 解得m＝0(不符合题意，舍去)或m＝－3或m＝－5(不符合题意，舍去)， ∴E(－3，8). 综上所述，点E的坐标为(－4，5)或(－5，－2＋6)或(－3，8). 1．(2022·成都22题4分)距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h(米)与物体运动的时间t(秒)之间满足函数关系h＝－5t2＋mt＋n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”(即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差)，则当 0≤t≤1时，w的取值范围是 ；当2≤t≤3时， w的取值范围是 ． 5≤w≤20 二次函数的实际应用 0≤w≤5 明方向 中考再现 命题点1 命题点2 二次函数与几何图形的综合探究 2．(2024·成都25题10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y＝ax2－2ax－3a(a>0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点． (1)求线段AB的长． (2)当a＝1时，若△ACD的面积与△ABD的面积相等，求tan∠ABD的值． (3)延长CD交x轴于点E，当AD＝DE时，将△ADB沿DE方向平移得到△A'EB'．将抛物线L平移得到抛物线L'，使点A'，B'都落在抛物线L'上．试判断抛物线L'与L是否交于某个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 解：(1)在y＝ax2－2ax－3a中，令y＝0，得0＝ax2－2ax－3a， ∴a(x－3)(x＋1)＝0． ∵a>0， ∴x＝3或x＝－1， ∴A(－1，0)，B(3，0)， ∴AB＝4． (2)当a＝1时，过点D分别作DM∥y轴交x轴于点M，DN∥x轴交AC于点N，如答图①． ∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， ∴C(1，－4)． 易得直线AC的解析式为y＝－2x－2． 设D(n，n2－2n－3)(0<n<3)， 在y＝－2x－2中，令y＝n2－2n－3，得x， ∴N， ∴DN＝n， 答图① ∴S△ACDDN·|yA－yC|4＝n2－1． ∵△ACD的面积与△ABD的面积相等，S△ABDAB·|yD|4×(－n2＋2n＋3)＝－2n2＋4n＋6， ∴n2－1＝－2n2＋4n＋6， 解得n＝－1(舍去)或n， ∴D， ∴BM＝3，DM， ∴tan∠ABD， ∴tan∠ABD的值为 (3)抛物线L'与L交于定点. 过点D作DM⊥x轴于点M，如答图②. 设D(m，am2－2am－3a)， 则AM＝m＋1，DM＝－am2＋2am＋3a. ∵AD＝DE，DM⊥AE于点M， ∴EM＝AM＝m＋1， ∴将△ADB沿DE方向平移得到△A'EB'，相当于将△ADB向右平移(m＋1)个单位长度，再向上平移(－am2＋2am＋3a)个单位长度. 易知C(1，－4a)，抛物线L的顶点C平移后的点C'是抛物线L'的顶点， ∴C'(m＋2，－am2＋2am－a)， ∴抛物线L'的解析式为y＝a(x－m－2)2－am2＋2am－a(a＞0). 令ax2－2ax－3a＝a(x－m－2)2－am2＋2am－a，解得x＝3， ∴抛物线L'与L交于定点(3，0). 答图② $$